量子力学第三章算符

1、第三章算符和力学量算符算符概述设某种运算把函数 u变为函数V,用算符表示为:Fu V()F?称为算符。u与V中的变量可能相同，也可能不同。例如，du1 Vi , XU2 V2 , JU3 V3,dx/iJ1pXxd一 1px x( (x,t), eh dx C(Px，t),则一，x，J, dx, eh都是算符。,2 hdx.2 h1 .算符的一般运算(1)算符的相等：对于任意函数u,若 FU GU ,则 G?卢。(2)算符的相加：对于任意函数(3)算符的相乘：对于任意函数u,若Fu Gu Mu ,则M? P G?o算符的相加满足交换律。u,若FFu Mu,则M? GF?。算符的相乘一般不满足交

2、换律。如果FG? GF?,则称F?与G?对易。2 .几种特殊算符(1)单位算符对于任意涵数u,若？u=u,则称？为单位算符。？与1是等价的。(2)线性算符对于任意函数u与v,若F(Gu c2v) c；Fu C2FV ,则称F?为反线性算符。(3)逆算符对于任意函数u,若FGu GFu u则 称卢与G?互为逆算符。即G?白1f? G?1,?1 FT 1。并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。对于非齐次线性微分方程：Fu(x) af(x),其中P为&与函数构成的线性算符，a为常数。之和，即u u0 V。因Fu0 0 ,dx其解u可表示为对应齐次方程的通解u

3、。与非齐次方程的特解所以不存在F?1使F?1FU0uo。般说来，在特解 中应允许含有对应齐次方程的通解成分,但如果当a=0时， =0,从而由Fv af得:中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在F? 1使F? 1Fv F?F?F? 1af。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。(4)转置算符令Fu u F?,则称卢与F的转置算符，P是一个向左作用的算符。 若算符F?表示一般函数(或 常数)，由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。定义波函数与的标积为:与F?的标积以及G?与的标积为:若上两式中的意标积中立的性质。dx* d%(x)dx (x)dx足连续性条件:*F

4、?*(？都是任意波函数，则称上两式中的 声与存为任意标积中的算符。 下面考虑在任*匚dxdxddx波函数(x)与(x)在无限远点也应满dx()()可都等于零,()*d% .dx dxdx dx可见在任意标积中,dxdodx(5)转置共辗算符(也称为厄密共辗算符)与厄密算符转置共轲算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轲。以F?标记F?的转置共轲算*符，则 P F upP*u若在任意标积中，PF?,则称P为厄密算符。即厄密算符的定义为:*F? d(F?)或写为 |F|F? I可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。是实数，而% x,所以xX 。在任意标积d%中，因巴dx,所以dxF?X

5、PX。也可以直接从定义式()出发，来证明PX是厄密算符。F? dx*ddxdx旧)*dx,所以PX是厄密算符。(6)幺正算符若在任意标积中,F?F?1 ,则称F?为幺正算符。设T? eiA若A为厄密算符，则T?必为幺正算符。(7)算符的函数为:设函数F (A)的各阶导数都存在，则定义算符A的函数F ( A)(n)F(A)一 An1F?n n 0 nin 0 ni其中An表示n个A?的乘用 即A A Al L A。例如e算符的对易关系定义算符的泊松(Poisson )括号为:A,由 Ag BA? ()般说来 A? 故，例如A, B ik?,这样的关系或称为对易关系式。RB0是对易关系式中的特例，

6、这时 A BK,称A与M是对易的。i .量子力学中基本对易关系在位置表象中，hRx (x, y,z) 一(x ) i xxPX(xpx Pxx)ih ，此式对任意的都成立，所以得：x，Fxih在动量表象中近（PX，Py,Pz） ih（Px ） ihihPx ihPxy?,即（近 PxX）ih ,此式对PxPx任意的都成立，所以得：x, Px ih可见在位置表象中与动量表象中都得：x,Px ih（）如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。例如，在位置表象中，？ y所h含的变重是y,而Px所含的变重是x,所以y,甘=0。又如，在有心力场中，u（x）所含的变i x量是r,而I?所含的变

