与圆有关的计算202015教师资料

1、2015年中考解决方案与圆有关的计算上课时间:学生姓名:毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 1 of 19 I与圆有关的计算中考说明内容基本要求略咼要求较咼要求弧长了解圆与圆的位置关系会计算弧长圆锥会求圆锥的侧面积和全面积自检自查必考点、弧长公式由于圆周角课看做 360的圆弧，而360的圆心角所对的弧长就是圆周长C 2 n，所以在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长I的计算公式：l n tR180【注意】1. 圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；2. 公式中的三个未知量I , n , R只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推得圆心角的计算公式 为：

2、180IntR、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度.常见的多边形滚动问题有:1. 正三角形沿水平线翻滚；2. 正方形沿水平线翻滚；3. 各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚;4. 各内角不相等的多边形沿水平线翻滚.毕业班解决方案模块课程初三数学.与圆有关的计算.教师版Page 2of19当弓形所含的弧是劣弧时，S弓形S扇形S ABC当弓形所含的弧是优弧时，S弓形S扇形+S ABC当弓形所含的弧是半圆时，S弓形1 ShABCA"ABC"扇形123SS根据弧的情况不同OBAB四、弓形面积的计算方法1. 弓形的定义：由弦及其所对的弧组成

3、的图形叫做弓形.2. 弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算 有以下三种情况：扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形扇形的周长：在半径为 R，圆心角的度数为n的扇形中，周长的公式为：C 2R l 2R nnR180扇形面积的计算公式：nn23601JR （i为扇形的弧长）扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算O1OA卜1 01B2毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 3 of 19 五、圆锥1. 圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形.这条直线叫

4、做圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面.斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高.2 r，因此圆锥的侧面积公连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线.2. 圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为这个扇形的半径就是圆锥的母线I，扇形的弧长就是圆锥的底面周长式为：S nl3. 圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积公式为：S nln2【注意】圆锥面积计算公式中的r ,1与扇形面积计算公式中的 R,1表示的含义是不一样的，应用时不r，则可以三者之间的要用混淆.4. 推论：已知扇形的半径为R，圆心

5、角为n ,扇形围成的圆锥的底面半径为关系为：n r360 RPage 4 of 19 毕业班解决方案模块课程初三数学.与圆有关的计算.教师版中考必做题模块求弧长【例1】圆心角为60°且半径为3的扇形的弧长为（c . 3n219【答案】【解析】本题考查了弧长公式:1=R，其中n为弧所对的圆心角的度数,180R为圆的半径.【例2】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长为（).【答案】15A . n4D15B . 7 n5C. 一 n4【例3】如图，PA .度为（PB是eO的切线，切点是 A、B，已知60 , OA3，那么 AOB所对弧的长【答案】【例4】 如图，六边形 A

6、BCDEF是正六边形，曲线 卩心心心心心心心 叫做正六边形的渐开线”，其 中?K , K1K2 , K2K3 , K3K4 , K4K5 ,忽心,的圆心依次按点A ,B ,C ,D ,E ,F循环, 其弧长分别记为h , 12 , I3 ,14 ,15 ,（6 ,.当AB 1时，12011等于（）FB、A KD EK7A.2011 n22011 nB .32011 nC .4D 2011n6【答案】L60 121803I c60 2221803毕业班解决方案模块课程初三数学.与圆有关的计算.教师版Page 5 of 6033【例5】【答案】【解析】【例6】180604L4180343按照这种规

7、律可以得到：2011-L20113nLn3故选B 如图， ABC是正三角形，曲线 心依次是 A、B C，如果AB弧CD的长是120 n 1180n,弧DE的长是:弧EF的长是:则曲线CDEF120 n2180120 n 31802 n,75°勺圆心角所对的弧长是由题意得：圆的半径 RCDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧DE、弧EF的圆1，那么曲线 CDEF的长是4n n+2 n323+34 n+2 n =4n2.5 n cm则此弧所在圆的半径是180 756 cm.2cm 【例7】 如图，已知RtAABC中，ABC 90 BAC 30 , AB 2 3 cm，将 ABC绕顶

