2020届安徽省淮南市高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、2020届安徽省淮南市高三第二次模拟考试数学(文)试题一、单选题1 .已知集合人=-2,-1,1,2, B=x|x2<2f 则ACB=()A. -L-2,2 B -1,1 C. -2,2 D -2,-1,1,2)【答案】B【解析】分析：先化简集合B,再求AHB.详解：由题得B = x-"<x<企,所以Ar>B= -1,1.故答案为：B点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.2 .复数z(l-i) = i,则 |2|为()A. & B. 1 C. 2 D. 2【答案】C【解析】分析：先求复数z,再求|z|.i i(l +

2、 i)-1 + i11详解：由题得z1-i(17)(1 +i) 222：|z|= l(-)2+(-)2=.所以 1222故答案为：c点晴：(1)本题主要考查复数的除法运算和梵数的模的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.曳数z = a + bi(a,b 6 R)的模Izl =Ja2 + b3.已知AABC是边长为2的正三角形，在AABC内任取一点，则该点落在AABC内切圆内的 概率是()技I叔I1技I叔IA. 6 B, 3 C. 6 D. 9【答案】D【解析】分析：根据题意求出aABC内切圆的面积与三角形的面积比即可.详解：如图所示，4ABC是边长为2的正三角形，则 AD

3、二叔 0D= 3 ,IA AABC内切圆的半径为r=3 ,s内切圆 SAABC 所求的概率是七故答案为：D点晴：（1）本题主要考查几何概型的计算和解三角形，意在考查学生对这些基础知识的 掌握水平.（2）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题 （事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三 个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试脸的全部结果和事 件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式构成事件A的区域长度P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度：如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事

4、件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计 算两个区域的面积或体积代公式.2 2X yC: = 14 .已知F-2是双曲线a2 b2 （a>°,b>0）的左右焦点，坐标（一出，双曲线右支上点P,满足IPF/TPFzl 二 4则它的渐近线方程为（）B.3 y =± -x C. 44y =± -xD. 3【答案】A5 .九章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均 输”中，有一竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出 的7的值为35,则输入的。的值为（ ）A. 4 B. 5 C. 7 D. 11【答案】

5、A6 .如图，在正方体ABCD-AiBiJD中，p为的中点，则APAC在该正方体各个面上的正投影可能是（） A. B.【答案】DC. D./ x > 0)x + y-3 <07 .若“满足约束条件|x - 2y 2 0,则z=x + 2y的最大值为(A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜板式，由直线方程 可知，要使z最大，则直线在y轴上的微距最大，结合可行域可知当直线z=x+2y过点 A时z最大，求出A的坐标，代入z=x+2y得答案.（x>0）x + y- 3 <0详解：由x, y满足约束条件Ix2y

6、作出可行域如图,1 i由 z=x+2y,得 y= - 2x+2.1 i要使z最大，则直线y=-2x+2的极距最大，1 I由图可知，当直线y=-2x+2过点a时极距最大.联立x + y = 3 ,解得 A (2, 1), Az=x+2y的最大值为2+2X1 =4. 故答案为：B第5页共17页点晴：（1）本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域.（2）解答线性 规划时，要理解，不是纵横距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的 纵横距为-z,所以纵横距-Z最小时，Z最大.8 .已知等差数列S'的公差为d,前n项和为S%则d < 0”是，自+ S4<

7、2S3,的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】D9 .已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（一8，°】上单调递增，若实数a满足1叼Lf（2）> -耳-2）,则a的取值范围是（）A. (瓦 + 8) B, (1，V3) c O/) d, (一8，?)【答案】A10 .将函数f（x） = 2sinx cosx + 2版oJx的图象向右平移6个单位长度后，得到函数g（x）,则函数g（x）的图象的一个对称中心是（【答案】【解析】D分析：利用辅助角公式进行化简，结合平移关系求出g （x）的解析式，利用对称性进行求解即可.n详解

