1.2D三重积分ppt课件

1、第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三重积分 第十章 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想, 采用采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,),(Czyx求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量 M .密度函数为密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义. 设设

2、,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素称为体积元素, vd.dddzyx若对若对 作任意分割作任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在上的三重积分上的三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下以下“乘乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在,),(使得使得vzyxfd),(Vf),(V 为为 的的体积体积, 积和式积和

3、式” 极限极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后, 推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数的密度函数 , 方法方法:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zxyDD

4、yxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度微元线密度记作记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底为底, d z 为高的柱形薄片质量为

5、为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度面密度zd记作记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 投影法投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域设区域:利用投影法结果利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyx

6、zzzyxf)()(21dxyxyybaxd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 当被积函数在积分域上变号时当被积函数在积分域上变号时, 因为因为),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均为非负函数均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.2),(),(zyxfzyxf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzy

7、xfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法三种方法(包含包含12种形式种形式)各有特点各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 其中其中 为三个坐标为三个坐标例例1. 计算三重积分计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 .(三次积分法三次积分法)1xyz121解解: :zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d103

8、2d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 求求,d22VvzxV是由锥面是由锥面 x2 + z2 = y2 与与平面平面 y = 1 所围成的区域。所围成的区域。 （先一后二）（先一后二）（P124例例2）解解:V:V是一个是一个 z x z x 型区域，它由边界曲面型区域，它由边界曲面22zxy是的边界曲线给出因此方程围成与DDzxy,1,122于是平面上的投影在.zxVI122zxdyDdxdzzx22Ddxdzzxzx)1 (2222)(用极坐标1020)1 (rdrrrd

9、6截面法适用于以下情况：截面法适用于以下情况： ( P126 )（1Dz 容易确定且是较规则的区域如椭圆域）容易确定且是较规则的区域如椭圆域）（2f(x, y,z)对对x, y的依赖关系较简单，最好是的依赖关系较简单，最好是 f 与与x, y无关，这时可简化为无关，这时可简化为Vvzfd)(bazzSzfd)()(其中其中 S(z)是是 Dz 的面积。特别，取的面积。特别，取 f 1，从上式得，从上式得VvVdbadzzS)(此即平行截面体的体积公式。此即平行截面体的体积公式。xyz例例3. 计算三重积分计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd

10、2cczczbazd)1(222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4：求柱面：求柱面 x2 + y2=a2 与与x2 + z2= a2 所围区域所围区域V的的体积。（体积。（a 0) ( P125例例3 )解：解：V是一是一 xy 区域，它的区域，它的“底与底与“顶分别为顶分别为2222xazxaz与，而，而V在在xy 平面上的平面上的投影投影D是圆域是圆域 x2 + y2a2 .于是于是Vdvvaaxaxaxaxadzdydx22222222316)(83022adxx

11、aaoxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面常数半平面半平面常数z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 如下图如下图, 在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因而因而zyxzyxfddd),(),(zF其中其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简

12、单积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddxyzodd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 其中其中为由为由例例5. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围所围解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式298a柱面柱面cos2成半圆柱体成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 o oxyz例例6. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面

13、坐标系下在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成所围成 .与平面与平面其中其中由抛物面由抛物面42rzvdddd原式原式 =机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点就称为点M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面球面常数半平面半平

14、面常数锥面锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyzo如下图如下图, 在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例7. 计算三重积分计算三重积分,)(222zdydxd

15、zyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下 （P132例例7）:zyxzyxddd)(222所围立体所围立体.40Rr 020其中其中 与球面与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例8.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积所围立体体积.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立体位于立体位于xoy面上部面上部,cos0:3ar 利用对称性利用对称性, 所求立体体积为所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar

16、,202020dsin20d4yoz面对称面对称, 并与并与xoy面相切面相切, 故在球坐标系下所围立体为故在球坐标系下所围立体为且关于且关于 xoz dddsind2rrv yzxar机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面积分区域多由坐标面被积函数形式简洁被积函数形式简洁, 或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的换元积分公式三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列

17、式为对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离变量可分离.围成围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三重积分的对称性三重积分的对称性1、变量位置的对称性也称变量可轮换性）：设、变量位置的对称性也称变量可轮换性）：设0),(zyx由表示表示, ,若将若将x x 和和y y 位置交换后，位置交换后，则仍表示 0),(zyxdvzxyfdvzyxf),(),(2、奇偶对称性：设、奇偶对称性：设 关于关于 yOz 面对称，那么面对称，那么dvzyxf),(为奇函数关于当xf01),(2为偶函数关于当xfdvzyxf2,zxz1. 将将. )(),(Czy

18、xf用三次积分表示用三次积分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中由由所所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面六个平面围成围成 ,:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 设设, 1:222zyx计算计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zoxy23. 设设由锥面由锥面22yxz和球面和球面4222zyx所围成所围成 , 计算计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题 1. 计算计算,ddd12zyxxyI所围成所围成. 其中其中 由由1,1,12222yzxzxy分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”, 则有则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁计算较繁! 采用采用“三次积分较好三次积分较好.1zx