矩阵的行(列)秩

1、第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的行一、矩阵的行(列列)秩秩的秩称为矩阵的秩称为矩阵 A 的的行秩行秩；则矩阵则矩阵 A 的行向量组的行向量组12(,),1,2,iiinaaais 的秩的秩称为称为矩阵矩阵 A 的的列秩列秩.矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组12,1,2,jjsjaajna 定义定义111212122212,nnsssnaaaaaaAaaa 设设第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩引理引理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组1111221211222211220000nnnnsssnna xa xa xa xa x

2、axa xa xa x （1）的系数矩阵的系数矩阵111212122212nnsssnaaaaaaAaaa 的行秩的行秩 ，那么它有非零解，那么它有非零解rn （若（若(1)只有零解，则只有零解，则 ）.rn 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩证：证：的秩为的秩为r，设矩阵设矩阵 A 的行向量组的行向量组12(,),1,2,iiiinaaais 且不妨设为其一个极大无关组且不妨设为其一个极大无关组.12,r 于是方程组于是方程组(1)与方程组与方程组(1)是同解的是同解的.由于向量组与向量组等价，由于向量组与向量组等价，22,sk k 12,r 11112212112

3、22211220000nnnnrrrnna xa xa xa xa xaxa xa xa x （1）所以所以(1)有非零解，从而有非零解，从而(1)有非零解有非零解.在在(1)中中,rn 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩定理定理4 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的行秩矩阵的列秩 证明：设证明：设 ，A的行秩的行秩r，A的列秩的列秩r1， ()ijs nAa 下证下证 1rr 先证先证 1rr 则向量组则向量组 的秩为的秩为r， 12,s 不妨设不妨设 是它的一个极大无关组，是它的一个极大无关组，12,r 于是于是 线性无关，线性无关，12,r 设设A的行向量组为的行向量组

4、为12(,),1,2,iiiinaaais 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩即即111212112122221122000rrrrnnrnra xa xa xa xa xa xa xaxa x （2）只有零解只有零解. .11220rrxxx 只有零解只有零解. .所以方程组所以方程组由引理，方程组由引理，方程组（2）的系数矩阵的系数矩阵 1121112222112rrnnrnaaaaaaAaaa （未知量的个数）（未知量的个数）. .的行秩的行秩r 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩112111222212(,),(,),(,)rrrrr

5、raaaaaaaaa是是r个线性无关的行向量，个线性无关的行向量，中一定可以找到中一定可以找到 r 个线性无关的向量个线性无关的向量.从而在矩阵从而在矩阵 的行向量组的行向量组1A1121112222122(,),(,),(,)rrnrnaaaaaaaaa不妨设不妨设则该向量组的延伸组则该向量组的延伸组112111,11121,(,),(,)rrnrrrrrrnraaaaaaaaaa 于是矩阵于是矩阵A的列秩的列秩 1rr 同理可证同理可证 .1rr 所以所以 1rr 也线性无关也线性无关第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的行秩与矩阵的

6、列秩统称为矩阵的秩矩阵的秩，记作记作秩秩A 或或 、()rank A( ).R A定义定义注注 设，则设，则 ijs nAa ( )min( , ).R As n 若则称若则称A为为行満秩的行満秩的；(),R As 若则称若则称A为为列満秩的列満秩的.( ),R An 若，则若，则0A ( )0.R A 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩二、矩阵秩的性质二、矩阵秩的性质定理定理5 设设 ， 则则()ijn nAa 0( );AR An 0( )AR An 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩证：证：若若 n 1， 则则A只有一个一维行向量只有一

7、个一维行向量0，(),R An A的的 n 个行向量线性相关个行向量线性相关.从而从而A0，00.A 若若 n 1， 则则A的行向量中至少有一个能由其余的行向量中至少有一个能由其余行向量线性表出，行向量线性表出，依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.从而在行列式从而在行列式 中，用这一行中，用这一行A0.A第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩若若 n 1，由知，由知，0A 对对 n 作数学归纳法作数学归纳法.A0，从而从而()01.R A 假若对假若对 n1 级矩阵结论成立，下证级矩阵结论成立，下证 n 级的情形级的情形

