几种不等式证明方法的探讨

1、【标题】几种不等式证明方法的探讨 【作者】陈 其 婷 【关键词】不等式  柯西  均值   【指导老师】白 永 娟 【专业】数学教育 【正文】1 引言大概由人类懂得分辨数量的大小开始，不等式的概念已经诞生了。虽然我们自小学习的数学都以等式为主，但很久以前不等式已被应用来解決日常生活的问题。尤其在沒有微积分的时代，不等式都是计算最大和最小值的最佳工具，许多著名的不等式应用而生，后来理所当然地成为数学理论里的研究对象。或许因为不等式着重实用的缘故，也或许因为不等式本身只是一条数式那么简单，即使是著名的不等式也不会拥有很多专门的历

2、史记载。事实上，不等式的历史渗透于整个数学历史之中，这从难以找到一本专门介绍不等式的数学历史书可见一般。希望能夠勾画出不等式在数学洪流中的风采。古往今來，不等式在数学中扮演十分重要的角色，籍著留意不等式的发展，我们可以看到不同时代的数学历史。对于算术几何平均不等式，我们见识过古希腊人的智慧，欣赏过数学大师柯西和厄多斯的风采，看到波利亚如何识英雄重英雄。在柯西不等式的介绍中，我们认识过柯西、许瓦尔茲和宾亚高夫斯基的生平，感受过宝亚高夫斯基那种被人抢去功劳的遗憾。至于三角不等式，我們见证一个不等式的成长，发展成在抽象空间里讨论的大智慧。不等式不仅是中学数学中的重要内容之一，也是解题的一种十分重要的

3、思想方法。因而我们应加强中学数学不等式教学的研究,以提高不等式解题的质量与水平。在中学证明不等式一般有比较法，综合法，分析法，反证法，判别法，放缩法，数学归纳法，利用二项式定理和变量代换法还有各种解不等式的方法等等，其中包含了很多的技巧。根据多年的教学实践,我们主张对不等式部分的教学以模块化教学为手段,充分渗透数学思想进行研究。2 预备知识2.1 不等式的定义用符号 或 联结两个解析式所成的式子，称为不等式在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边（或每一个的左边都小于右边），那么这两个不等式就是同向不等式。在两个不等式中，如果一个不等式的左边大于右边，

4、而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式就是异向不等式。不等号 或 叫做严格不等号， 或 叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）例如 表示“ 或 有一个成立，”因此 或 都是真的另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“ ”下面主要讨论严格不等式的性质常如下定义不等式：形如 (2-1)的式子，称为关于变数 的不等式（符号“ ”表示不等号“ ”，“ ”中的任一个）在(2-1)式中， 定

5、义域的交集，叫做不等式(2-1)的定义域在不等式(2-1)的定义域中，能使不等式成立的数值组，叫做不等式(2-1)的解，不等式(2-1)解的全体组成的集合，叫做不等式(2-1)的解集求出不等式解集的过程，叫做解不等式2.2 不等式的性质实数的三条运算比较性质：   为以下不等式性质的证明提供了依据定理2.21    （对称性） 定理2.22     （传递性） 定理2.23      推

6、论2.24      定理2.25          推论2.26      推论2.27   定理2.28  13 几种不等式证明方法的探讨3.1 利用柯西不等式来证明不等式不等式的多解性, 运用柯西不等式得出了以下不等式的巧解.柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“留数”问题时得到的。但

7、从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。旨在激发读者的兴趣, 去欣赏和探究其解法的巧妙和独特之处, 激励数学爱好者思考不等式自然简便的解法. 并且, 在不等式的证明中, 有时需要将几类不等式结合起来解题, 望唤起读者探究不等式证明的综合方法.例1  已知：设 为A B C的三边长, 求证

8、:   .证明：由题意及柯西不等式   故                       当且仅当  时, 等号成立.此题我们应该利用柯西不等式的定理：如果 ； 为两组实数，则 。当且仅当 时符号成立。观察要求证的不等式的形式来结合柯西不等式

