高一数学等系数和线奔驰定理圆锥曲线

1、三角形“五心”的向量表示（二）旁心Z满足-sin ALA+sin 8/了+sin CI .C = 0/Irl/Imi在月5。中，角月、仄。所对的边分别为a、b、。，且2a二6七 0, 1分别为其外心和内心, 求证：OILAI.证明AbOiAI(AI-AO=1 而+就就.而 (n + /，+ cn + 8 + c 八4+ + c0 + + c ) abcn +8+ c)=)-以 2 ABAB 21)cABAC+c2 AC-AC)- -) bABAO+cACAO)(。+ + 叩f 4 +。+ /71,2 J_2吐2+儿仅+片一标)_”C +”C(n + + c)2a + b + c_ bc(hc-

2、2a)2(a + + c)=0.因而原命题得证.习题1如图，在嫉中，角A、B、0所对的边分别为a、枚c,且D、上分别在边？15、 月。上，且BD=CE=a, 0, Z分别为其外心和内心，求证：01 IDE.习题21 i y- 如图，0、G、1分别为三角形嫉的外心、重心、内心，且月GJ_ 求证：1 + 1 = -.b c aBC圆锥曲线初步一、平行四边形中的一些结论 在平行四边形 3中，对角线的平方和为边的平方和的两倍，即 |AC|2 + |BD|2 = 2(|AB|2 + |AD|2)在此基础上，得出中线长公式：在曲:中，BOa, AOb,冷c, W为5。的中点，则 有=同2 +匕乃一|a|2

3、三，b共起点。终点分别为月，&则向量三角形为/用由S = ；absinB得出向量三角形，平行四边形面积公式： 悯bl康S 二 2二、硬解定理29设直线月6的方程为y=kx + m,与椭圆i ： 1 +京:1交于46两点，。为坐标原点.联立直线与椭圆，可得(a2k2 + b2)x2 + 2kma2x + a2m2 - a2b2 = 0A = 4a2b2(a2k2 + b2 - m2) 0, El=o的距离为d=77,必使 弦长AB为则月仍的面积为SOB = 3AB卜 d 乙W、b点。到直线AB:kx - y+m当且仅当不行=1 京手，即+ b2 = 0)2时，取等号.三、仿射变换在求。位面积最大

4、值的问题中，若椭圆特殊为圆，那么S = psin e这$2,当0A1_ 仍时等号成立.2-2那么对于椭圆工：十1=1，我们设X、= X,=,在新的坐标系下得到x2 + y2 = a2 所以面积取到最大值时， 、， Ya YBkw. koB = - =- 1Xa Xb即3rAYB _ b2xaxb a2 也就是b2 koA 味=-f a-四、垂径定理已知不过原点。的直线与椭圆捺+ = 1交于A, 6两点，必为弦相的中点，则直线AB 与直线QV的斜率之积b2 % .卜情二- a-注一：当&二6;r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理：注二：这里并不要求a8,也就是说此结论对焦点在x轴和焦点

5、在j，轴上的椭圆均适用；注三：双曲线5 - 5 = 1的垂径定理中的斜率之积b2 k&B * W or五、切线公式在任意二次曲线Ax2 + By? + Cx + Dy + F=0上一点P （如加处的切线方程为： xo + x yo + yAxqx + Byoy + C- + D + F = 0六、面积公式由有向线段oA%, Yi） OB（X2, 丫2）围成的。奶的有向面积例题ai a2 、设 A, a为3s, a； R ,且二1， 记 f (A,a二，小,a：)a： + aj + a/+ / + 233 +a2a4,求 f(&, 土，土, aJ 的最小值。i解 设m = (ai.aj，n =

6、(a3,a4)=f = ImT + |n|2 + in n 记cos 8 =而南,则Sa =摘苗in 6 =料同- cos =疆；：/4间=焉nf221MlM + m ncos 0sin 9sin 98阿波罗尼斯圆动点产J, y）到定点E（-c, 0）,三（, 0）的距离之比为，（c,4为正数），则尸点的轨 迹方程（1 - X2）x2 + （1 - X，2）y2 + 2c（l + X 2）x + （1 - A2）c2 = 0 讨论：1 .当入=1时，即x = 0,2点轨迹为直线3匹的中垂线）2 .当入W 1时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆进一步，对于圆锥曲线有：动点尸到动点尸与定直线的距离之比