7、量是，所以U （r）, L2 0。此外，相同的算符一定对易。以x（i 1,2,3）表示x, v, z,以P?表示Px,g，目，则应有：?离0O O（）P?,Pj 0%,? ihij（）式就是量子力学中的基本对易关系式。2 .线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下关系式：（其证明供练习）A,B出用（）A,C 0 c为常数（）。?,的 CA,BC为常数（）A A2,B A1,B 尼BA2,B凡囱&网展,由一A,g A, B R 一的ttt3 .其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系LX,x yE,z&x oLX,y yP?z zPy,yz冏y z

8、y,P? ihz同理可得：LX,zihy,，各对易关系可合写为：?,Xj ih jk% k采用爱因斯坦记号，则上式可写为：?,xj ih jkXk其中jk称为勒维奇维塔(Levi-Civita )符号。123 =1, jk交换任意两个角标，其值反号，例如， 2131，3211。若ijk零。jk具有以下数学性质:.9ij ij 乙ijk k i j i jv vABj AjBi(A B)k jkABj jk一丁一AiBj AjBi上式中将ABj改写为i j 2称为将ABj反对称化，之所以能将标i , j反对称之故。(2)角动量算符与动量算符之间的对易关系?,P? ihjkP?(3)角动量算符的对

9、易关系?,?j ihjkLk上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：v vL, Lv ih L若令？ LX ig,? LX i,则可得:?,L? 2h?()对所有角标都是反对称的，即中有两个角标相同，则其值为()ABj反对称化是由于ijk对角()()()()?zL? hL0L2,? 0(4)算符的函数之间的对易关系f (x, y, z), P ih f(x, y,z)()Rf(A) 0,fi(A) 0必须注意，若 白 0,则 eF?6 eF? e%线性厄密算符和力学量算符1 .厄密算符的性质(1)对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。设F与G?是对易的厄密算符，利用()式可得：*F?

10、d 值)*G? d(GF )* d (FG? )*d所以FG?也是厄密算符。(2)厄密算符的本征值必为实数。设F为厄密算符，其本征方程为：F F ,则(F? ) F根据()式得：F d (F? ) d贝U F d F d. * ，一 . . .因 d 0,则得F=F*,所以F为实数。(3)厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。设k,l为厄密算符F?分别对应本征值Fk, Fe的本征函数，则* OO *kF? ld(F? k) edk lk e一一*即(Fe Fk)k ld 0当Fe Fk时得:k id0上式称为正交关系式。若本征值无简并，且本征函数已归一化，则得：当F为分立谱时，k ld k

11、l()当F为连续谱时，F F d (F F )()如果F?中含有参变量，则只有当参变量的值保持不变时，属于不同本征值的本征函数才是正交的。例如，当粒子在有心力场中运动时，经向方程是厄密算符的本征方程，其本征值为能量E (对束缚态，E由径向量子数n确定)。角量子数l是径向方程中的参变量。 径向波函数REl(r)的正交关 系式为： 2 .o RElRElr dr 0, E E因不同的l值对应不同的径向方程，所以2 .o REl REl r dr 0 , l l2 、正交化手续对于线性厄密算符如果!?的本征值Fn是f度简并的，对应的本征函数为n1, n2,L nf ,则这f个本征函数的任意线性组合也

12、是本征方程的解。一般说来，这f个本征函数不一定是正交的，但通过它们的线性组合一定可以构成f个正交的本征函数。通常的正交化手续如下：取ninin2n2 bi n1n3n3 Ci ni C2 n2从 3与n2的正交性可以确定bi* ，ni (n2*.ninid*ninid*n)d = nndbin nd 011111n2|i i*.ni n 2 d则得：bi若先将归一化，则得:nin2 dni， 取， 电的正交性得:*ni n3d则得：C1*ni n3d*.nin3 d*.nin1dCi* ._ninid0若先将归一化，则得:*nin2d从rn2，屯的正交性得:*,ni n3 d*ni n3 dC