8、点C顺时针旋转至 ABC的位置，且A、B'、C三点在同一条直线上，则点 A过的最短路线的长度是（）cm.A. 8B .4.3c . 323D .-3【答案】弧长=120481803故选D .毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 6 of 19 16 Ticm【例9】在RtAABC中,C 90 , BC 4cm, AC 3cm .把 ABC 绕点A顺时针旋转90后，得到 ABC，如图所示，则点B所走过的路径长为（Ci-25cmcmD. 5 cm【答案】在 RtAABC中，AB.BC2 AC2. 4232【例8】 如图，一枚直径为 4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，

9、圆心移动的距离是（A . 2 ncmB . 4 ncmC. 8 cm【答案】B【解析】圆心移动的距离等于圆的周长.cmAb 2 Rn 25 9053603602故点B所经过的路程为 5 cm .故选C .2【例10】如图，把Rt ABC的斜边AB放在定直线I上，按顺时针方向在l上转动两次,使它转到 ABC的位置.若BC 1 ,AC.3 ,则顶点A运动到点A的位置时，点A两次运动所经过的路程.（计算结果不取近似值）AA £C 卞【答案】在RtAABC中,AB 2 , CBA60 ,Aa 12024Aa90.318031802点A经过的路线的长是4332/ BC 1 , AC 3 ,【例

10、11】矩形ABCD的边AB 8, AD6 ,现将矩形ABCD放在直线I上且沿着I向右作无滑动地翻滚,它翻滚至类似开始的位置 A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是 毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 7 of 19 【答案】12 nD【例12已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心0所经过的路线长是米.【答案2 n+5011【解析解：由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即-圆的周长，然后沿着弧 O2O3

11、旋转-圆的周长,44最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50,由已知得圆的半径为 2, 设半圆形的弧长为I ,则半圆形的弧长1=聖90) n 22 n,180故圆心O所经过的路线长(2 n 50)米.【例13如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线I不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2 cm，则正六边形的中心 O运动的路程为 cm.运动的路径为：从图1运动到图正六边形的中心【答案4 n【解析解：根据题意得：每次滚动正六边形的中心就以正六边形的半径为半径旋转60°正六边形的中心 O运动的路程正六边形的边长为2cm,

12、60 n 22 n 一 ?18032共重复进行了六次上述的移动，一 2O运动的路程6 一 t=4 Ticm3毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 8 of 19 模块二：求面积【例14】如图，点A、B、C在直径为23的eO上， BAC 45 ,则图中阴影部分的面积等于（结果中保留n) 毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 9 of 19【答案】连接OB ,0C ,/ BAC 45 ,二 BOC 90 , eO的直径为2 3 ,二 BO CO 、3 ,【例15】90.3S扇形OBC360,SOBC3 - - S阴影=S1 形 OBCSa OBC2钟面上

13、的分针的长为1,从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（【答案】【例在等腰直角三角形ABC 中,如图，圆心分别为点 A、点B，且AC 2，则图中阴影部分的面积为90，点D为AB的中点，已知扇形 EAD和扇形FBD的 结果不取近似值）.AEFAB【答案】/ BC AC , C 90 , AC 2 ,-AB 2 2 ,点D为AB的中点,二 AD BD 2 ,_ 2.S阴影=S ABCS扇形FBD1 4522 2 22 360【例17】如图，等腰RtAABC的直角边长为 4,以A为圆心，直角边 AB为半径作弧BCi,交斜边AC于 点Ci，Ci Bi AB于点Bi，设弧BCi，CiBi，BiB围

14、成的阴影部分的面积为 Si，然后以A为圆心， ABi为半径作弧B2C2，交斜边AC于点C2，C2B2 AB于点B2，设弧BG CzB?，B?Bi围成的阴 影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=.【答案】根据题意，得ACi AB 4 . ac2AB,2.2 . ac3AB22 . AB32 .阴影部分的面积S3454 i 236022【例i8】如图，在半径为,5，圆心角等于45的扇形AOB内部作一个正方形 CDEF，使点C在OA上,点D、E在OB上，点F在AB上，则阴影部分的面积为 毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page i0 of 191B【答案

