[2020理数]第八章第四节直线、平面垂直的判定与性质

1、第四节直线、平面唾直的判定与性质1 .能以立体几何中的定义、公理和定理为出 发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性 质和判定定理.2 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 有关空间图形中垂直关系的简单命题.突破点一直线与平面垂直的判定与性质基本知识1.直线和平面垂直的定义直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面a互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语后图形语言何语日判定定理一条直线与一个平囿内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平囿垂直a, b? aaA b= O? I± a l±al±b性质定理垂直于间一个平面的两条直线平行a&#

2、177; a? a/ b b_L a3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.一一兀(2)线面角。的范围：0,-.基本能力一、判断题(对的打"，错的打"X” )(1)直线l与平面a内的无数条直线都垂直，则I，a()(2)若直线a,平面”,直线b/ %则直线a与b垂直.()(3)直线 a± 油，则 all b.()答案：(1)X (2)，(3)，二、填空题1 .过一点有 条直线与已知平面垂直.答案：一2 .在三棱锥 P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点 O,若PA=PB=PC,则点。是4ABC

3、的 心.若 PA，PB,PB，PC,PC，PA,则点。是4ABC 的 心.答案：外垂3 .如图，已知/ BAC= 90°,PCL平面 ABC,则在 ABC, APAC 的边所在的直线中，与PC垂直的直线有 ;与AP垂 直的直线有.解析：因为PC,平面ABC,所以PC垂直于直线 AB,BC,AC.因为 AB ±AC,AB±PC,AC APC = C,所以AB，平面PAC,又因为AP?平面PAC,所以AB LAP,与AP垂直的直线是 AB .答案：AB,BC,AC AB典例(2019郑州一测)如图，在三锥P-ABC中，平面PABL平面 ABC,AB=6,BC = 2V

4、3，AC = 2V6，D 为线段 AB 上的点，且 AD= 2DB ,PD ± AC.(1)求证：PDL平面ABC;,兀，一，一一，-I一、(2)若/ PAB = 1求点B到平面 PAC的距离.解(1)证明：连接 CD,据题知 AD = 4,BD = 2,AC2+BC2=AB2,/ ACB = 90 ,. cos/ ABC =平=乎， .CD2= 22 + (2m)2 2X2X 2>/3cosZ ABC = 8, .CD= 22, CD2+ AD2= AC2,则 CD，AB. 平面 PABL平面 ABC, .CD,平面 PAB,.CD±PD, PDXAC ,AC A

5、CD = C, .PD,平面 ABC.(2)由(1)得 PD±AB,/Z PAB = 4,PD = AD = 4,PA= 4/2,在 Rt PCD 中,PC=PD2+CD2 =2/6,. PAC是等腰三角形，可求得S*ac=8J2.设点B到平面PAC的距离为d,2ii由 Vb-PAC= Vp-ABC,44qSa PAC x d = _Sa ABC X PD ,33Sa ABC X PD d = 3.S PAC故我B到平面PAC的距离为3.方法技巧证明直线与平面垂直的方法，则这条直线垂直于这个平面（1）定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线（不常用）；（2）判定定理（常用方法

6、）;（3）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面 用）；,则另一条也垂直于这个平面（客观题常，则它必垂直于另一个平面（客观题常（4）若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 用）；（常用方法）；（5）若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面（6）若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面（客观题常用）.针对训练小5（2019贵州模拟）如图，在直棱柱 ABCD-AiBiCiDi中,底面ABCD为 平行四边形，且 AB = AD = 1,AAi = W，/ABC = 60°.(1)求证:ACXBDi;（2）求四面体 DiABiC的体积.解：（

7、i）证明：连接BD,与AC交于点O,因为四边形ABCD为平行四边形，且AB=AD,所以四边形 ABCD为菱形,所以ACLBD.在直四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中,BB平面ABCD ,可知BBAC,则AC，平面 BBiDiD,又 BDi?平面 BBiDiD,则 ACXBDi.(2)Vd1ABic = VABCD -A1B1 C1D1 VB1-ABC - VD1-ACD VA-A1B1 D1 VC-C1B1D1 = VaBCD -A1B1 C1D13x_6 4x1x13 _6_J 4Vbi-ABC= 2X2 -4X3X 4X2-4.突破点二平面与平面垂直的判定与性质基本知识1 .平面与平面垂