13、in1n1d0则得：Cini n3 dni nid*n2n3dC2则得：C2依此类推，可求出各系数，使%，n2，L L nf彼此正父。3 、力学量算符在量子力学中，力学量都有算符表示。力学量算符通常都是线性厄密算符。假设力学量算符的本征函数构成完备系（之所以是假设是因为尚未得到普遍性的证明），即认为任意波函数都可以对力学量算符的本征函数组展开。一个力学量算符的本征函数也可以对另一个力学量算符的本征函数组展开。在展开式中的本征函数组也称为本征基组应注意，这里所说的力学量总是指某物理体系中的 力学量，这里所说的波函数是指描写同一物理体系的波函数，事实上，只有对于同一物理体系，力 学量的本征函数与被

14、展开的波函数才能具有相同的时间与空间。当力学量算符F?的本征值Fn为分立谱时，在位置表象中，设本征基组 n（v）满足正交归一条件:* vm ndrmn满足上式的n也称为幺正基组。通常n只是V的函数而与t无关。含时波函数（V，t）对n（V）的展开式不含时的波函数（v）也可对n（v）展开为：0(v,t)Cn(t) n(v) nCn(t)实际上是* v 一CFn(t) C(Fn,t)的简写。以m(v)乘上式并对整个空间积分得:* v m dr* vCn(t) m ndr Cm，则得: nCn* v v v n(r) (r,t)dr若(v,t)已归一化，即dv 1 ,则得:v -dv ( Cmm* ,

15、=CmCnmnvm) ( Cn n)dr n* .v *.m ndrCnCn 1n若已知(v,t),则由()式可求得Cn(t);若已知Cn，则由()式可求得 (v,t),所以(v,t)与Cn(t)是等价的。Cn(t)中的变量是Fn与t,所以Cn(t)是F表象中的波函数，Cn(t)的归一化条* 一件是CnCn 1 o当Cn(t)已归一化时，在t时刻测到Fn的几率为Cn(t)Cn(t)。注意，对分立谱，n *将()式代入()式得:(v,t)* v v n(r ,t)drn(v) =*/vvn(r) n(r)n(v,t)dv由上式可看出，应有:* v vn(r ) n(r)n/v v、(r r)上式

16、所显示的性质称为本征基组n(v)的封闭性。CnCn为几率而非几率密度。2 hn 对于PX的本征函数，在箱归一化下对应的本征值为分立谱：B。其本征函数n(x)的封闭性条件为：n(x ) n(x)n (x ) n(x)dn (x x)nn其中dn=1。当L-8时，Px由分立谱变为连续谱。 这时，由R 2n可知，dn应以一dPx代替，L2 hn(x)的下标n应改为Px,则本征函数 Px(x)的封闭性条件为：*LP (x) P (x)dPx(x x)x x 2 h、，1变为,这与中的讨论是2 h如果将J2L并入Px(x)的归一化系数，则归一化系数由-y=致的。当力学量算符F? 的本征值F 为连续谱时，

17、在位置表象中，设本征函数F ( rv) 满足正交为一条件：vF* Fdrv(F F)满足上式的f也称为为幺正基组。(v,t)对f(V)的展开式为：(rv,t)CF (t) F (rv)dF()以F* ( rv) 乘上式并对全空间积分得：vvvF* drv*F CF FdFdrvCF*F FdrvCF (F F)dF CF ，则得：CF (t)*F (rv) (rvt)drv()vCF(t)为F表象中的波函数。若 dv 1 ,则可得CF(t)的归一化条件为：C*F CFdF 1()*v当CF(t)已归一化时，在t时刻在F表象中测得F的几率密度为CF(t)CF(t)。本征基组F(v)的封闭性条件为

18、：*v vv vF(r ) F (r)dF (r r)()如果卢的本征值既有分立谱 Fn又有连续谱F,则展开式为：vvv(rv,t)Cn(t) n(rv)CF(t) F (rv)dF()n*v v v*v v vCn(t)n*(rv) (rv,t)drv, CF(t)F* (rv) (rv,t)drvF 表象的波函数由Cn(t) 与 CF(t) 组成。归一化条件为：* _ * _/、C*nCnCF* GdF 1()n本征基组的封闭性条件为：v v v v vvn*(rv) n(rv)F* (rv) F(rv)dF(rv rv)()n上面的讨论可归纳为量子力学中关于力学量算符的一个基本假设：量子