8、.设设 ，()ijn nAa 为为A的行向量的行向量.12,n 考察考察A的第一列元素的第一列元素:11211,naaa若它们全为零，则若它们全为零，则( )1;R Ann若它们有一个元素不为零，若它们有一个元素不为零，110,a 不妨设不妨设则则 的第的第2至至 n 行减去第行减去第1行的适当倍数后可为行的适当倍数后可为A第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩11121222200nnnnnaaaaaAaa 222112nnnnaaaaa 12111(0,),2,iiiniaaaina 其中其中由知，由知，0A 22220,nnnnaaaa 由归纳假设，矩阵的秩由归纳假

9、设，矩阵的秩n1，2222nnnnaaaa 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩121212211110,nnnnaakkkkaa 1212111111,nnaaaa 从而向量组从而向量组线性相关，线性相关， 故在不全为零的数使故在不全为零的数使2,nkk121221111110,nnnaakkaa改写一下，有改写一下，有线性相关线性相关12,n ( ).R An不全为零的不全为零的n个数个数第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩推论推论1齐次线性方程组齐次线性方程组().R An ( ).R An111122121122221122000nnnn

10、nnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax ( ) 有非零解有非零解 系数矩阵系数矩阵 的行列式的行列式 =0() ijn nAa A( ) 只有零解只有零解 0 A( ) 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩线性相关线性相关1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式线性无关线性无关1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式n 个个 n 维向量维向量12(,),1,2,iiiinaaain 推论推论2第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩定义定义k 级子式级子式在一个在一个

11、 sn 矩阵矩阵 A 中任意选定中任意选定 k 行行 k 列列个元素按原来次序个元素按原来次序所所组成的组成的 k 级行列式，称为矩阵级行列式，称为矩阵位于这些行和列的交点上的位于这些行和列的交点上的2k 1min( , ) ,ks nA的一个的一个k级子式级子式 注注矩阵矩阵 A 的的 k 级子式共有个级子式共有个. .sn kksnC C第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩 R ArA r有一个有一个 级子式不为级子式不为0.个个 级子式级子式r1r 不等于不等于0，且所有，且所有 级子式等于级子式等于0定理定理6 矩阵矩阵 的秩为的秩为 的充要条件是中有一的充要条

12、件是中有一rAA注注 的所有的所有 级子式等于级子式等于0； R ArA 1r 若若 则则 的不为的不为0的级子式所在行的级子式所在行(列列) R ArA r就是就是A行行(列列)向量组的一个极大无关组向量组的一个极大无关组.第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩则则A的任意个行向量的任意个行向量1r 11121112nrrrnaaaAaaa 由定理由定理5的推论的推论2，证：证： ,R Ar 设设都线性相关，都线性相关，从而从而A的任意级子式的行向量也的任意级子式的行向量也1r 线性相关线性相关.A的级子式全为的级子式全为0.1r 下证下证A至少有一个级子式不为至少有一

13、个级子式不为0.r ,ijs nAa 设设 ,R Ar 因为因为所以所以A有个行向量线性无关，有个行向量线性无关，r不妨设不妨设A的前个行向量线性无关，的前个行向量线性无关，r作矩阵作矩阵第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩.tr 则行列式则行列式显然显然 的行秩为，的行秩为，1Ar从而从而 的列秩也为，的列秩也为，1Ar不妨设在不妨设在 中前列线性无关，中前列线性无关，1Ar11121120.rrrrraaaaaa 此即此即 A 的一个的一个 级非零子式级非零子式. . r若若 A 的所有的所有 级子式全为级子式全为 0，1r 所有级数大于的子式全为所有级数大于的子式

14、全为 0.r则则 A 的的().R At 设设由必要性由必要性, ,不可能有不可能有.tr 否则否则A的的 级子式全为级子式全为0.r同样同样, ,不可能有不可能有.tr 否则否则A有有 级子式不为级子式不为0.(1)tr第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩三、秩的计算三、秩的计算方法一方法一按定义求出按定义求出A的行的行( (列列) )向量组的秩向量组的秩. 级数级数. .方法二方法二利用定理利用定理6， 等于等于 中非零子式的最大中非零子式的最大( )R AA例例1求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩21 03203 12500 04300 000A 3R A 第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的秩方法三方法三用初等变换化用初等变换化 A 为阶梯阵为阶梯阵 J， 等于等于( )R AJ中非零行的行数中非零行的行数. .原理：原理： 初等变换不改变矩阵的秩；初等变换不改变矩阵的秩；阶梯阵的秩等于其中非零行的行数阶梯阵的秩等于其中非零行的行数 3205032361201531641 4A 例例2求矩阵求矩阵A的秩的秩第三章第三章 线性方程组线性方程组 4 4 矩阵的秩矩阵的