8、：f (x) =2sinxcosx+2Jcos2x=sin2x+P (1+cos2x)=sin2x+Jcos2x+A/=2sin (2x+)n将函数f (x)的图象向右平移6个单位长度后，得到函数g (x)的图象,n n即 g (x) =2sin2 (x-6) +3 +|'3=2sin2x+i',kn由 2x=krr, kGZ,得 x= 2 ,此时 g (x)二电kn即函数的对称中心为(2,岛,n (彳而)当k=1时，对称中心为2.故答案为：D点晴：(1)本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，结合对称性是解决本题的关键.y=sinx的图像的对称中心为(krtQ),

9、k e z.1f(x) =11.已知函数-x + l(x 4 1)5lnx(x>l)则方程f(x) = kx恰有两个不同的实根时，实数k的取值范国是()1 (O-) A. eB.1(OH5C.1 1H")5eD.1 1-5e【答案】C222C：+ -= l(a > b > 0)x2 + y2 =12.设F是椭圆a b的一个焦点，P是C上的点，圆9与直线PF交于A，B两点，若A,B是线段PF的两个三等分点，则C的离心率为()A. 3 B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】分析：取AB中点H,椭圆另一个焦点为E,连结PE根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得a

10、=5d,再求离心率.详解：如图，取AB中点H,椭圆另一个焦点为E,连结PE.:A、B三等分线段PF,也是AB中点，即OHLABa-d设 0H=d,则 PE=2d, PF=2a - 2d, AH= 3在 RtZOHA 中，0A2=0H2+AH2,解得 a=5d.4a-a在 RtZOHF 中，FH=5 , OH=5, OF=c,由 0F2=0H，FH2化简得17aJ25c2, a 5.即C的离心率为5.故答案为：D点靖：本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于a, b, c的关系 式，最后化归为a, c (或e)的关系式，利用方程求解.二、填空题13 .已知向量a = (1,2)6

11、=若all(a + ,),则a,6 =.5【答案】21f(x + 2)=x14 .已知定义在R上的函数小)满足 f(x),当x E 0,2)时f(x) = x + e ,则f(2018)=【答案】14。PA = "AB = AC = 215 .三棱维P-ABC中，已知PA1底面ABC, BAC = 60 ,3,若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则该球的体积为.256n【答案】81【解析】分析：由题意求解底面ABC外接圆的半径r,利用球心到个顶点距离相等求解 球的半径R可得结论.详解：由题意 NBAC=60° , AB=AC=2,2r-可得AABC是等边三角形，可得外接圆的

12、半径rf/3,PAJ底面 ABC, PA=3,2工球心与圆心的距离为3.(H2 + r2该球的半径为R=4 4 256TlfR =该球的体积V=381 ,256n故答案为：81点睛：(1)本题主要考查球的体积的求法，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知 识的掌握水平和空间想象能力.(2)解答本题的关键是找到关键三角形及其各边的长.16,已知等比数列的前n项和为S/nEN ),且a? > a/4 = a j 28, 23 + 2是a?,的等an + 1差中项，若数列S/n + 1的前n项和TnqM恒成立，则M的最小值为.1【答案】2【解析】分析：根据条件求出aj的通项，利用裂项相消法求和

13、计算L,从而得出M的 值.详解：设等比数列匕的公比为q,VS4=ai+28, as+2 是 a2, a”的等差中项，232= 16j a.l + q+q ) = 28.(2(a2q + 2) = a2(l+q) 解得q = 2 或'2 ,V 8281, / a2=4, q=2.2(3.an=2n, Sn= 1-2 =2-2,an + l2nM11_ _ 一元.(22 1-2)(20* 2_2) 一 (2。* 】一2) (20+ ?一2)1111 1 1111A T-22-2 23-2 + 总一总 + * 2n + 1-2 2n + 2-2 - 2> + <2 < 2,