19、力学中表示力学量的算符一般都是线性厄密算符，力学量算符的本征函数组成完备系。当体系处于归一化波函数所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，在单次测量中必定是算符F? 的本征值之一，测得分立谱中Fn的几率是|Cn |2 ,测得连续谱中F- F+dF的几率是|Gf |2 dF ,。与。是 对F?的幺正本征基组的展开系数。4 、角度坐标变量考虑球坐标系下或柱坐标系下的角度坐标变量，在位置表象中，应有 ？，但量子力学中通常并不将 视为能作用于波函数的算符，而只将作为（r,）以及 ，cos等中的变量。这是因为：（1） 不是周期函数，2 。但当 增加2 时，波函数应保持不变，可见是周期函数，而不是周期函

20、数。如果的变化范围为（，），则不是空间位置的单值函数；如果0W 2 ,则不是空间位置的单值函数；如果 0W 0要求此曲线恒在E轴的上方，此不等式成立的条件是：22 K2(F) ( G) 下()4,2-2-2 -2 2其中(F) (F F) F 2FF F F F()()式就是海森伯给出的测不准关系。测不准关系应与粒子的波粒二象性有关。以(F) ,( F)2表示F的标准偏差(或称为均方根差)，则由()式得：-K(F)( G)-()2把测不准关系应用于位置坐标和动量，因?, ?x ih ,则得：22 h2(x)旦了4 ()h(x)( Px)-2由上式可知，(乂)与(Px)不能同时为零，(x)愈小，

21、则( 巳)愈大。在经典力学中，h可近似地视为无限小量，所以( x)与(Px)可以近似地同时为零。但严格说来，测不准关系是量子力学中的特有结果，并不能很自然地过渡到经典情况。事实上，即使(x) ( Px) =0,也只能说(乂)与(Px)可以同时为零，而得不到( 乂)与(Px)必然同时为零的结论。此外，我们说经典力学中h可视为夫限小量，这是将h与一个具体的物理体系中的作用量等相比较而言的， 但在上述测不准关系的推导中并没有涉及任何具体的物理体系，所以也不能很自然地过渡到经典力 学的情况。v因动量算符与位置算符不对易，使得功能算符-p-与势能算符U (v)也不对易U (v)处处为零2V2所对应的自由

22、粒子情况除外 ,所以动能与势能一般不能同时具有确定值。在-的本征态 p中，V2每次测量时 上一都有确定值，但 U(v)没有确定的值。在 U (v)的本征态 (v v)中，每次测量时V2V2u（v）都有确定值，但2没有确定的值。在波函数（y,t）所描写的态中，通常与u（v）都没有 22确定的值。所以在量子力学中，说在某一点处（位置或动量空间中的某点）粒子的能量应等于动能与势能之和是没有意义的。若考虑在整个空间中的无限多次测量，则粒子的能量平均值仍等于平均 功能与平均势能之和。对于处在。至a之间无限深方势阱中的粒子,当粒子处在能量本征值 En对应的定态 n时，其波0函数为:0,x aC(R)Px2

23、sinnxandx1ah nPxh-pxxsin nr xe h dxL Pxa2 1 ( 1)ne hM|C(Px)|aa在阱内，粒子的势能是确定的；粒子位置的不确定程度（x）不大于势阱的宽度a。由上面C （Px）n h的表布式可知，动量 R的值除可为 外，还可以取许多值，所以粒子的功能是不确定的。a一维谐振子的基态能，可以用测不准关系来说明。一维谐振子的平均能量为：注意到奇函数的对称积分等于零，则得:一* ,xn(x)x n(x)dx 0-*, 、 h dPxn(x) n(x)dx 0i dx根据（）式得：（x）2 x2,（ B）2 P2 ,代入（）式得:(R)2222w ( x)E 二一