15、】538 2【解析】连结OF ,由勾股定理可计算得正方形 CDEF的边长为1 ,则正方形CDEF的面积为1，等腰直角三角形 COD的面积为-，2 扇形AOB的面积为-5彳5 ，8 8所以阴影部分的面积为 53 .8 2【例19】将厶ABC绕点B逆时针旋转到 ABC使A、B、C在同一直线上，若 BCA 90°BAC 30 , AB 4cm，则图中阴影部分面积为 cm2.【答案】3n【解析】此题需要把 BC所在的圆补充完整，设它与线段AB的交点为D，与A'B的交点为E 从而看出整个阴影部分可以割补成扇形 ABA'的面积-扇形BDE的面积即-（42 22） 3 .4【例20

16、】如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长 a为半径画弧，形成树叶形（阴 影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）D. 3aA.na【答案】A【例21】如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是？毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 11 of19 T【答案】77卅【解析】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5,所以面积S90 n 2536025 n4小扇形的圆心角是18012060，半径是1m，60 n 12则面积Snm ,3606小羊A在草地上的最大活动

17、区域面积寻nm2模块三：与圆锥有关的计算5cm，母线长为 15cm,那么纸【例22】如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为杯的侧面积为 cm2.（结果保留 n【答案】纸杯的侧面积为nX 5X 15=75n cm2故答案为75 n【例23】一个圆锥的底面半径为 4cm，将侧面展开后所得扇形的半径为 cm2 （结果保留 n .【答案】圆锥的侧面积 =nX 4X 5=20ncm【解析】侧面展开后所得扇形的半径即为圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积 数值代入即可求解.【例24】某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高侧面积是平方米（结果保留 n .5cm，那么这个圆锥的侧面积等于

18、=冗底面半径X母线长，把相应AO =8米，底面半径OB=6米，则圆锥的A毕业班解决方案模块课程初三数学.与圆有关的计算.教师版Page 12Of 19一 S【解析】根据勾股定理求得B0,再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S 1lr，求得答案即可.2【答案】 A0 8米，0B 6米， AB 10米，圆锥的底面周长=26 12米，1 1- S扇形= lr - 121060 （平方米）2 2故答案为：60 【例25】一个圆锥形零件的母线长为4,底面半径为1 则这个圆锥形零件的全面积是 【答案】/底面半径为1 圆锥的底面面积为n,侧面积为 n rl= nX 1 X 4=4 n

19、全面积为 n +4 n =5,n全面积为5n 故答案为：5 n【例26】将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3.3，则圆锥的侧面积是【答案】圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中,底面半径是3,母线长是6,底面圆周长是6n,圆锥的侧面积是1 66 182故本题答案为：18 n【例27】在RtABC中，/ C=9C° , AC=3 , BC=4，将AABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是【答案】由已知得，母线长 1=5，半径r为4,圆锥的侧面积是s lr 5 420故答案为20 n【例28

20、】如图，把一个半径为 12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径是【答案】.把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形,扇形的弧长为：1 2 r 83/扇形的弧长等于圆锥的底面周长, - 2 n r=8 n 解得：r=4cm,故答案为：4【例29】若圆锥的侧面展开时一个弧长为l6 n的扇形，则这个圆锥的底面半经是 毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 13 of 19 C *【答案】16 n =2 nr解得r=8.故答案为：&【例30】若用半径为12,圆心角为120°的扇形围成

21、一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长.【解析】本题考查圆锥的的侧面展开图根据图形可知，圆锥的侧面展开图为扇形，且其弧长等于圆锥底 面圆的周长.【答案】设这个圆锥的底面半径是R,则有 2 R 12012180毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算教师版Page 15 of解得：R=4.故答案为：4.【例31】将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是度.【答案】将一个半径为6cm,母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平,圆锥侧面积公式为：S=n rl= nX 6X 15=90n,cm2扇形面积为90n 1

