大学解析几何

1、空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点”（和其百）和“2（工2，力,乙2），则向量MM? =（%f ,%f，Z2-a）2、已知向量。=（4,“2，3）、% =（4力2力3），贝U（1）向量 4 的模为I a 1= 4a： +4 +%2（2） a± h = （a ±ba2 ±与, 土3）（3） Aa = （M,Ati2,）3、向量的内积（1） a /? =1 a I I。I cos< a,b >（2） a- b = axb. + ah + ajI 1，工，>其中v >为向量a ,/?的夹角，且OW<a,/?>W;r注意

2、：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平 面与平面的夹角。4、向量的外积（遵循右手原则，且ax_La、ax /? ± /?）T T i j k-Tax b = a. a. a.I14 b2 A5、(1)7 4 = 1 = 4 = " = " = &仇匕2名 T T T (2) 4_1_ = "。=0 =，他 + a2b2 + a3b3 = 0二、平面1、平面的点法式方程已知平面过点P(x0, %,&),且法向量为1 = (A8,C),则平面方程为A(x-x() + 8(y - %)+ C(z -Zo) = O注意：法向量

3、为1 = (A8,C)垂直于平面2、平面的一般方程Ax+8,v + Cz + O = 0,其中法向量为1 = (A8,C)3、(1)平面过原点(0,0,0)U> Ax+By+Cz=0(2 )平面与x轴平行(与yoz面垂直)U>法向量垂直于x轴<=> By + Cz + D = O(如果0 = 0,则平面过x轴)平面与y轴平行(与xoz面垂直)U>法向量垂直于y轴 <>Ax+Cz + D = 0(如果0 = 0,则平面过)，轴)平面与z轴平行(与xoy面垂直)U*法向量垂直于z轴 o Ax+8y + £) = 0(如果。=0,则平面过z轴)(3

4、)平面与xoy面平行<=>法向量垂直于my面oQ + 0 = 0平面与XOZ面平行U法向量n垂直于xoz.面o+。= 0平面与面平行=法向量垂直于yoz面。Ax+£）=。注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点夕（%,凡；0）且方向向量为V =（VrV2,V3）直线方程X一与 _ 口一儿 _ Z-Zo 匕 匕 为注意：方向向量u =（匕，匕，匕）和直线平行2、直线的一般方程4" + 8/' + Gz + A=° ,注意该直线为平面A2x + B2y + C2z + D2 = 0Alx + Bly + Clz + D =A1x + B1

5、y + C1z + D2 =0 的交线X = X。+ t3、直线的参数方程，y = % + yZ = Zo + v3t4、（1）方向向量u =（0,叱，匕），直线垂直于x轴（2）方向向量v =（%,0,U3），直线垂直于y轴（3）方向向量；= （%,%,0）,直线垂直于z轴5、（1）方向向量 =（0。匕），直线垂直于wy面（2）方向向量y = （0,叱,。），直线垂直于xoz面（3）方向向量y =（匕,0,0）,直线垂直于*z面应用一、柱面1、设柱面的准线方程为9*'、母线的方向向量；=（、匕）,求 力（x, Z）=。柱面方程方法：在准线上任取一点A/（%,y,Zi）,则过点,zj的母

6、线为x X _ yf _ z -ZV1 V2 匕又因为A/（x2,Z）在准线上，故力。1，丁1，&） =。（1）/2（x1,>,i，Zi） = O （2）令二1 = 口 =*（3）V1 V2 匕由（1）、（2）、（3）消去为,号求出f,再把f代入求出关于x,y,z的方程 尸（x,y,z） = O,则该方程为所求柱面方程例1：柱面的准线为"： +）：+z：=l，而母线的方向为0 = -1,0,1,求 2x2 +2y2 +z2 =2这柱面方程。解：在柱面的准线上任取一点M8,%,4）,则过点M（X，m，Zi）的母线为X-X _ y - >'1 _ z一 哥 6