24、， 51 一因E对(x)2的导数等于零，可解得 E的最小值为一hw。可见一维谐振子的基态能是测不准关系2所要求的最小能量。如果把测不准关系应用于角动量的分量之间，则由巳ih, 得：22 h 2(Lx) ( Ly)-Lz4在g的本征态中有：Lz mh,则得： (Lx)2( Ly)2 -m2h44若粒子被束缚在半径为r的球内，则常用近似关系式rPh来估算粒子动量的大小和功能的大小。力学量平均值随时间的变化和守恒定律在归一化波函数(v,t)所描写的态中，力学量F的平均值为:F *(V,t)F? (V,t)dV ()因为 (v,t)是时间 t的函数，F?也可能显含t,所以F通常是时间t的函数。将上式对

25、t求微商得:dFdtF? tdiv1ihF?dv从薜定谓方程中求出 代入上式得：tdF *工 div 1*FH? dv 1 (H? )*F? dVdtt ihih因为H?是厄密算符，则得:dFdt1ih前 HF?) dv,即如果g不显含时间t,则F?t0,上式便化为:dFdtih在经典力学中，速度 vvdv 红，所以根据上式定义量子力学中的速度算符为:出如果P既不显含t,又与H?对易那么就有:dF 0 dt()即F不随时间改变。满足上式的力学量F称为运用恒量，或者说 F在运动中守恒。(1)自由粒子的动量守恒。自由粒子的哈密顿算符为:2vH? P2-v 因而有胎储向0所以自由粒子的动量是运动恒量

26、。(2)粒子在有心力场中运动时,角动量守恒。在有心力场中，粒子的势能为U (r),哈密顿算符为:h2 12 2L2厂”：,7 2 r2U(r)?(即Lx, ?yE)都与H?对易，所以得:DL2出 d匚 dt21 v ?一L 间 0ih；匚,再0ik可见粒子在有心力场中运动时，角动量平方和角动量分量都是运动恒量。(3)哈密顿算符不显含时间 t时，体系的能量守恒。cH? 当H?不显含t时， 0,则有 tdr S0所以体系的能量是运动恒量。(4)哈密顿算符在空间反射中不变时，宇称宇恒。将x、y、z三根坐标轴都反向的变换称为空间反射变换，或称宇称变换。在宇称变换下,为v。在直角坐标系下， v - v即

27、是:x 一 x, y一 y, z z在球坐标系下，v - v即是：r r,在柱坐标系下，v v即是：,z z0()0在宇称变换下，波函数(v,t)变为P? (v,t),其中I?称为宇称变换算符。在非相对论量子力学中(不考虑内禀宇称)P? (v,t)(v,t)将P?再作用于上式可得：？2 1,所以P?的本征值为土 1。任意波函数 (v,t)都可展开为：v 1 v v v v/、(r,t) - (r,t)( r,t) (r,t)( r,t)12 a s b a()2其中：11 (v,t)( Ivt)经时一化后得S，P? S S22 2 (v,t)( v,t)经归-化后得 P? A AS称为偶宇称态

28、，而A称所以s与A都是宇称算符 P的本征函数，对应的本征彳1分另为 1与-1, 为奇宇称态。如果体系的哈密顿算符在空间反射后保持不变,则 PH?(v,t) HP?(v,t),所以得：？H? HP?这表明宇称是运动恒量。同时说明H?与P可以有构成完备系的共同本征函数，因而体系的能量本征函数可以有确定的宇称或确定的宇称平均值，并且不随时间而改变，这就是量子力学中的宇称守恒 定律。当粒子在一维对称方势阱中运动时，其哈密顿算符与宇称算符对易，其波函数可以按宇称分为两组: 一组为偶宇称态，另一组为厅宇称态。当粒子在一维谐振子势场中运动时，其哈密顿算符与宇称算符对 易，其波函数 n(x)的宇称为(一1)n,即为几宇称。当粒子在有心力场中运动时，其哈密顿算符与宇