8、直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:文字语后图形语言何语日判定定理一个平囿过另一个平囿的 垂线，则这两个平囿垂直1? 3? a_L 31 _L a性质定理两个平囿垂直，则一个平囿内垂直于交线的直线与另一个平囿垂直a_L 31? 3? 1 1 aad 3= a11a2 .二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线则两射线所成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角a的范围：0, n

9、d基本能力一、判断题(对的打"，错的打"X” )若 a± fta± 仗 a / a.()(2)若平面a内的一条直线垂直于平面3内的无数条直线，则a, 0()(3)如果平面平面8那么平面a内所有直线都垂直于平面3()答案：(1)X (2)X (3)X二、填空题1. m,n为直线，% 3为平面，若m, %m/n,n/ 8则a与3的位置关系为 .答案：垂直2设”,3为两个不同的平面，直线1? ”,则“U 6'是" n 6'成立的 条件. 答案：充分不必要3.已知PD垂直于正方形 ABCD所在的平面，连接PB,PC,PA,AC,BD,

10、则一定互相垂直的平面有 对.解析：由于PDL平面ABCD,故平面PAD,平面ABCD,平面PDB h，平面 ABCD,平面 PDCL平面 ABCD ,平面PDA，平面 PDC,平面PAC 江-二，%/ Aft，平面 PDB,平面PABL平面 PAD,平面PBCL平面 PDC,共7对.答案：7典例(2019开封定位考试)如图，在三棱锥 D-ABC中,AB =2AC= 2,/ BAC = 60°,AD = 粕,CD = 3,平面 ADC，平面 ABC.证明：平面 BDCL平面 ADC;(2)求三棱锥D-ABC的体积.解(1)证明：在ABC中，由余弦定理可得BC=、AB2+AC22AB A

11、C cos/ BACBC2+AC2= AB2,/. BCXAC,平面 ADC ±平面ABC，平面 ADC n平面 ABC = AC,.BC,平面 ADC,又BC?平面BDC,.平面BDC,平面 ADC.(2)由余弦定理可得 cos/ ACD = 2,3一 15 Saacd = 2 AC CD sin / ACD = j-,贝U Vd-abc= Vb-adc = B BC SACD = P 36方法技巧面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法(1)囿回垂直的定义；(2)面囿垂直的判定定理 (a, 0a? “？ a± 3)一个转化在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.

12、在一个平面内作交线 的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直针对训练(2019洛阳一模)如图，在四锥 E-ABCD中,4EAD为等边三角1形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB / CDAD = DC =-AB,H AE ± BD .(1)证明：平面EBDL平面EAD ;(2)若4EAD的面积为43,求点C到平面EBD的距离.解：(1)证明：如图，取AB的中点M,连接DM,则由题意可知四边形 BCDM为平行四边形，1 ,.DM =CB = AD = 2AB,即点D在以线段AB为直径的圆上，BD, AD,又 AELBD,且 AE n AD = A,.BDL平面 EAD .BD?平

13、面 EBD,.平面 EBD，平面 EAD.(2) BD，平面 EAD，且 BD?平面 ABCD ,平面 ABCD，平面EAD . 等边 EAD的面积为小,，AD = AE = ED = 2,取AD的中点O,连接EO,则EOXAD ,EO = a/3, 平面 EAD，平面 ABCD，平面EAD n平面 ABCD = AD, .EO,平面 ABCD.由(1)知 ABD,EBD都是直角三角形，BD =5B2AD2 = 2 展SaEBD = 2eD BD = 23,设点C到平面EBD的距离为h,，加11由 Vc-EBD = VE-BCD ,得qSaEBD h = "SaBCD EO , 33

14、又 Sabcd = 2BC CDsin 120 =3,，h=¥.，点C到平面EBD的距离为 学.突破点三平行与垂直的综合问题1 .平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”.2 .垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、 面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来

15、解决.典例(2018北京高考)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面pABCD 为矩形，平面 PAD，平面 ABCD ,PA，PD,PA= PD,E,F 分别/:为AD,PB的中点.a(1)求证：PELBC;(2)求证：平面 PABL平面PCD;(3)求证：EF /平面PCD.证明 因为PA= PD,E为AD的中点，所以PEXAD.因为底面ABCD为矩形，所以BC / AD所以PE ± BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABXAD.又因为平面 PAD,平面 ABCD,平面PADA平面 ABCD = AD,AB?平面 ABCD ,所以AB 1平面PAD,因为PD?平面PAD,所以A

