微分几何第四版习题答案梅向明

1、§ 1曲面的概念1.求正螺面r = u cosv ,u sinv, bv 的坐标曲线.解 u-曲线为 r =u cosv0 ,u sinv0,bv0 = 0,0 , bv0+ u cosv0, sin v0,0，为曲线的直 母线；v-曲线为r = u0 cosv, u0 sinv,bv 为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面$ = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为 $ = a (u+v0) , b (u- v0) ,2u v0= av0, bv0,0+ ua,b,2 v0表示过点 av0, bvo,O以a,b,2 v。为方向向量的直线

2、；v-曲线为 r = a ( u0+v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v = au0, b u 0,0 +va,-b,2 u 0表示过点 (au。，b u°,0)以a,-b,2 u。为方向向量的直线。xacoscosy a cossinz asi n任意点的切平面方程为asi ncosa sinsina cos0a cossina coscos0即 xcos cos + ycossin + zsi n-a = 0法线方程为x acoscosya cos sinzasi n。解 r = a sin cos , a sin sin ,acos , r = a cos si

3、n , a cos cos ,0cos coscos sinsin2 23.求球面r =acos sin ,acos sin ,asin 上任意点的切平面和法线方程。4.求椭圆柱面X2占1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个a b切平面。2 2解 椭圆柱面 务 与 1的参数方程为 x = cos , y = asin , z = t , r as in ,bcos ,0 a brt 0,0,1。所以切平面方程为：x a cos y bsin z ta sinbcos 00，即 x bcos + y asin a b = 00 0 1此方程与t无关，对于 的每一确定的值，确

4、定唯一一个切平面，而 的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。35证明曲面r u,v,的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数UV31,0，斗，rvu V30,1, -aT。切平面方程为:uvx_yuVuvz 3 。a与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)uv于是，四面体的体积为:13|u|3|v 启6| uv |賈是常数§ 2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的第一基本形式.解ru a,b,2v, rv a, b,2u, E g2 a2 b2 4v2,F

5、 ru rv a2 b2 4uv,G rv2 a2 b2 4u2,2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 = (a b 4v )du 2(a b 4uv)dudv (a b 4u )dv。2 .求正螺面r = u cosv ,u sinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直解rucos v, sin v,0, rv usin v,u cosv,b， Eru21， F rurv0，Grv2u2b2，I = du2 (u2 b2)dv2，：F=0，.坐标曲线互相垂直3 .在第一基本形式为I = du2 sinh 2 udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长v有du=dv ，将

6、其代入ds2得解由条件ds2 du2 sinh2 udv2 ,沿曲线uds2du2 sinh2 udv2 = cosh2 vdv2， ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从 v1 到 v2 的弧长为v2| coshvdv| |sinh v2 sinhv1 |。4.设曲面的第一基本形式为I = du2 (u2 a2)dv2，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面 的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E 1，Fv 0，G u2 a

7、2，曲线u + v =0与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 E 1 , Fv 0 , G a222，即。E u dsG v dsEG。曲线u+ v = 0 的方向为du = -dv , u-v = 0的方向为S u=S v ,设两曲线的夹角为，则有2Edu u Gdv u1 acos 二2jEdu2 Gdv2 Je u2 G v2 1 a解曲面的向量表示为r =x,y,axy.5求曲面z = axy上坐标曲线x = x 0 ,y = y的交角.坐标曲线x = x 0的向量表示为r = x 0,y,ax 0y ，其切向量ry=0 , 1, ax。;坐标曲

8、线y = y的向量表示为r =x ,y°,ax y。，其切向量j=1 , 0,ay。，设两曲线x = x 0与y = y°的夹角为，则有cosJ 口|rx|ry |2a x°y0a2xo . 12 2a y。6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为S u: S v ,则有EduS u + F(du S v + dv S u)+ G d v S v = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分 方程为 ES u + F S v = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为FS u + G S v