7、 r即 X =x + f,乃=y ,Zi =Z-，（ 1）又因为A/（X，X，Z）在准线上，故xj+）+zj = 1（2）, +2yJ+zj = 2 （3）由（1） （2） （3）得/+ y2+z2+2xz-l = 02、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半 径方法：在圆柱面上任取一点取0（%0，丁0心），过“0（事,汽4）点做一平面垂 直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对 称轴方程联立求得平面和对称轴的交点M"，兑,帚），则为圆柱的 半径例2：己知圆柱面的轴为/ =上1 =四，点M (1, -2, 1)在此圆柱面 1-2-2上，求这

8、个圆柱面的方程。解:设圆柱面上任取一点“0(%,加%0)，过点“0(%,汽4)且垂直于轴的平面为(x-xo)-2(y-yo)-2(z-zo) = O轴方程的参数式为x = f, y = 1 -2,，z = -1 -2/代入平面方程得9故 该 平 面 和 轴 的 交 点 为/XyZo 9-2/ + 4儿 + 4z° -9一2%+4凡+4q、9'9'9过点(1, -2, 1)和轴垂直的平面和轴的交点为(LL-3因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得8x2 +5y2 +5z2 + 4xy + 4xz - 8yz -18y + 18z-99 = 0注意：也可找圆柱面的准线圆

9、处理例3：求以直线x二y二z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程解:在圆柱面上任取一点“0(%,%,20),过点M)(Xo，yo，Zo)且垂直于轴的 平面为(x-xo) + (y-yo) + (z-zo) = O轴方程的参数式为x = f, y = f, z = /代入平面方程得一%十九十号3故该平面和轴的交点为近(：%十而一包包+包+包、5rL+a)3则此幅的长等于半径R=1故利用距离公式得X°+y°+Zo 24八，/+凡+福2*“Xo+)'o+Zo、2(/；)+()()+5；)-即所求方程为（2x° -汽z（） +（-x0 + 2）1 - z（）. + （

10、x（）义 +2z（j） = 9二、锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线 是母线，定点为顶点，定曲线为准线。1、设锥面的准线为?顶点为风（%,），°,z。），求锥面方程f2（x,y,z） = 0方法：在准线上任取一点M（x"i，Z），则过点的母线为一一玉）=）'一凡="Z。（）七一 / 月一 >?o q一 z。又因为M（x2,Z）在准线上，故力 “1M，曷）=。（2）/2（X,y,Zi） =。（2）由（1）、（2）、（3）消去X,%Z求出关于.工y,z的方程尸（x,y,z） =。，则该 方程为所求锥面方程/ ）2 1例1锥面的

11、顶点在原点，且准线为户+庐=1,求这锥面方程。z = c解：在准线上任取一点M（x"i，Zi）,则过点"（%”,&）的母线为% _ y _ z玉弘 Z又因为在准线上，故工+1=1且Z=ca b上面三个方程消去网得£+E-M=ocr lr 厂2、圆锥面已知圆锥面的顶点M（%，y°，z°）,对称轴（或轴）的方向向量为V =(vpv2,v3),求圆锥面方程方法：在母线上任取一点"*,)，,z),则过该点的母线的方向向量为一利用；和1的夹角不变建立关于X,y,z的方程，该方程为所求例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。(x+ y +

12、 z)2 = x2 + y2 + z2) 解：在坐标轴上取三点(1,0,0),(01,0),(0。)，则过三点的平面为x+y+z=1故对称轴的方向向量为(1,1,1), 一条母线的方向向量为(1,00),则母线和对称轴的夹角为1x1 +1x0 +1x0 = 6x1xcosa,即 cos a =走3在母线上任取一点M(x, y,z)，则过该点的母线的方向向量为n = (x, y,z)x + y + z = yjx2 +y2 +z2 - V3cosa所以(x + y + z): = x2 +y2 +z2例3圆锥面的顶点为(1,2,3),轴垂直于平面2x + 2y-z + l = 0,母线和轴成30