22、52360，解得：n 144,侧面展开图的圆心角是144 .故答案为：144.【例32】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是 度.【答案】设母线长为R,底面半径为r,底面周长=2 nr底面面积=n r2侧面面积=n rR侧面积是底面积的 2倍， R=2r,设圆心角为n,有n R 2 r R,180 n=180° .度.【例33】已知圆锥的底面直径为 4,母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为【答案】圆锥的底面周长 =4n,=4n,解得 n=120° .【例34】将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的

23、侧面展开 图的圆心角是度.【答案】圆锥的底面周长 =2nX 5=10,n.7UTX12-180=10n n=150° .【例35】用半径为9cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的高为 cm.1209【答案】扇形弧长为：L= 9 =6 n cm 180设圆锥底面半径为r,贝2 n r=6 n 所以，r=3cm ,因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边,设圆锥高为h,所以h2 r292，即：h2 =72， h= 6.2 cm，所以圆锥的高为 6 2 cm.故答案为：6 2 cm.【例36】问题探究:(1)如图所示是一个半径为3,高为4的圆柱体和它

24、的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，2 n一只蚂蚁从 A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程.(探究思路：将圆柱的侧面沿母线 AB剪开，它的侧面展开图如图中的矩形 ABBA ,则蚂蚁爬行的最短路程即 为线段AB的长)；(2)如图所示是一个底面半径为22，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母3线，一只蚂蚁从 A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程;(3)如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程.图图團3【答案】解：(1 ) BB 23 ,2nAB 5 .即蚂蚁爬行的最短路程为 5

25、.(2) 连接AA，则AA的长为蚂蚁爬行的最短路程，设ri为圆锥底面半径，D为侧面展开图(扇形)的半径, 则 ri 2 ,24 ,由题意得：2 n180n 60 , PAA是等边三角形，.最短路程为AA PA 4 .(3) 如图所示是圆锥的侧面展开图，过A作AC PA于点C ,则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程.j3 AC PA?sin APA' 4 sin6042 3 ,2蚂蚁爬行的最短距离为23 .【例37】铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示 的方

26、案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二.(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)请你帮助他算一算可以吗？(1) 请说明方案一不可行的理由;(2) 判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理 由.【答案】解：连接 AC, E为两圆的切点,(1)理由如下：扇形的弧长I16 1 n 8 n,圆锥底面周长24cm圆的半径OE过 O!作 OF CD , CO1F为等腰直角三角形，- O1C .2O1F2O1E 4、2cm ,又AE AB 16cm ,而制作这样的圆锥实际需要正方

27、形纸片的对角线长为164 4. 220 4 2cmT 20 4 216.2 ,方案一不可行；毕业班解决方案模块课程初三数学与圆有关的计算.教师版（2）方案二可行求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为 r cm，圆锥的母线长为 Rem, t在一块边长为16cm的正方形纸片上，正方形对角线长为16 2 cm,故所求圆锥的母线长为320 2 128 cm，底面圆的半径为2380.23223【题1】 如图，有一长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化为 At Ah A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A2C与桌面成30°角，

28、则点A翻滚到A2位置时，共走过的路径长为（）A 10cmB. 3.5 ncmC . 4.5 ncmD. 2.5 ncmAt A1可看做是A点绕着点B【答案】B【解析】A点走过的路径长 要归结到A点在两次旋转过程中所走过的路线.1顺时针旋转90得到，此段弧长即为半径为5cm的圆周长的-，而A1tA2的路线可看做是 A1点4绕着点C顺时针旋转60得到，此时弧长即为半径为 3cm的圆周长的-.两段弧长加在一起即为6本题最终答案.【题2】 如图，在 RtAABC中，BAC 90°, BC 6，点D为BC中点，将 ABD绕点A按逆时针方向C旋转120°得到 ABD，则点D在旋转过程中所经过的路程为【答案】2 nR，即可得出结果 2n.【解析】根据题意在图中标注已知条件，点D在旋转过程中所经过的路程可以看做是一条弧.这条弧所在的圆的半径为 AD -BC =3,圆心角=旋转度数=120 ,带入公式I 2 180【题3】一个扇形所在圆的半径为 3cm，扇形的圆心角为120°则扇形的面积是 cm2.【答案】3nPage 17 of 【题4】 如图7