7、为定值 人 则动点产 的轨迹是二次曲线.其中八即圆锥曲线的离心率快速判断直径，圆心的方法：过尸作内外角平分线分别交直线E匹于T，D,则根据角平 分线性质容易得到D为直径.即：在后色上找到一对调和分比点7, （根据比例可以快速判断），7P中点即圆心.另：角平分线性质：IPF1I _ iTFilIPFN _ |PF2|WT = WTW = ITFJ例题一求满足条件上2,需二也的放的面积的最大值。解品4眄I r=眄| （一 +X2X1 - 2 =IBCI2其实不难发现通式|BC|己知两定点月（-2,0）, 5（1,0）,如果动点尸满足PA =2 PB，求点尸的轨迹所包围的面机习题2已知共面向量a,

8、b, c满足a=3, 5+占2a,且占；=6c -若对于每个确定的向 量6，记b-ta （R）的最小值为&皿则当b变化时，的最大值为托勒密定理平面上四边形的四边与对角线满足关系：对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积 之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等.例题1已知月6。满足A = y,（AB + AC” BC二葭点必在嫉外，且 32VC=2,则坳的取 值范围是静态观察（解法一）易知月弘为等边三角形，如图，设.序与，月庆aN；!,那么由左右两图分别应用托勒密 定理可得tx W 3t,2t W tx + t由于两侧等号均能取得（如图），又根据图形连续变化，因此物的取值范围是动态探索（解法

9、二）如图，先固定5 M使得必上2,然后让。在半径为1的圆必上运动，观察月点的轨迹（暂 时忽略必在月6。外的条件）.由平而几何知识容易得到4的轨迹是圆也绕点S旋转60后得到的圆加 据此容易求得必的取值范围是1,3（注意取得最值时也均在血外部）.例题2己知椭圆4 y2 = 1，尸在椭圆上，求尸点到G点（。，J的距离的最大值.解根据托勒密定理有PG2c2a GA当且仅当兄凡，G四点共圆时等号取得.易知等号可以取得.此时为垂直过户的切 线1,且尸G平分NE军，这里用到了一个二级结论：圆锥曲线上一点的切线为该点与焦点组成的焦点三角形的外角平分线.同时证明了取得最大值时，届总在年，质之间，也即构成凸四边形

10、，从而可以利 用托勒密定理.进一步思考，当离心率熄时，这种做法只适用于G点在短轴上时，（此 时防廷的外接圆与椭圆有交点）；若G在短轴所在直线上（不在短轴上），最大值为尸点 在远离G点的短轴端点时取到.更一般的表述：这种做法只适用于G点在短轴所在直线上时，（且此时成其的外接圆 与椭圆的另半部分有交点）：若G在短轴所在直线上（且此时笫乏的外接圆与椭圆另半部 分没有交点），最大值为产点在远离G点的短轴端点时取到.其中“椭圆另半部分”是指, 当G在x轴一侧时，x轴另一侧的椭圆曲线被称为“椭圆另半部分”.其他情况，利用二 次函数最值求解.向量叉乘在高中数学的学习中，同学们接触到向量的概念，并了解其性质、

11、线性运算、坐标表 示、数量积以及在实际问题中的应用。在此基础上，可进一步深化，引入向量的叉乘运算, 能够提升对向量的理解，方便问题的解决。1 .叉乘的定义要确定一个向量，需要知道它的模和方向。如图1，对于给定的向量a和6,规定向量。=aXb,满：足：/Hrj(1)模：c = a b sin(a b)/(2)方向：向量。的方向垂直于向量a和4且符合右 /手定则：用右手的食指表示向量&的方向，然后手指朝着手 l_心的方向摆动角度。0,可到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。这里的。也就是a,b)。这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积。应特别注意的是，不同于向量的数 量积，向量的叉

12、乘的结果仍是一个向量。给定叉乘的定义后，就可以利用高中数学知识推 导出一系列结论。2 .叉乘的性质(1)显然有aX&R(2)反交换律：和其他运算不同，向量的叉乘满足反交换律，即aX加-bXa，这 是因为右手定则中手指一定是从乘号前的向量摆动到乘号后的向量，如果将二者顺序交 换，则一定要将手倒过来才能满足OW 肛也就使得积向量反向。(3)易得对数乘的结合律，即(八d) X炉aX( 4公=43X6)(4)可以证明分配律：X c=aX EbX c或aX (c)=aX加aX c3 .叉乘的几何意义如图，在平面上取点0,作卜&，品=5=asin(a, b),由三角形面积公式S = Jab sin，可知a