14、1AM的最小值为2.1故答案为：2点晴：(1)本题主要考查等比数列的性质，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些 基础知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)用裂项相消法求和，需要掌握一些114 1 111常见的裂项方法：Wn+k) kn n + kj,特别地当k = l时，n(n + 1) n n + 1-(=-=7(VfnTk-Afi)-7=一r = A/n7l-n.Vn + k + n k,特别3也当 k = 1时1n + 1 +/1(2n)2(4n2-l) +11111an = 1 += 1 + -()(2n-l)(2n + 1) 4n?-14n2-l2 2n-l 2n + 11

15、11 1 a =- n(n-l)(n +2) 2 n(n + 1) (n + l)(n + 2)n + 21 2(n + l)-n 111an = =-一= n(n + 1) 2n n(n + l) 2rl n 2 (n + 1)2rln - n! = (n += (n + l)!-n!三、解答题25sin B + -cosB = 217.已知药呢分别是MBC三个内角A,B,C所对的边，且 2 (1)求角B的大小.已知b = 2,求AABC面积的最大值.nB : 一 r【答案】【解析】(1)3； J3251cos B - -cosB -1 = 0 cosB =-分析：(1)推导出 2，解得 2

16、,由此能求出B. (2)由nB=3, b=2,根据余弦定理得a?+c2-ac=4,从而a'+c?=ac+422ac,进而acW4,由此能 求出aABC的面积最大值.25sin B + -cosB = 2详解：(1) AABC中，2 1-cos2B + cosB = 2 cos2B - cosB-1 = 02 即 21cosB =-解得cosB=2 (舍)或 2nB =-nB = -zb = 2由知 3根据余弦定理得二a2 + c? - 2accosB代入得a? + c? - ac = 4,得J + c2 = ac + 4> 2ac,解得ac 4 4,1 1 rSMBC = &qu

17、ot;acsjnB 2X4x7=V3所以AABC的面积最大值为亚点睛：本题考查角的大小的求法，考查三角形面积最大值的求法，考查三角函数性质、 三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函 数与方程思想.18.如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为?的等边三角形，证明：AC1S0;求点C到平面sab的距离.2版【答案】(1)见解析；(2) 3【解析】分析：(1)连结OA, AABC为等腰直角三角形，推导出AO±BC, SOXBC, SO ±A0.从而SO_L平面ABC,由此能证明AC_LSO. (2)设C到平面SAB的距离

18、为d,由 Vs-abFVc.sab,能求出C到平面SAB的距离.详解：由题设AB = AC = SB =sc = sa,连结。a, AABC为等腰直角三角形，所以谊A = OB = OC = SA02,且AO IBC,又ASBC为等腰三角形，故SO1BC,且 2第11页共17页从而OA? + So2 = Sa2所以ASOA为直角三角形，SO 1 A0又AO n B0 = 0所以S。1平面ABC即AC _LS。（2）设C到平面SAB6勺距离为d,则由知：三棱锥Vs. abc = Vc. sab11oaabc , SO = 5asab , 弓即33 'ABC为等腰直角三角形，且腰长为2.

19、BC = 2也SO = ISB2 - OB2 = 142 = 2c 1f SAB的面积为"ab 2 sin60 =4 9. 2d6s j 2J2 = J3dfd =AABC 面积为 Smbc - 2,3246J"到平面SAB的距离为3 .点睛：（1）本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位矍关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想.（2） 求点到面的距离常用的有直接法、等体积法和向量法，本题利用的是等体积法.19.我国自改革开放以来，生活越来越好，肥胖问题也目渐显著，为分析肥胖程度对总胆固爵-与空腹血糖的影响，在肥胖人