9、的定理来凑足形式变  ，正好两组实数大于等于(a + b +c) ，但是与要证明的不等式有一定的区别，这是我们发现   ，于是不等式两边同时除以 （ ），即成立。2在自然界中存在着大量的不等量关系, 不等关系也是最基本的数学关系,不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用. 柯西不等式的结构对称优美,应用灵活广泛,深受大家的喜爱. 又由于近年来一些高考数学试题含有柯西不等式的背景. 因此, 对柯西不等式的探究是有益的.柯西不等式不仅在代数中有广泛

10、的应用，还在平面解析几何中有应用。例2  已知点  及直线L :  ( ),则点 到直线 的距离 .证明设点 是直线 上的任意一点,则  显然,   的最小值就是点  到直线 的距离.     | ,即          

11、0;                即                            .故点P 到直线L的距离 .点到直线的距离公式

12、是解析几何中的一个重要公式,有很多证明方法,本文所给的方法可能是最简单的一个证法.综上可见,柯西不等式能简洁明快地解决一些初等数学问题. 又加之高中数学课改实验区多数老师愿意讲授“不等式选讲”. 因此,对柯西不等式应予重视和探究. 33.2 利用导数来证明不等式导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决很多与不等式相关的问题。众所周知, 不等式是历年高考重点考查的内容之一。尤其是在解答题中对其的考查, 更是学生感到比较棘手的一个题。而可导函数在某个区间上的导数值大于(或小于)零时,可判断该函数在该区间上的单调性

13、,利用函数的单调性进而可以比较函数值的大小;求出函数的值域或极值、最值。因而在解决一些不等式问题时, 如能根据不等式的特点,恰当地构造函数, 运用导数证明或判断该函数的单调性,然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题,可使问题迎刃而解。直接由所证不等式构造函数, 讨论其单调性, 达到证明不等式的目。证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的不等式通过构造函数转化为 ，再通过求 的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。例3  

14、;求证:  证明:   令                         则                  

15、60;              在  上是增函数当  时,                   即           

16、;                    本题通过导数与函数单调性的关系,自然地将导数与不等式结合在一起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力。先构造函数   再对   进行求导,得到   然后观察得到当 时,  , 即   在

17、   时是增函数; 最后可得当   时,  , 即 。对于看起来无法下手的一个不等式证明, 对其巧妙地构造函数后,运用导数研究了它的单调性后,通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决。最值证明在不等式中的应用,一般转化不等式(转化的思想) 构造一个函数, (函数的思想方法) 然后求这个函数的极(最) 值,应用恒成立关系就可以证明,对于应用导数解决实践问题,关键是建立恰当的数学模型。用导数求出该函数的极值、最值(或值域)

18、 后,达到证明不等式的目的。利用导数求出函数的极值、最值(或值域) 后, 再证明不等式。例4  已知函数 ，设  如果过点  可作曲线  的三条切线,证明:  。证明：如果有一条切线过点  ,则存在  ,使  因而根据题意,若过点  可作曲线  的三条切线, 则方程  有三个相异的实数根。设 ,则 。当

19、60; 变化时,   ,   的变化情况如下表:  0     + 0 - 0 0  极大值  极小值 由  的的单调性,当极大值  或极小值  时,方程 最多有一个实根;当  时,解方程  得 ,   ,即方程 只有两个相异的实数根;当  时,解方程

20、0; 得 ,   ,即方程 只有两个相异的实数根。综上,如果过点  可作曲线 的三条切线,即  有三个相异的实数根,则                               

21、  ,即                               。此题巧妙地运用导数知识求得了函数的极值, 利用极值的取值范围讨论了三次方程的根的情况, 以达到了证明不等式的目的。43.3 利用均值不等式来证明不等式均值不等式是不等式

22、中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。 通过特征分析，用于证不等式均值不等式：  两端的结构、数字具有如下特征：1)次数相等；2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等 ；3)左和右积。抓条件“一正、二定、三等”求最值，由均值不等式，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。抓“当且仅当等号成立”的条件，实现相等与不等的转化 在均值不等式中“当且仅当等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口

23、。    例5  已知： 都是小于1的正数，求证： 、 、 中至少有一个不大于 .证法一：假设  ，  ，   ，则                         &#

24、160; 即 ，这是矛盾的，假设不成立，即原结论正确。证法二：假设  ，  ，  ，则            (3-1)又                       &

