高中数学-导数及其应用导学案

1、高中数学-导数及其应用导学案体系构建题型探究r教&式应用9I类型1|利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义， 可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程.还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、 三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现.对于较为复杂的此类问题，一般要利用k=f (X0)( X0, f(X0)为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解.求过曲线y= x32x上的点(1 , 1)的切线方程思路探究切线过曲线上一点(1 , 1),并不代表(1 , 1)就是切点

2、，故需先设出切 点，再求解.【规范解答】设切点为 RX0, yo),则yo=x0-2xo. . y, =3x22,则切线的斜率 k=f ( xo) = 3xo 2, 切线方程为 y (xo- 2xo) = (3 xo 2)( x xo).又.切线过点(1, - 1) ,1 (x32xo) = (3x22)(1 -xo),整理，得(xo-1)2(2xo11 一八 17+ 1) =0,解得xo= 1或xo= - J. .切点为(1 , 1)或一:-,相应的切线斜率为k= 1或22 85 k=-4,1x + ,即 x y 2 = 0 或 5x+4y75故所求切线万程为 y-(- 1) =x- 1或y

3、-8=- 4-1 = 0.跟踪训练1.已知函数f (x) = x3+ax2+bx+c在x=2处取得极值，并且它的图象与直线y= 3x+ 3在点(1,0)处相切，则函数f(x)的表达式为 .【导学号：95902257】【解析】 f (x) =3x2+2ax+b. ,f(x)与直线y=3x+3在点(1,0)处相切，f 1 = 3,3 + 2a + b = 3,即f 1 =0.1 + a+b+ c = 0. f (x)在 x=2 处取得极值，. f (2) = 12+4a+b=0.a= - 3,由解得 b=0,. f (x) =x3- 3x2+ 2.c= 2.【答案】f(x)=x33x2+2I类型2

4、|利用导数研究函数的单调性1 .求函数的单调区间应先确定函数的定义域，利用 f (x)0, f (x)V0的解集确 定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点.2 .求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1) f (x) = 0有无根，(2)f (x)=0根的大小，(3) f (x) = 0的根是否在定义域内.另外当 f (x)=0的最高次 项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3 .已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：转化为不等式在某区间上恒成 立问题，即f (x)0(或W0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使 f (x)=0的参数是否符合题意，构造

5、关于参数的不等式求解，即令 f (x)0(或V0) 求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围.例修 已知函数 f(x) =x3-ax- 1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f (x)在R上为增函数，求实数 a的取值范围.思路探究(1)求出f (x),讨论f (x) = 0的根是否存在，求函数的单调区间；(2)根据题意有f (x) 0在(8, +8 )上恒成立，分离参数后可求实数a的取值范围.【规范解答】(1) f (x) = 3x2a.当a0,所以f(x)在(一00,+8)上为增函数.当 a0 时，令 3x2-a=0 得 x= 3；当 x3a或 x0；vxv

6、当时，/（x） v0.因此f(x)在8, /，幸，+OO上为增函数，在 年,堂上为减函数. 3333综上可知，当awo时，f(x)在R上为增函数；当ao时，f(x)在8, 一 M3a, W3a,+8上为增函数，在一M3a, 乂3a上为 3333减函数.(2)因为f(x)在(一00,十8)上是增函数，所以 f (x) = 3x2a0在(一00,十8)上 恒成立，即aw3x2对xe R恒成立.因为 3x20,所以只需 a0, f(x) = x31在R上是增函数，所以am恒成立，求实数 m的取值范围.【导学号：95902258】【解】(1)函数 f (x)的定义域为(, +oo) , fz (x)

7、=x + ex(ex+ xex) =x(1 ex).若 x 0,所以 f (x)0,则 1 ex 0,所以 f (x)0;若 x = 0,则 f (x) = 0. f (x)在(一00,+8)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(一00,+00).(2)由(1)知f(x)在2,2上单调递减，f ( x) min = f (2) = 2一 e .当nm值成立.即实数 m的取值范围是(一, 2 e2).利用导数研究函数的极值和最值1 .利用导数研究函数极值的一般流程求定-I求 ， 用梭值报值版左横f 76印 1 知方程根的情况中美:一尊拙的方一和不率切隆瀛砌I2 .求函数f(x)在a, b上的最大

8、值和最小值的步骤：(1)求函数在(a, b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a) , f ( b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3 .注意事项：(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.(2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好 f (x)=0时的情况；区分极值点和导数为 0的点.已知函数f(x) =x3+ax2+bx+c,曲线y = f(x)在点x=l处的切线为l ： 3x y_2 一+ 1 = 0,右 x=w时，y=f(x)有极值.3求a, b, c的值；(

9、2)求y=f(x)在 3,1上的最大值和最小值.思路探究(1)利用f (1) = 3、f 2 =0、f (1) =4构建方程组求解;3 求极值和区间- (2)令fx =0 一列表一环一比较大小一得最大值和最小值 |骊点的函数值 【规范解答】 (1)由 f (x) =x3+ax2+bx+c,得 f ( x) = 3x2+2ax+ b.当x = 1时，切线l的斜率为3,可得2a+b=0,当x = |时，y=f(x)有极值，则f 2 =0,可得4a+3b+4=0,33由，解得a= 2, b=-4.由于切点的横坐标为1,所以f(1) = 4.所以 1 + a+ b+c=4,得 c = 5.322(2)