9、 = 0 .7.在曲面上一点，含du ,dv的二次方程Pdu2 + 2Q dudv + Rdv2 =0,确定两个切方向(du : dv)和(S u : S v),证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明 因为du,dv不同时为零，假定dv0,则所给二次方程可写成为P(空)2 + 2Q+ R=0,dvdvdv vdv v P dv v Pdv vF（屯+上）+ G = 0dv v设其二根 屯，-则 = R ,臾+丄=又根据二方向垂直的条件知+将代入则得ER - 2FQ + GP = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.证 用分别用S、 、

10、d表示沿u 曲线，v 曲线及其二等分角线的微分符号，即沿 u曲 线S u 0,S v =0,沿v曲线 u=0, v 0 .沿二等分角轨线方向为 du:dv ,根据题 设条件，又交角公式得2 2 2 2(Edu v Fdv u) (Fdu v Gdv v)(Edu Fdv) (Fdu Gdv)展开并化简得E(EG-F i 2 d、a4 cos2 d 2 a2 2 cos) du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F 2>0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的 微分方程为Edu2 =Gdv2.9 .设曲面的第一基本形式为I = du2 (u2 a2)dv2，求曲面上三条曲线 u = a

11、 v, 的三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲 形的面积是01a1S= ,u2 a2 du dv,u2 a2du dvv =1相交所成线围城的三角a1a=2 u2 a2du dv =2 (1 u).u2 a2du0u0aa=£(u23a3a2)2u u2a2a2 ln(u. u22 aa ) |022 2=和丁10 .求球面 r =a cossin , a cos sin , a sin 的面积。解 r = a sin cos ,a sin sin ,acos , r = a cosE = r2 =a2 ,F= r r = 0 , G :=r = a cos .球面的

12、面积为: 2)ln(1osin,a cos cos ,02 a2 sin |24 a2.211.证明螺面 r =ucosv,usinv,u+v和旋转曲面r =tcos ,tsin,t21(t>1, 0<<2 )之间可建立等距映射=arctgu + v , t= . u21 .分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu + v ,t= -u21 ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式证明 螺面的第一基本形式为1=2 du2 +2 dudv+( u2 +1) dv2,旋

13、转曲面的第一基本形式为t22I= (1 p)dtt21本形式为：t d ,在旋转曲面上作一参数变换-arctgu + v , t =u 1 ,则其第一基=(u 丄 1)du2udu2 2dudv (u2 1)dv2 =2du2+2 dudv+( u2 +1) dv2= I .1 u所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t =- u2 1§ 3曲面的第二基本形式1.计算悬链面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ru

14、u =coshucosv,coshus inv, 0,ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0,rw =-coshucosv,-coshusinv,0,E = cosh 2 u, F m m=0, G rv2=cosh2 u.所以 I = cosh 2u du2+ cosh 2 udv2 ._ru_EG F21cosh2 ucosh u cosv, cosh u sin v, sinh u sin v,. coshu 彳八 coshu 彳L= 1, M=0, N= =1 .sin h2 1.sin h2 1所以 II = -du2 + dv2 o2.计算抛物面在原点的2x

15、35x； 4x1 x2 2x；第一基本形式，第二基本形式.解 曲面的向量表示为r x1, x2，- x2 2x1 x2 x；,2rx11,0,5x12x2 (0,0)1,0,0 ,rx2Q1,2x12x2 (0,0)0,1,。 ,rx1x10,0,5,a 0,0,2 , rX2X20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,I= dx：dxf, II= 5dx：4dx1dx22dx；.3.证明对于正螺面 r =u cosv,u si nv,bv,-<u,v< x处处有 EN-2FM+GL=。解 ru cos v, s in v,0

16、, rv u si nv,ucosv,b , ruu =0,0,0,rv0 , Grv2u2 b2,ruv=-uucosv,cosv,0,rvv=-ucosv,-usinv,0,Eru1, FL= 0, M = 一 , N = 0 . 所以有 EN - 2FM + GL= 0 .2 2u b14.求出抛物面z -（ax2 by2）在（0,0）点沿方向（dx:dy）的法曲率.2解 rx 1,0,ax（o,o） 1,0,0 , ry 0,1, by（。,°） 0,1,0 , 口 OQa,% OQOryy 0,0,b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的