20、群中随机抽出8人，他们的肥胖指数BMI值、总胆固萌TC指标值单位：mmol/L） x空腹血糖GLU指标值（单位：mmol/L）如下表所示：人员编号12345678BMI 恒 x2527303233354042定指标值y5.35.45.55.65.76.56.97.1CAU指标值z6.712738.1&69.09.1(1)用变量y与x，z与X的相关系数，分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度；求y与x的线性回归方程，已知它指标值超过5.2为总胆固醇偏高，据此模型分析当BMI值达到多大时，需要注意监控总胆固薛偏高情况的出现(上述数据均要精确到0. 01)参考公式：相

21、关系数»xx）（yy）（xrx）（y-y）r= , i = 1b = 122nnnE（xx 尸 Z（%-y）2Z（x7）2_Ji = 1i = 1i = ia = y-bx*，988Z（zj）J 5.4Z（xx）2 = 244 Z（yy）2 = 3.66参考数据：x = 33, y = 6,z = 8, i = i, i = i8888Z（xx）Z（yy） = 28.3.，则=15.6,J获=19, 542.3【答案】(1)见解析：(2)达到26.33时，需要注意监控总胆固醇偏高情况出现【解析】分析：(1)根据公式计算变量y与x的相关系数、变量z与x的相关系数，即 可判定结论；(2)

22、求出变量y与x的线性回归方程，利用回归方程求不等式的解集，即得结论.283r = 0.95详解：(1)变量y与X的相关系数分别是 15.6x1.9,35.4r = 0.99变量z与x的相关系数分别是 15.6x2,3可以看出TC指标值与MBI值、GLU指标值与MBI值都是高度正相关.(2) 丫与x的线性回归方程，± = bx + a.根据所给的数据，可以计算出283b = 0.12244a = 6-0.12x33 = 2.049所以y与X的回归方程是。=0.12X + 2.04由0.12X + 2.042 5.2,可得x 2 26.33,据此模型分析MBI值达到26. 33时，需要注

23、意监控总胆固醇偏高情况出现.点晴：(1)本题主要考查相关系数，考查回归直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)两个变量之间线性相关关系的强弱用相关系数来衡量.相关系n(x-x)(y-y) i= 1r= In n工体-了工年:丫尸数： / =】 i = 1r>0,表示两个变量正相关；r<°,表示两个变量负相关；的绝对值越接近1,表明两个变量的线性相关性越强。的绝对值越接近0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常，的绝对值大于0.75时，表明两个变量的线 性相关性很强.20.已知抛物线<=的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点P(m,5

24、)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C的方程；(2)已知抛物线上一点过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD,ME,判断直线DE是否过定点，并说明理由.【答案】(1) x? = 4y； (2)过定点(-4,8)【解析】分析：(1)根据抛物线性质求出p,得出抛物线方程：(2)设MD斜率为k,联 立方程组,求出D, E的坐标，得出直线DE的方程，从而得出结论.P2y =-详解：(1)由题意设抛物线方程为x =2py,其准线方程为 2,P(m,5)到焦点的距离等于P到其准线的距离，Po- 5 + - = 6Z p = 2所以抛物线方程为 二 4y由可得点M(4,4),设直线MD的方程为：y=k(x-

25、4) + 4,第13页共17页|y = k(x -4) + 4 联立I x2 = 4y,得x2-4kx + 16k-16 = 0.XM Xl = 16k-1616k-161 =4k-414(4k4广 2y 二二 4(k-l)144： x2 =- - - 4同理可得 k12y2 = 4(r+1)K2 1 24(k-l) -4(- + l)2所以直线DE的方程为y - 4（k- 1）2 =44k - 4 + + 4k (x - 4k + 4)1 1(k + -)(k-2)1 k+ -k1(k - - 2)(x -4k + 4) (x-4k + 4)= ky = (k - 2)x + 4k - -=

26、 (k- 2) 化简的 kk k (x + 4) + 8直线DE过定点（-4,8）.点睛：（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位蜜关系和直线的定 点问题.（2）定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条 件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明： 即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或 该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数入WR,结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式G（x,y）入2 + f#,y）入 + f#,