13、%求圆锥面方程解：在母线上任取一点M(x,y,z),轴的方向向量为(22-1),母线的方向向量为 n = (x-l,y-2,z-3)则 2(x-l) + 2(y-2)-(z-3) = 7(x-l)2+(y-2)2+(z-3)2 - v19cos30°即 4(2x + 2y z 3尸=27(x if + 27(y- 2)2 +27(z-3)2三、旋转曲面设旋转曲面的母线方程为，: '=：,旋转轴为?=二左=宁， /2(x,y,z) = 0X Y Z求旋转曲面方程方法：在母线上任取一点心(片,片,q),所以过监突,必,南)的纬圆方程X(x-x,) + r(y-y1) + Z(z-

14、z1) = 0< )222)，*/) +(y-y0) +(z-Zo)=(匹 _/) +(- -%)+(zi -z0)又因为监区,切当)在母线上,有力（X"，Z|） =。 <由上述四个方程消去为,M,哥的方程F（x,），, z） = 0为旋转曲面例4求直线t =三1绕直线/: x = y = z旋转一周所得的旋转曲面的方 210程。解：在母线上任取一点M（X"i，Zi），则过的纬圆方程（X - Xj） + （y - >,） + （z - Z,） = 01，222厂 + 厂 + Z- " +x +Z又因为M区，加4）在母线上，有+ = "

15、=受二1 210由上述方程消去演，片,冬的方程得9/+9/+9/ =5（x+y + z-l）2+9四、几种特殊的曲面方程1、母线平行于坐标轴的柱面方程设柱面的准线是my平面上的曲线则柱面方程为/（x,y） = 0 z = o设柱面的准线是xoz平面上的曲线卜（“"）"°,则柱面方程为g（x,z） = 0y = 0设柱面的准线是）依平面上的曲线F（"Z）= °,则柱面方程为（y,z） =。x = 0注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面例求柱面方程

16、（1）准线是V=2z,母线平行于x轴x = 0 解：柱面方程为y2=2zx2 y1 ,（2）准线是 彳+于T =1,母线平行于轴）=3解：柱面方程为M =4/') ， ，工+二_三=1(3)准线是, 499，母线平行于z轴x = 2 解：x = 22、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面设母线是P"''')"。，旋转轴是x轴的旋转曲面为JU,土F7) = 0;旋 z = 0转轴是y轴的旋转曲面为/(土耳73,丁) = 0(同理可写出其它形式的旋转曲面方程)注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。例方程 + x

17、 =()是什么曲面，它是由W),面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的解：my面上的工-x = 0绕x轴旋转而成的 23、平行于坐标面的平面和曲面y,z) = 0的交线方程平行于my面的平面力和曲面A3z) = 0的交线为°Z = h平行于XOZ面的平面y = h和曲面/(x, X Z) = 0的交线为FZ)= °y = h平行于yoz,面的平面x = /?和曲面/(%,卜z)=。的交线为“广")=°x = h例求曲面和三个坐标面的交线(1) X2 +y2 +16z2 =64解:a2 +16z2 =64 fy2 +16z2 = 64y = 0x = 0(2)

18、x2-4y2-16z2 =64解：注意在面上无交线(3) x2 +9y2 = 10z解：在my面上交于一点（00）五、求投影1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影例5 （1）求点A（3,l,-1）在平面3x+y + z-20 = 0上的投影（2）求点a（12-5）到平面x-y + z-10 = 0的距离，并求该点关于平面的对 称点坐标（1）求过直线产一2y+ 2 =。且与点“（121）的距离为1的平面方程 x-2y-z+6=02、求点在直线上的投影、求点到直线

19、的距离、求关于直线的对称点方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影例6 （1）求点A（LTO）到直线二=匕1 =三1的距离，该点在直线上的201投影（2）求点到直线卜一313 = 0的距离x-y = 03、直线在平面上的投影方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方 向向量和已知平面法向量的外积（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影例7 （1）求直线2x 4+ z = ° 在平面4x-y + z-1=0上的投影直线的 3x-y-24-9 = 0方程（2）直线在冲z面上的投影为

