对混叠现象的几点理解

1、对混叠现象的几点理解一、目的分析混叠产生的原因，加深对混叠现象的理解。二、理论分析混叠现象产生的根源在于采样，如果采样不能够采集原信号足够多的信息的话，就会出现混叠的现象。三、实例分析这里用一个例子进行分析。Eg1：原信号如下：f(t)=cos(2t)+cos(23t)图1 连续信号对原来的信号进行展开得到如下式子：f(t)=0.5e对应的相位是 -j2t+0.5ej2t+0.5e-j23t+0.5ej23t0.5e-j2t,00.5e0.5ej2t,0,0 -j23t0.5ej23t,0对其进行采样，按照频率4Hz来采样，即每秒钟采样4次，从时刻-0.5s开始采样，得到的结果如下图所示，图2

2、 连续信号采样后对应的离散信号图3连续信号采样后对应的离散信号（附加连续函数提示）为了更清晰，我们把连续信号的图形加到离散的采样信号结果中。通过上图我们可以看出，发生了混叠现象，混叠就是高频成分的采样值表现形式和结果同低频一样，导致最终总体信号的表现形式为加倍了得低频成分。n3nf(n)=cos(2)+cos(2)44=0.5e=0.5e=0.5e=e-j2n4+0.5e+0.5e+0.5e2nj4j2n4+0.5e+0.5e+0.5e-j23n4+0.5ejj23n4-j2n42n4j2n42n4-j6n4+0.5e2n)46n4j(2-2n)4-jj-j(2-+0.5e+e2n=2cos(

3、)42n-j4从上面的推倒可以看出，原来的cos(2n3n2n)cos(2)的现在变成了2cos()。 4，44这种现象的发生，就是混叠，原因就是因为对于3Hz的分量，采样频率仅为4Hz，无法完成反映出信号的变化情况。往往在信号处理的最后一步是把离散的信号还原成原始信号，这就需要插值，而插入点得幅值选取是根据周围点幅度得来的，所以，插值后的结果往往就是低频的连续信号，而高频信号成分则变成了低频。Eg2：带相位偏差的混叠现象。f(t)=cos(2t+)+cos(23t+)42图4：连续函数将连续信号进行展开得到下式：f(t)=cos(2t+)+cos(23t+)42=0.5e=0.5e-j(2t

4、+)4-j+0.5ej(2t+)4j+0.5e-j(23t+)2-j+0.5ej(23t+)2j42e-j2t+0.5e4ej2t+0.5ee-j23t+0.5e2ej23t对于上式，我们可以很容易的看出各个谐波分量的幅值和相位。各个谐波的相位和其对应的cos型分量的相位是完全一致的。同时我们也可以展成如下形式f(t)=cos(2t+)+cos(23t+)42=0.5e-j4-j2te+0.5eej2t+0.5ej4-j2-j23te+0.5eej23tj2-j2tj2t=0.5(cos-jsin()e+0.5(cos+jsin()e4444+0.5(cos-jsin()e-j23t+0.5(

5、cos+jsin()ej23t2222-j2tj2tjj=-)e+)e+(-)e-j23t+ej23t444422上面式子的结果，是在进行计算的时候，经常得到的情况，其谐波幅值都为标准的复形式。谐波的幅值和相位信息就含在了该复数中。以1-)=，其相位442为arctan(-/=arctan(-1)=-444。所以，依次可以得到各个谐波对应的相位-j2t-)e,-444j2t+)e,444j(-)e-j23t,-22jj23te,22这也验证了，相位谱是奇函数，这一结论。同时，值得注意的是：-jjcos(2t+)=0.5e 4e-j2t+0.5e4ej2t4其中，两个谐波对的谐波幅值互为共轭，两