25、#160;           这与(3-1)式矛盾的，所以假设不成立，即原结论正确。本题先运用反证法，配凑整理后再用均值不等式的方法。利用均值不等式放搜不等式的常用辅助技巧是添项和拆项，并且利用均值不等式球最值问题的常用辅助技巧是配凑和（或积）为定值。作为基本不等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作用。本文从重要极限 的存在性的证明出发，介绍了均值不等式在高等数学的积分、极限等领域的重要作用。极限概念是高等数学中的重要概念， 极限理论是高等数学中

26、的基础理论。高等数学中有许多重要的概念都是以极限形式来定义的。而极限概念是用不等式刻画的。这就决定了不等式运算是高等数学中最基本的运算之一， 因此作为基本不等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作用。6例6  证明重要极限 的存在性。证明：先证明数 单调递增。令 , ,则有均值不等式得   即                

27、;    ，                                ，所以数列 单调递增。再证数列 有上界。下面的证明可以看到一个更强的命题：数列 以 。设 , 由均值不等

28、式   =                                 因此        。其次由  ，有  &#

29、160;                                 。当nk时，任取一个正整数k，  均是数列 的上界。又数列 单调递增， 时，不等式     仍然成立。因此

30、，对于数列   （n=1、2、3）恒有  （ 为正整数）。任意选定一个 值 均是数列 的上界。所以数列 单调有界，由单调有界定理，数列 极限存在。设极限为e，即 。3.4 利用拉格朗日中值定理来证明不等式拉格朗日中值定理是微分学中最主要的定理,它的意义在于建立了导数和函数之间关系,证明不等式是它的一个简单应用。例7  已知：设  在 上连续, 其导数  在 内存在且单调减少,&

31、#160;且  , 试证明不等式  其中 。证明:令  在 上使用拉格朗日中值定理,则至少存在一点 ,使得 ,在 上使用拉格朗日中值定理,则至少存在一点 使得 ,由条件 在 内存在且单调减少,知 , 所以  。由条件 .于是有  ,当 时,   故  。由所给的条件和所要证明的不等式不难看出,只要在 

32、;和 上分别使用拉格朗日中值定理,则不难得出所要证明的不等式。解决这类问题的一般步骤是:第一步,分析要证明的不等式,通过适当的变形后,选取辅助函数 和区间  。第二步,根据拉格朗日中值定理得到 。第三步,根据导函数  在  上的单调性, 把 作适当放大和缩小,从而推证要证明的不等式。利用拉格朗日中值定理,一般要考虑导函数 的单调性,但有时不一定要求导函数具有单调性,如果能断定导函数在所讨论的区间上不变号,从而确定函数的单调性,也可以推证出不等式。73.5 常见不等式

33、证明方法在证明不等式的常见方法有比较法、分析综合法、放缩法等方法完成。（1）比较法：用数学归纳法证明某些不等式命题时, 题中关于自然数 的表达式可表示为  , 用 表示  ,找到由“ ”过渡到“ ”的突破口, 问题便可迎刃而解。例8  求证: 若 , 当 时, 有 .证明:当 时          

34、                   原不等式成立。假设当  时, 原不等式成立, 即有 设                      &#

35、160;    则                   从而有                         

36、0;   即当 时, 原不等式也成立。故由此可知, 当 是不小于2的任意自然数时,原不等式都成立。（2）分析综合法：分析综合法是用数学归纳法证明关于自然数 的不等式时, 从“ ”过渡到“ ”的常用方法。例9  求证: 若 , 当 时, 有 证明:当 时，            &

37、#160;            时原不等式成立。假设n=k( k2) 时, 原不等式成立, 即有 。当 时, 原式左边 。因此, 欲证当 原不等式成立, 只需证 ,即 , 显然成立。于是当 时, 原不等式成立。由此可知, 对任意大于1的自然数, 原不等式都成立。（3）放缩法：用数学归纳法证明关于自然数 的不等式, 从“ ”过渡到“ ”, 有时可考虑用放缩法。但需注意, 放缩法证题学生往往掌握不好, 把握不住尺度, 因为放得过大或缩得