20、pl",在皿面上的投影为x = 04x + 5z + 3 = 0,求直线在my面上的投影4、曲线":在坐标面上的投影柱面及投影g(x, y,z) = o方法：(1)消去Z得似2) = 0,则= °为曲线在my面上的投影z = 0(2)消去x得儿Gz) = 0,则/式，)"°为曲线在*z面上的投影 .x = 0(3)消去y得儿(x,z) = 0,则？。：)=。为曲线在qz面上的投影 卜=。例(1)求球面/+V+z2=9与平面x + z = l的交线在邓面上的投影柱面及投影(2)把曲线F：2+f+4x = 4z的方程用母线平行于x轴和z轴的两个投

21、|y+3z2-8x = 12z影柱面方程表示解：消去x得母线平行于x轴的投影柱面方程V+#=4z；消去z得母线平行于z轴的投影柱面方程y2 + 4x = 0,因此曲线可表示为卜：+d=*厂 +4x = 0五、求平面方程1、过直线丁+竽+Y” )的平面方程可设为A2 x+ B2y + C2z + D2 =0(Alx + 耳 y + Cz +。) + A(A2x + B2y + C2z + £)2) = 0如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理例(1)在过直线产+>+"+4=°的平面中找出一个平面，使原点到它的 x + 2y + z = 0距离最长。(

22、2)平面过OZ轴，且与平面y-z = 0的夹角为60。，求该平面方程(两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角)（3）求过点和直线二=匕1 =三1的平面方程 201（4）过直线厂+ 22-4 = °作平面，使它平行于直线2一匚=°3y _ z + 8 = 0y _ Z _ 6 = 0（5）过平面2x + y = 0和4x + 2y + 3z = 6的交线作切于球面x2 +y2 + z2 = 4的平面（6）求由平面2x-2 + 12 = 0,_¥ + 3），+ 17 = 0所构成的两面角的平分面方程2、利用点法式求平面方程注意：（1）任何垂直于平面的向量均

23、可作为平面的法向量（2）和平面Ax+8.v + Cz + O =。平行的平面可设为Ax + B.v + Cz + D =0（3）如存在两个向量"=M”,%）、了 =（4也也）和平面平行（或在平面T T Tijk内），则平面的法向量为 =ax分=% 4）。34 b2 b3例（1）己知两直线为4=， = = 求过两直 11-11-12线的平面方程（2）求过A（8,-3,1）和8（472）两点，且垂直于平面3x + 5y-z-21 = 0的平面（3）平面垂直于向量（2,1,2）且与坐标面围成的四面体体积为9,求平面方程（4 ）已知球面/ + y2+z2-2x + 4y-6z = 0与一通过

24、球心且与直线:二：=0垂直的平面相交，求它们的交线在W)，面上的投影3、轨迹法求方程方法：(1)设平面上任点M(x,y,z) (2)列出含有x，FZ的方程化简的平面方程例求由平面x-y + 3z + l = 0和x + y-3z-2 = 0所构成的二面角的平分面的方程六、求直线方程1、把直线的一般方程化为点向式方程方法：已知直线方程为A/ + B|)' + Gz + °=° ,则该直线的方向向量为 A2x + B2y + C2Z + Dy = 077;V = Aj B G =(%，l，2 $3)4 B, a一 在直线上任取一点(x。, y。,z。)，则直线方程为二t

25、 = 口L =二1 V1V2匕例化直线的一般方程'+)' + "5 = °为标准方程 2x + y - 3z -1 = 02、根据直线的方向向量求直线方程例(1)过点M(0,1,2),且平行于两相交平面x-y + 3z + l=0和x+y 3z 2 = 0的直线方程(2求过点”(240),且与直线"+ 2" - 1 = °平行的直线方程 y-3z-2 = 0（3 ）求过点M（l,0,-2）,且与平面3x + 4y-z + 6 = 0平行，又与直线垂直的直线方程141注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平