16、BXPD.又因为 PA±PD,AB A PA= A,所以PD,平面PAB.因为PD?平面PCD所以平面 PAB，平面PCD.如图，取PC的中点G,连接FG,DG.1因为F,G分别为PB,PC的中点，所以FG / BC,FG=2BC.因为四边形 ABCD为矩形，且E为AD的中点,所以 DE / BC ,DE = 2bc .所以 DE / FG ,DE = FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF/DG.又因为EF?平面PCD,DG?平面PCD,所以EF /平面PCD.方法技巧平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决.注意遵循“空间到平面” “低维”到“高维

17、”的转化关系.针对训练(2019北京西城区期末)如图，在多面体 ABCDEF中，底面ABCD 是边长为 2的正方形，四边形 BDEF是矩形，平面 BDEF，平面 ABCD ,BF = 3,G,H 分别是 CE,CF 的中点.(1)求证：AC,平面BDEF ;(2)求证：平面 BDGH /平面 AEF .证明：(1)因为四边形 ABCD是正方形，所以AC ± BD .又平面 BDEF，平面 ABCD,平面BDEF n平面 ABCD = BD ,且AC?平面 ABCD , 所以AC，平面BDEF .if(2)在4CEF中，因为G,H分别是CE,CF的中点，所以GH / EF.又GH?平面

18、AEF ,EF?平面 AEF ,所以GH /平面 AEF .设AC ABD =O,连接OH,如图.在AACF中，因为O,H分别为CA,CF的中点,所以 OH II AF .因为 OH?平面 AEF ,AF?平面 AEF ,所以OH /平面AEF .因为 OH A GH = H ,OH ,GH ?平面 BDGH , 所以平面BDGH /平面AEF .课时跟踪检测1.（2019厦门期末）若m,n是两条不同的直线， 3是两个不同的平面，则下列命题正确的 是（）A.若 a± gm± 8则 m II aB.若 m " a,n，m,则 n± aC.若 m / a,n

19、 / «,m? gn? 3,则 a/ 3D.若 m / 0m? a, aA 3= n，则 m / n解析：选D 选项A中,m与a的关系是m / a或m? 故A不正确；选项 B中,n与a 之间的关系是 n± a或n与a相交但不垂直或 n / %故B不正确；选项C中，a与3的关系是 a/ 3或a与3相交，故C不正确；选项 D中，由线面平行的性质可得命题正确.故选 D.2. （2019广西五市联考）若”,3, 丫是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题 正确的是（）A.若加 3= m,n? a,m，n,则 a± 3B.若 a± g aA 3= m,

20、aA 产 n,则 m± nC.若m不垂直于平面 %则m不可能垂直于平面 a内的无数条直线D.若 m± a,n± gm n,贝U all 3解析：选D 对于选项A,直线n是否垂直于平面 3未知，所以a不一定垂直3,选项A错 误；对于选项 B,由条件只能推出直线m与n共面，不能推出mn,选项B错误；对于选项C,命题“若m不垂直于平面 %则m不可能垂直于平面 a内的无数条直线”的逆否命题是 “若直线m垂直于平面 a内的无数条直线，则m垂直平面a”，这不符合线面垂直的判定定 理，选项C错误；对于选项D,因为n± 8m/ n,所以m1 3,又m, %所以all 8

21、选项D正确.故 选D.3. （2019南昌调研）如图，四棱锥P-ABCD中,4PAB与 PBC是正三角形，平面PABL平面PBC,AC，BD,则下列结论不一定成 立的是（）A. PBXACB. PD，平面 ABCDC. ACXPDD,平面 PBD，平面 ABCD解析：选B 对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO；,在四棱锥 P-ABCD中，PAB 与4PBC 是正三角形，AO，PB,CO，PB,AOnCO=O,.PB，平面 AOCJ AC?平 面AOC,.-. PBLAC,故选项 A正确；对于选项 B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中 点，若PD，平面ABCD ,则PD ±