27、y） = 0,（一般也 *（x,y）（i = l,2,3）为关于x,y的二元一次关系式）由§”,丫） = 0f2（x,y） = 0上述原理可得方程组G（xM = o,从而求得该定点.21.已知函数f（x） = ln（x + l）-ax, aR（1）讨论函数f（x）的单调性;lnxh（x） =当x21时，设貂）=f（x-l）,x + 1,满足g（x）4h（x）恒成立，求a的取值范围.第17页共17页1H + °°)【答案】(1)见解析：(2) 2【解析】分析：(1)讨论a的符号，判断f(x)的符号，从而得出f (x)的单调区间;(2)令m (x) =g (x) -h

28、 (x),讨论a的范围，判断以”)的符号，得出结论.详解：(1)因为f(x) = ln(x + l)-ax,所以定义域为(-1, +,1 l-a(x+l)f (x) = a =(x > 0)所以 1 + xx+1当a $ 0时，f(x)> 0恒成立，所以f(x)在(0, +间上单调递增。1.x = -1当a>0时，令f(x)=0,则 a1 1xe(-i-i),(-1-1)当 a , f(x)>0,所以f(x)在a 上单调递增,1 1X E (- 1, + OO) ,(-1, + 8)当 a , f(x)<0,所以f(x)在a 上单调递减, 综上所述：当a 4 0时

29、，f (x) 2 0恒成立，所以f(x)在。+再上单调递增.1 1xE(-l-l) .(-1-1)当 a , f(x)>0,所以f(x)在a 上单调递增,1 1X E (- 1, + OO) ,(-1, + 8)当 a , f(x)<0,所以f(x)在a 上单调递减,(2) Mx) = ln(x + 1) - axxlnx - a(x2 -1) g(x) = f(x -1) = lnx - a(x -1)lnx-a(x -1)g(x) - h(x) = lnxx + 129 m(x) = xlnx-a (x - 1)(x2 1), m (x) = lnx + 1 - 2ax.1 -

30、 2axF(x)=令 F(x) = m(x)= lnx + 1 - 2axx若a«0, F(x)>0, 01仪)在1, + 8)递增，m(x)>m(l) = l-2a>0 m(x)在口#8)递增,m(x) Am(l) = 0从而g(x)-h(x)之0,不符合题意.1 1 10 < a < -x W (1,).(1,)若 2,当 2a, F(x)>0, m(x)在 2a 递增, 从而m(x)2m(l)=l-2a,以下论证同 一样，所以不符合题意.1a N 1若2, F (x) 4 °在1, + 8)恒成立, m (x)在1, + 8)递减，

31、m (x) 4 m (1)= 1 - 2a 4 0,从而m(x)在。+ 8)递减m (x) 4 m =0, g(x) - h(x) 4 0,1-,+ °°)综上所述，a的取值范围是2点晴：(1)本题考查了函数单调性与导数的关系，考查函数恒成立问题与函数单调性、lnx- a(x -1)=最值的关系.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化为g(x)h(x)= lnxx + 1 xlnx-a(x2 -1)x + 1 WO,即m(x)=xlnx-a H-Dwo,其二是利用导数求m(x)的最大值.,X=l + tCOS0'/22.已知直线/的参数方程："为参数)，曲

32、线C的参数方程:y = tsinO- = Scosa (。为参数)，且直线交曲线。于4,8两点. y = sina(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求6 = 7时，M邳的长度;巳知点P(LO),求当直线倾斜角夕变化时，|夫人卜|尸耳的范围.【答案】(1) y+r =1, |>/2 ； (2) I，【解析】试题分析：(I)利用cos?a + siifa = l消参后可得曲线C的普通方程，把6=2代入交消去参数f 4可得直线/的普通方程，再把直线方程代入曲线C方程，结合韦达定理、弦长公式AB = J1 + W% - x2| 可得弦长；(II)直线/的参数方程是标准参数方程，直接代入曲线C的普通方程，A、B两点参数乙也是此方程