6、个基本谐波e复数幅值后的谐波分量也互为共轭。下面看以下经过4Hz采样后的情况。如下图所示。-j2t也是互为共轭，所以乘以图5连续函数采样后对应的离散点列（附加连续函数，便于观察）nnf(n)=cos(2+)+cos(23+)4442=0.5e=0.5e=0.5e=0.5e-j(n+)24+)24+)24-j+0.5e+0.5e+0.5ej(n+)24+)24+)24j+0.5e+0.5e+0.5e-j(6n+)42+0.5ej(6n+)42j(2-j(nj(n-j(2-n+)22n2+0.5e+)2-j(nj(n-j(-n+)22j+0.5ej(-n2+)2-j4n2e4+0.5e4ejjn2

7、+0.5ej-j2n2e+0.5e2e-jj-jn2=(0.5e-j+0.5e2)e-jn242+(0.5e+0.5e)ejn2j-j2njj2n=-j)+)e+j)-)e442442nn-jj2-2-2=+j)e+-j)e24444122-2-+j-jnn-jj=（）e2+（）e211220.3826(0.9238+0.3826j)e0.3826ej0.392699e=0.3826e-j-j-jn2+(0.9238-0.3826j)ejjn2n2n2+e-j0.392699e+ejn2-0.392699）n2-0.392699）2n=0.7652cos(-0.392699)4由上面的推倒可以

8、看出，发生了混叠，这里的混叠跟Eg1中的有一定的区别，这里由于相位不同的原因，cos(2nn+),cos(23+)在采样点处的值，并不相同，但是通4442过观察可以发现图6中的第二副图可以发现，其采样点已经具有了蓝色信号所示的低频频率特性了，并且在心得体会“信号相位的几点理解”中已经证明，任何两个同频cos型的波形，其和仍为该频率下的cos型波形，只不过幅值和相位会发生相应的变化。最后的第四幅图验证了上面公式推导结果的正确性，也说明了混叠的含义是指，高频成分因为采样而在采样点处表现为低频，并和原来的低频成分进行了相加的混合，使得结果呈现出低频特性，并且，幅值和相位都发生了响应的变化。图6四、收

9、获与总结1、谐波函数的函数值不一定都是负数 Eg：当用8Hz的采样频率去采样函数cos(24x)后，会得到如下结果：cos(24nTc)=cos(24n)=cos(n)8函数值=1，-111=e-jn+ejn2211=cos(n)+cos(n)22这里可以看出谐波的函数值e-jn，ejn是实数，虚部为0。其函数值取1，-1。2、相位改变对幅度频谱是否有影响，有，怎么影响。假设任一CT波形：cos(2ft+)=e-j2ft+ej(2ft+)=e-je-j2ft+ejej2ft其中|e-j|=1，所以相位的改变不改变谐波的幅值，也就是说，连续信号的幅度谱和相位谱是相互独立的相互不影响。不同相位的信

10、号可以有相同的幅度谱，但相位谱一定不同。 不同幅度的信号，可以有相同的相位谱，但振幅谱一定不同。对于DT波形，情况有些变化。我们的DT信号是由CT信号采样后得来的。1cos(2fnTc+)=cos(2fn+)fc1-j=ee21-j=ee2（1）这里首先研究-j2f1nfc1nfc1j+ee21j+ee2j2f1nfc1nfc -j2fj2ffc=2f的情况，这是上式变为：1cos(2fnTc+)=cos(2fn+)fc=1-j1jee+ee221-j-jn1jjnee+ee221-j-j(2n-n)1jjnee+ee221-jjn1jjnee+ee=cosejn22111-j-jn1jjn-jnjncose+cose(对比ee+ee)2222-j2fj2f1nfc1nfc可以看出现在，两个谐波的幅值受到的影响，产生这一现象的原因是因为采样和采样频率带来的影响。通过分析上述公式，我们可以看出e-j这个幅值，e-j=cos-sinj其模值始终为1，但是，如果出现e-j+ej=2cos的情况，就不能保证谐波的幅值了， 上面的公式推证就很清楚的体现了这一点，所以在进行频谱分析的时候，如果是临界采样图7 cos(2*pi*ft)图7 cos(2*pi*ft+pi/2)由