13、Xb 表示以，如为相邻两边的三角形的面积的两倍，也就6M,仍为两边的平行四边形的面积。即 aX b -2S/.oaSoabc4 .叉乘的坐标表示将叉乘运算引入坐标系是探讨叉乘运算必不可少的一步，因为 如果能在空间直角坐标系中引入叉乘的坐标运算，许多问题将会得 到极大简化。要想得到叉乘运算的坐标表示，必须回到空间直角坐标系的一 根基一一单位正交基底出发。给定一组单位正交基底 j. A,为满足运算要求，应使上上A符合右手定则，即建立一个右手系，如图。d “ 加- . X AC| 一 更一遛 d y宙-谒班2(3)求平面的法向量由于向量叉乘运算尸aXb中。，且仁工小由立体几何 知识可知，如果选取一个

14、平面内两个不共线的向量，计算它 们的叉乘，那么其积向量就可以作为平面的法向量。正是由 于法向量在立体几何中的广泛应用，这种方法也就可以大展 身手。【例3】月成。为边长为4的正方形，“J_平而月比。，心2, E、尸分别是月。、月6的中 点，求点6到平面与防的距离。【分析】这是高中数学的常见问题。按照常规做法，应利用数量积求出平而呼的法 向量，再利用点到平面距离公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平而G所 的法向量。下面列出两种解法，以供比较。【解法 1】月(4, 4, 0), 5(0, 4, 0), (4, 0, 0), 5(4, 2, 0),尸(2, 4, 0), (7(0, 0, 2

15、)o设平而反防的一个法向量为方(x, y, z),则n tf-n , GF- (x, y, z) (- 2, 2, 0) = (x, y, z) (2, 4, - 2)=0令后1,则jG, z=33(1,1,3)：.d(3 用防)-【解法2】空间直角坐标系的建立同解法L,%世(-2,2,0),卜志(2, 4, - 2)，平而说的法向量为品四匕声（一 4, - 4, - 12）：.d 出 EFIn BF| 8 2班TT 二而二 TF6 .叉乘的物理意义正如向量的数量积对应于物理学中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也与一些物理 模型有着密切的联系，下而仅以通电直导线在匀强磁场中的受力（安培力）为例

16、作简要说 明.如图，在磁感应强度为6,方向水平向左的匀强磁场中，有一段长为的导线通有电 流强度为2的电流，导线与磁场成角0o由物理学规律可知F=BILsin 0o从数学的角度理解，虽然中学物理中电流强度？被定义为标量，但由于电流有方向， 不妨把1理解为矢量工则F =B I Zsin（）0又耳垂直于5和所成的平面， 且符合物理学中的“左手定则”（类似于前面所提到的“右手定则”），故尸2（2X6）这样，就将向量的叉乘与这个物理模型结合到了一起，再一次体现出数学和物理紧密 结合的特点，表现出科学世界的和谐与统一之美。总之，在高中数学所学知识的基础之上，引入向量的叉乘运算，又一次拓展了同学们 的视野，

17、令人感受到数学的无穷魅力。巴普斯定理1、在一平而上取任一闭合区域，其面积为S,使它沿垂直于该区域的平而运动形成一个 体积为P的立体，那么这个立体图形的体枳就等于质心所经路程r乘以区域面积。表达式 为S，2、若有某一长为的曲线段，使它沿着垂直于它所在平面的方向扫过一个而积S,那么 这个面积的大小就等于线段移动的距离r乘以线段的长度。表达式为S-L -r.注：是质心，而不是重心，求半圆而质心，因为除非重力场是均匀的，否则同一物质（系 统）的质心与重心通常不在同一假想点上。用法1求半圆面质心令半圆面绕着它的直径旋转形成一个球体，假设半圆面的半径为兄那么它的而积即为所得球体体积为4 3TR3y : 亍又设质心离半圆面的圆心距离为乂则质心旋转一周经过的路程为二2 “X,由巴普斯定理 得V = SL所以4R，二技用法2求圆环体表面积圆心。距中心轴必的长度为斤，圆0半径