10、由(1)可得 f(x) =x + 2x 4x+5, f (x) = 3x+4x 4.令 f (x) = 0,解得 x1= c22, x2 3.当x变化时，f ( x) , f (x)的取值及变化情况如下表所示:x3(3, -2)-2-2一 2，-323235 11f (x)十0一0十f (x)813/95274. 一 . 一 一 一 95由表可知，函数y=f(x)在3,1上的最大值为13,最小值为27.跟踪训练3.已知函数f (x) = ；x3；x2 + cx+d有极值. 32(1)求c的取值范围；1 2(2)若f(x)在x=2处取得极值，且当 x0,，cv；(2) f(x)在 x=2 处取得

11、极值，f (2) = 4 2+c= 0, . c= 2.，f(x)=：x3；x2 32-2x + d.2. f (x) = x x 2= (x 2)( x+1),，当 x ( 00, 1)时，f (x)0,函数单倜递增，当xC( 1,2时，f (x)0,函数单调递减. x0时，f (x)在x=1处取得最大/古7 一值 d,6一1 2、71 2 一. x0 时，f (x) v；;d + 2d恒成立， -+ d0, 666.,.d1,即 d 的取值范围是(8, - 7) U(1 , +00).|类型4|I分类讨论思想利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题，尤其是函数、导数中的解答题，在含参

12、数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论.卜丽 已知函数f(x) =x-ln( x+a)的最小值为0,其中a 0.(1)求a的值；(2)若对任意的x e 0 , +),有f(x)wkx2成立，求实数k的最小值.思路探究(1)求出函数f (x)的最小值用a表示解方程可得 a的值；(2)构造函数g(x) =f(x)-kx2,分类讨论求其在0, +8)的最大值，使其最大值wo 可得k的取值范围，即得其最小值.【规范解答】(1)f(x)的定义域为(a, +8). f (x) = 1 =x+a- 1.x十ax十a由f (x) =0,得x= 1 aa当x变化时，f (x) , f

13、(x)的变化情况如下表：x(一 a, 1 - a)1 -a(1 a, +)f (x)一0十f(x)极小值因此，f (x)在x= 1 a处取得最小值，故由题意 f (1 a) = 1 a= 0,所以a= 1.(2)当 kwo 时，取 x=1,有 f(1) =1 ln 2 0,故 kwo 不合题意.当 k0 时，令 g(x) = f (x) - kx2,即 g(x) = x ln( x+ 1) kx2., xg(x)=g x+ 12kx = x2kx 12kx +1令 g (x) = 0,得 x1 = 0,1-2kx2= -T； 1.2kg (x)0在(0 , + 00)上恒成立,11 1-2k当

14、k;时，Fw0, 22k因此g(x)在0 , +00)上单调递减.从而对于任意的xC0, +),总有g(x) g(0)一。. 1, 一一=0,即f(x)2符合题意.,1 . 12k 一 一 八 1 2k,当 0vkv;时，0,对于 xC 0, g (x)0,22 k2k一1 2k 、e2人1 2k故g(x)在0, - 内单倜递增，因此当取 xc 0,时, 2k2 k21 一g( xc) g(0) =0,即 f(x0)Wkx。不成立.故 0vkv2不合题息.，一，一 1综上，k的最小值为21.跟踪训练x 1, ._、4.设函数 f(x) = ae+x+b(a0). ae(1)求f(x)在0, +

15、8)内的最小值；3.(2)设曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线万程为y = -x,求a, b的值.x 1【解】(1) f (x) = ae x, ae当 f (x)0,即 xIn a 时，f (x)在(一In a, 十)上单调递增；当 f (x)0,即 x0, f( x)在(0 , In a)上单调递减，在(一In a, +)单调递增，从而f (x)在0 , +8)上的最小值为f(in a)=2+b;当al时，-in a2)的最大值为.1L 2,x- 1,x-1 -xf (x) =2-x x-12当 x2 时，f (x) 0,所以 f(x)在2, +8)上是减函数，故 f(x)ma

16、x= f(2)=2 12.【答案】2，一。x 1. 。4 .已知函数f(x)=x32x+e 其中e是自然对数的底数. 若f (a1) + f (2a2) w。,则实数a的取值范围是 .【导学号：95902261】【解析】因为 f( x) =( x)32( x)+ e-x-Le3x ,1=x +2x e + ex= f (x),v 1所以 f(x) = x 2x+ e eizE前函数.因为 f (a- 1) +f (2 a2) 3x2-2+2/ex - e -x =3x20,所以f(x)在R上单调递增，所以 2a w 1 a,即 2a + a 1 w 0,一，1所以一1w aw 2.1【答案】-

17、1,25 .已知函数 f (x) =x3+ ax2+ bx+ 1(a0, be R有极值，且导函数f (x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a.【解】(1)由 f (x) =x3 + ax2+bx+1,得2a2f (x) = 3x2+2ax+ b=3 x + +b% 332当* =日时，f (x)有极小值b-. 33因为f (x)的极值点是f(x)的零点, aa3 a3 ab所以 f 3 = 27+93+1 = 0.一2a 3又 a0,故 b=9 a因为f(x)有极值，故f (x)=0有实根, a213 一从而 b = (27 a)w0,即 a3.39a当 a = 3 时，f (x)0( xw 1),故f(X)在R上是增函数，f(X)没有极值;当a3时，f (x) =0有两个相异的实根_ a _ Ya， 3 b_ a+l a2 3