26、行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量3、利用直线和直线的位置关系求直线方程注意：（1）两直线平行，则”=生="，其中（小叽,%）和（/"，%）为 % n2 %-_直线的方向向量垂线的方向向量为y = "?】=（匕,%，匕），则两异面直线的距离为（2）两直线二 =匕包=1和=L = =21 = =L相交，贝IJ叫 m2 fn3 n1 n2 4王一 X。兑一 >0Z - z0=叫叫吗=0且”工生.也%3* （3）两直线=1 =二1 =三包和二 =二1 =二.异面，其中公 /»i m2 ni3H| n2 3XT。y - >'o Z-Zo

27、mAm2"八=0=与；公垂线方程为<V1V2V3i;ixfz -曷nn2n.=0V1V2匕例求通过点M。）且与两直线;或、和?都相交 的直线方程解：设所求直线的方向向量为（a八c）,已知两直线的方向向量为（123）、 （2,1,4）,且分别过点（0,0,0）、（123）1 12 3 =0,即 a-2Z? + c = 0； b c-1 -214 =0, B|J a + 2b c = Qb c故 a = 0,c = 2b,故 3,c) = (0,1,2)所求直线为彳(2)己知两异面直线2 =上=£11和工1 =匕1 =三1,求它们的距离与 1-10110公垂线方程(3)求

28、与直线9=匕1 =二平行且与下列两直线相交的直线871Z = 5x 6 强 z = 2x - 4< 和<z = 4x + 3z. = 3y + 5(4)求过点P(l,-2,3)与z轴相交，且与已知直线土 = 二=二垂直的直43-2线方程习题1、己知柱面的准线为-X7)2+()' +>+"-2)2 =25且(1)母线平行于X x+y-Z+2=0轴(2)母线平行于直线x = y,z = c,求柱面方程2、已知柱面的准线为卜=)"+/母线垂直于准线所在的方程，求柱面方 x = 2z程3、求过三条平行线x = y = z,x + l = y = z-l,x

29、-l = y + l = z-2的圆柱面方程4、求顶点为原点，准线为/-2z + l = 0,y-z + l = 0的锥面方程5、顶点为(3T-2),准线为/+y2-z2 =l,x-y + z = 0,求锥面方程6、顶点为(1,2,4),轴垂直于平面2x + 2y + z = 0,且过点(3,2,1),求该圆锥 面的方程7、求下列旋转曲面方程(1)直线上!=让！=七1绕直线t旋转1-121-12(2)直线±绕直线二=2_ =三1旋转21-11 -12(3)直线匚=上=三绕直线z旋转1-3 3(4)曲线卜I， 绕直线z旋转一+)，2 =18例求曲面和三个坐标面的交线(1) x2 +4y

30、2 -16z2 = 64 (2) x2 -9y2 = 10 (3) x2 +4y2 -16z2 = 09 (1)求点尸(2,0,T)关于直线J+12 = 0的对称点2x + y - 2z + 3 = 0(2)求点A(23-1)到直线2" 2y + z + 3 = °的距离，3x-2y + 2z + 17 = 010求直线3 = 2 =三L在平面x-)，+ 2z-1=0上的投影直线的方程 1 1 111求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影厂十厂一2 = 0<z + x = x + 2y + 6z = 53x-2y-10z = 7x2 + z2 -3yz-2x + 3z-3 = 0y Z +1 = 0廿=x2 +y2=2y12 (1)过直线(, 作平面，使它垂直于平面x + 2y + z = 0 x-2y + z = 0(2)求过点M(3,-2)和直线三=三=总的平面方程021(3 )求过两平面3x-y + 2z-2 = 0、x + y-4z-3 = 0交线且与平面x+y + 2z l=0垂直的平面(4)求过点"3D和直线?追=辞的平面方程(5)过直线二=212 =巴且与直线2x->' + z-3 = 0垂直1-5-