高等数学：12_2对坐标曲面积分

1、第二节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十二章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量的指向表示。侧的规定：若曲面的法向量n与z 轴正向夹角小

2、于,2 则为上侧;若大于,2 则为下侧；若曲面的法向量若曲面的法向量与y 轴正向夹角小于与x 轴正向夹角小于nn,2 ,2 则为右侧;则为前侧;若大于若大于,2 ,2 则为后侧；则为左侧； 设 为有向曲面,)(yxSS则()cosx ySS 其面积微元在 xoy 面上的投影,0)(yx若()x yS 的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 封闭曲面常用外侧和内侧。记为称为有向投影，()x yS二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可

3、压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: vcosvS nv机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , ),( , , ),( , , )vP x y zQ x y zR x y z cos,cos,cosn vn S对一般的有向曲面 ,用“分割, 近似, 求和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的速度场iniv1，n ，机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , ),( , , ),( , , )vP x y zQ x y zR x y z将曲面分成 n 个有向小曲面cos, cos, cos,ii

4、iini 的面积记为Si ，其单位法向量为当i 的直径很小时，(,),kkki 点(,)iikkkiivnS 则( ,)cosiiiiP iiiiQcos),(iiiiRcos),(iS0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iS0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(故0limiiiSnvni 10limni 1i设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做

5、被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二型曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义定义.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , ),( , , ),( , , ) ,AP x y zQ x y zR x y z 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddd

6、dd若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos, cos, cos,n( , , ),( , , ),( , , ) ,AP x y zQ x y zR x y z ddd d , d d , d dSn Sy zz xxy 3. 性质性质(1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用 表示 的反向曲面, 则 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面yxDyxyx

7、zz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前侧

8、取正，后侧取负)(右侧取正，左侧取负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 把 分为

9、上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设S 是球面1222zyx

10、的外侧 , 计算SxxzyI2cosdd2解解: 利用轮换对称性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos

11、),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束 令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3机动 目录

12、上页 下页 返回 结束 yxz111例例5. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n机动 目录 上页 下页 返回 结束 221cosyxx例例6. 计算曲面积分其中解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 机动 目录 上页

13、 下页 返回 结束 )( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxz

14、QzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 当yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxd

15、d1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. P167 题2提示提示: 设,),( ,0:yxDyxz则 取上侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P184 题 13. P167 题3(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上侧 , 计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P167 题题3(3). 设作业作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节 目录 上页 下页 返回 结束 ,ddddddzyxyxzxzyI备用题备用题 求