17、法曲率 knadx2d7bdy25.已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<1),求 与(S)交线的曲率与法曲率解 设平面 与(S)的交线为(C),则(C)的半径为1 d2 ,即(C)的曲率为.1 d2 ,所以(C)的法曲率为1k-,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于.1 d2F2knk .1 d = 1 .6.利用法曲率公式kn *,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒 数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dvkn例2 2II Ld

18、u 2Mdudv Ndv2 2I Edu 2Fdudv Gdv1或-丄，所以-R RE FG(勺，即第一、第二类基本量成比242rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E rx1 4y ,F rx ry 2xy ,Gry21 4x2y2.L 0,M1 4x2y2 y4 ,N 1 4x2y2x24y渐近线的微分方程为 Ldx2 2Mdxdy Ndy2,即4ydxdy 2xdy20, 一族为dy=0,即y “为常数.另一族为 2ydx=-xdy,即 In x2 y c2,或x2 y c,c为常数.9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上，沿(C)的

19、切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确 定的平面,与曲线(C)的密切平面重合，所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线.方法二：任取曲线rr rr(s)，它的主法线曲面为S:(s, t)rrr(s) t (s)，rsr(s) t&(s) r t(rr r)(1 t ) t ，t r (1 t)r在曲线上，t = 0 , rsr ,曲面的单位法向量r，即nr，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线.10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, 证 曲面的向量表示为 r =x,y, f(x)+g(y),x=y=常数构成共轭网.常数,y=常数是两族坐标曲线。rx1,0,

20、 f' , ry0,1,g'. L 0,0, f , L 0,0,0, L 0,0, g ,因为MH 。，所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族x=常数,y=常数构成共轭网。11.确定螺旋面r =ucosv,u sinv,bv上的曲率线.解 rucos v, sin v,0, rv u sinv,ucosv,bruu =0,0,0，rvv =-ucosv,-us inv,0ruv =-si nv,cosv,0,Eru21， Frurv 0，2 2 2rvu b ，L=0, M= b , N=0,曲<u2 b2率线的微分方程为：dv210dudv0b2 2u bdu2u2 b20

21、0,即 dv_1_u2 b2du ,积分得两族曲率线方程：v ln(u u2 b2)&和v In( u2 b2 u) c2.12.求双曲面z=axy上的曲率线.,G'x2 丄 0，M1 a2x2,N=0 .2 2a ydy21 a2x2dxdy2 2 2a x ya2 2 2 2 a x a ydx22a x=0 得(1 a2y2)dx2(1a2x2)dy2,积分得两族曲率线为In (ax1 a2x2)In (ay1 a2 y2) c.13.求曲面ra(u v), -(u v)*上的曲率线的方程.2 2 2.2 2 ,F42 . 2 2.2 2a b uv a b u,G -4

22、4,L0,19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数abM=.eg2f2，N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是(a2 b2 u2)dv2 (a2 b2 v2)du2,积分得：ln(u a2 b2 u2) In (v .a2 b2 v2) c .14.给出曲面上一曲率线L,设L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角，求证L是一平面曲线.证法一：因L是曲率线,所以沿L有dnndr ,又沿L有？n=常数,求微商得 n 一 n 0,而n dn/dr与正交，所以 n 0,即- n =0,则有 =0,或 n =0 .若=0,则L是平面曲线；若 n =0 , L又是曲面的渐近线

23、，则沿L , n=0 ,这时dn = 0 , n为常向量，而当L是渐近线时， =n，所以 为常向量，L是一平面曲线.证法二：若 n，则因n dr II r，所以n II ，所以dn II &由伏雷r rr内公式知dn 11( r)而L是曲率线，所以沿L有dn I，所以有=0,从而曲线为平面曲线；若 不垂直于n，则有？n=常数，求微商得&n - & 0,因为L是曲率线，所以沿L有dn II dr ，所以& 0，所以 n 0,即- n=0，若=0,贝则'可题得证；否则 n=0 ,则因 n r 0，有 n II , dn II d r |(-)| r，矛盾15

24、.如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。由上证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角, 题结论知正确。16 .求正螺面的主曲率。解 设正螺面的向量表示为$ =u cosv,u sin v ,bv.解 ru cos v,sin v,0, rv u sin v, u cos v, b , ruu=0,0,0,rvv=-ucosv,-usinv,0, ruv =-sinv,cosv,0,M = b, N = 0,代入主曲率公式2 2u b222E ru 1, F ru rv 0 , Grvub2 , L= 0,(EG-F2)N- (LG-2F