22、 BD，由已知条件知点 D满足AC ± BD且位于BM的延长线上， .点D的位置不确定,. PD与BD不一定垂直，PDL平面ABCD不一定成立，故选项B不 正确；对于选项 C, .AC，PB,AC，BD,PBn BD = B,，AC,平面 PBD ,PD?平面 PBD,.ACPD,故选项 C正确；对于选项 DAC，平面 PBD,AC?平面 ABCD,.,平面 PBD ± 平面ABCD,故选项D正确.故选B.4. （2019唐山一模）设m,n是平面”内的两条不同直线，11,12是平面3内两条相交直线， 则0a 3的一个充分不必要条件是 （）A . 1i± m,1i

23、± nB. m± 1i,m± 12C. m± 1i,n±I2D. m n,1i ±n解析：选B 由m，1i,m，12及已知条件可得 mBm? %所以 也3；反之，也3时未 必有m，li,m，12,故“m，1i,m，12"是"a，的充分不必要条件，其余选项均推不出 a± g 故选B.5. （20i8泉州二模）在下列四个正方体 ABCD-AiBiCiDi中,E,F,G均为所在棱的中点，过E,F,G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BDi与平面EFG不垂直的是（）c解析：选D 如图,在正方体中，E,F,G,

24、M,N,Q均为所在棱的中点 易知E,F,G,M,N,Q六个点共面，直线BDi与平面EFMN QG垂直,并且选 项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BDi与平面EFG不垂直，满足题意.故选 D.4：)6. （2019赣州模拟）如图，在斜三棱柱 ABC -A1B1C1中,/BAC = 90°,且BCdAC,过C1作C1HL底面 ABC,垂足为 H,则点H在（A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D. ABC内部解析：选 B 如图，连接 A。. . /BAC = 90°,，AC，AB,BC1 ，AC,BCn AB= B,，AC,平面 ABC1,又

25、 AC 在平面 ABC 内，根 据面面垂直的判定定理，知平面ABC，平面ABC 1，则根据面面垂直 的性质定理知，在平面ABC 1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必 落在交线AB上.故选B.7. 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中侧棱长为 2,AC = BC= 1,/ACB= 90°,D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1,DF交于点E.要使ABd平 面C1DF,则线段B1F的长为.解析：设B1F=x，因为 AB1,平面 C1DF,DF?平面 C1DF ,所以AB1±1DF.由已知可得 A1B1=>/2，设 RtAA1B1斜边 AB1上的图为 h,则 D

26、E = Qh.又2xJ2 = h>j22+ V2 2，所以 h = 233,DE=¥.在 RtADB1E 中,B1E = . 乎2-堂2 =g.由面积相 等得乎 J2+$2 =%,得x = 2.答案：28.如图所示，在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点，F为线段EC上（端点除 外）一动点.现将 AFD沿AF折起,使平面 ABDL平面 ABCF在平面 ABD内过点 D作DK ，AB,K为垂足.设 AK = t,则t的取值范围是 .解析：如图所示，过点K作KM ±AF于点M,连接DM，易得DM LAF,与折前的图形对 比，可知折前的图形中 D,M,K三点

27、共线且 DKLAF (如图所示工于是 DAKs FDA ,所以AK AD 口 t 1 -1皿 1彳而=DF，即,= DF,所以 t=DF,又 DF e（1,2），故 te 2，1 .到平面BCDE的距离h = 4AB = 2,由/ BCD = 60，点M为BE的中点，可得DM，BE,且DM答案:2,19. (2019唐山五校摸底)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PC，底面ABCD,四边形 ABCD 是直角梯形，AB，AD AB/ CD,AB = 2AD = 2CD = 2,E是PB的中点.(1)求证：平面 EACL平面 PBC;(2)若PC =/，求三棱锥 C-PAB的高.解：（1）证明：因为

28、 PC,平面ABCD ,AC?平面ABCD ,所以ACLPC. 因为 AB = 2,AD = CD = 1,所以 AC=BC = <2, 所以 AC2+BC2=AB2,故 ACXBC.又BCnPC=C,所以AC,平面PBC.因为AC?平面EAC所以平面 EACL平面 PBC.（2）由 PC =啦,PCLCB,得 SAPBC = 2-X（V2）2=1.由（1）知,AC为三棱锥 A-PBC的高.易知 Rt PCARt PCB Rt ACB , PA=AB = PB = 2,于是 Sapab = 1x 22sin 60 °=5/3.13swab h =设三棱锥C-PAB的高为h,7Sapbc AC,；X V3h=1X1 X 隹 333解得h=坐故三棱锥C-PAB的高等于 噂.10. (2019南京模拟)如图,四棱锥 P