25、M+ENn + LN- M 2= 0 得N 2(u2 2a )所以主曲率为aa122 7222 °uaua17.确定抛物面z=a(x2 y2)在(0, 0)点的主曲率.解 曲面方程即 ryy 0,0, 2a , r x, y, a(x2 y2) , rx 1,0, 2ax ry 0,1,2ay ,L 0,0,0, ryy 0,0, 2a。在(0, 0)点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,0,0, 2a,N=2a .所以N -4a n +4a2=0，两主曲率分别为1 = 2 a ,2= 2 a .18.证明在曲面上的给定点处，沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数证 曲面

26、上的给定点处两主曲率分别为1、2，任给一方向及与其正交的方向+ 2，则这两方向的法曲率分别为n( )1 cos22 sin2,n( 2)1 cos2(2)2 sin2(2)1 sin22 cos2，即n()n(2)12为常数。证由 ni cos22 sin2得 tg2-,即渐进方向为2arctg J 22 =- arctg1 .又-2 +21=2 i为常数,所以为i为常数,即为常数.220. 求证正螺面的平均曲率为零.证由第3题或第16题可知.21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率证 在点 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=-LG

27、 2FM0,2(EG F2)LN M 22 =- a .EG F222. 证明极小曲面上的点都是双曲点或平点证法一：由 H2 =0 有 1= 2=0 或 1=- 20 .2若1 = 2 =0,则沿任意方向n( )1 cos22 sin2=0 ,即对于任意 的 du:dv ,2 2kn L Ldu2 2Mdudv Ndv20,所以有L=M=N=0对应的点为平点.I Edu 2Fdudv Gdv若1=- 20,则K= 1 2<0 ,即LN-M2 <0,对应的点为双曲点证法二：取曲率网为坐标网，则 F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ，所以 LG + EN = 0 ,因 E

28、> 0 ,G > 0 , 所以 LN < 0。若 LN M2=0,则 L = M = N = 0 ，曲面上 的点是平点，若LN M 2< 0,则曲面上的点是双曲点。23. 证明如果曲面的平均曲率为零，则渐近线构成正交网.证法一：如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点 若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网若为双曲点,则曲面上存在渐近曲线网由19题,渐近方向 满足tg2=1,2即1= /4, 2=-/4,两渐近线的夹角为2 ,即渐近曲线网构成正交网证法二：Q H 0 LG 2FM NE 0渐近线方程为 Ldu2 2Md

29、udv Ndv2 0du 2duduuN duu2M所以 L( )2 2M N 0 ，所以，所以dvdvdvvL dvvLEdu u F (du v dv u) Gdv v dv v E u F (-du u) G dv v dv v=dv vE - F( 型)G 0，所以渐近网为正交网。LL证法三：M OQ H 丄(！2) 0，所以高斯曲率Q K ! 2 0，所以LN M 2 0 ,所2以曲面上的点是平点或双曲点。 所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两族渐近线为坐标网， 则L = N = 0 ，若M = 0,曲面上的点是平点，若M 0，则Q H 0 LG 2FM NE 0，所以M F =

30、0，所以F = 0 ，所以渐近网为正交网。24.在xoz平面上去圆周y = 0,(x b)2z2 a2(b a),并令其绕轴旋转的圆环面，参数方程为r =(b+acos )cos , (b+acos )sin , asin ,求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。解 E = a2, F= 0 , G=(b a cos )2, L = a, M = 0, N = cos (b+acos ),LN - M 2=a cos (b+acos ),由于 b > a > 0 , b+acos > 0,所以 LN - M 2 的符号与 cos 的符号 一致，当0W < 2和 y < <2时,LN - M 2 >0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭 圆点；当-2< <牛，曲面上的点为双曲点，即圆环面内侧的点为双曲点；当 =2或 y时， LN - M 2=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。25.若曲面的第一基本形式表示为I 2 (u, v)(du 2 dv2)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面