三角函数图像及其变换

1、高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换一、知识要点: 2, 23, 2,0=+x 列表求出对应的 x 的值与 y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内 的图象。3. 研究函数 R x x A y +=, sin(其中 0, 0>>A 的单调性、 对称轴、对称中心仍然是将 +x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期 |2=T 4.图象变换(1振幅变换 Rx x y =, s i n <<>倍到 原 来 的 或 缩 短 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 A 1 A (01 (AR x x y =, s i n A(2周期变换 R x

2、x y =, s i n <<>倍到 原 来 或 伸 长 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 11 (01 (R x x y =, s i n (3相位变换 R x x y =, s i n <>个 单 位 长 度 平 移 或 向 右 所 有 点 向 左 |0 (0 (R x x y +=, (s i n (4复合变换 Rx x y =, s i n <>个 单 位 长 度 平 移 或 向 右 所 有 点 向 左 |0 (0 (R x x y +=, (s i n <<>倍到原来的或伸长 所有点的横坐标缩短 11 (01 (R x x

3、 y +=, sin( <<>倍 到 原 来 的 或 缩 短 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 A 1 A (01 (AR x x A y +=, sin(5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。 二 . 基础练习1. 函数 12sin( 23y x =+的最小正周期 T2.函数 sin2xy =的最小正周期是 若函数 tan(2 3y ax =-的最小正周期是 2, 则 a=_. 3.函数 , 0(262-=x x y 为增函数的

4、区间是4.函数 22cos( 363y x x =- 的最小值是 5.将函数 cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数 2cos(2 4y x =-的图像?6.已知简谐运动 ( 2sin 32f x x =+<ç的图象经过点 (01 , ,则该简谐运动的最小正周期 T 和 初相 分别为7. 已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a,b,c 的大小关系为 _.8.给出下列命题: 存在实数 x ,使 sin cos 1x x =成立; 函数 5sin 22y x =- 是偶函数; 直线 8x =是函数 5sin 24y x =+ 的图象的一条对称轴;若 和 都

5、是第一象限角,且 >,则 tan tan >. R x x x f +=, 32sin(3 (的图象关于点 0, 6(-对称;其中结论是正确的序号是 . 三、例题分析:题型 1:三角函数图像变换例 1、 变为了得到函数 62sin(-=x y 的图象,可以将函数 1cos 2y x =的图象怎样变换?式 1:将函数 sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向左平移 3个单位,所得图象的解析式是 .题型 2:三角函数图像性质例 2、已知函数 y=log214x - 求它的定义域和值域; 求它的单调区间;判断它的奇偶性; ; 判断它的周

6、期性 .变式 1:求函数 34sin(2 23y x =+的最大、最小值以及达到最大 (小 值时 x 的值的集合.;变式 2:函数 y =2sin x 的单调增区间是题型 3:图像性质的简单应用例 3、已知函数 (sin 0, 0,|2f x A x A =+>><的图象与 y 轴交于点 30, 2 ,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 (0,3x , (02, 3x +-,(1求函数 (y f x =的解析式;(2用 “ 五点法 ” 作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数 sin y x =的图象依次经过哪些变换 而得到的。变式 1:如图,某地一天从

7、6时至 14时的温度变化曲线近似满足函数 y =A sin (x+b . (求这段时间的最大温差; (写出这段曲线的函数解析式. 变式 2:已知函数 >+=0, 0, sin( (x x f 是 R 上的偶函数,其图象关于点 0, 43( M 对称,求 和 的值。题型 4:三角函数综合应用 例 4、求下列函数的定义域(1x x y sin 21tan -+-= (2 x y = (3 1cos 2 1lg(tan-+=x x y .例 5、求下列函数的值域(1R x x y -= , 2cos 23 (2R x x x y -+= , 2sin 2cos 2 (3xxy cos 2cos

8、 2-+=例 6 若 (2122cos sin f x a a x x =-的最小值为 (g a ,(1求 (g a 的表达式;(2求使 (1g a =的 a 的值,并求当 a 取此值时 (f x 的最大值。能力检测题1. (2007年福建 .已知函数 ( sin (0 f x x =+> 3的最小正周期为 ,则该函数的图象( A .关于点 0 3, 对称 B .关于直线 x =4对称 C .关于点 0 4, 对称 D .关于直线 x =3对称 2. (2007年江苏卷 1 .下列函数中,周期为2的是( A . sin2x y = B . sin 2y x = C . cos 4xy =

9、 D . cos 4y x = 3. (07年山东卷文 4 .要得到函数 sin y x =的图象,只需将函数 cos y x =- 3的图象( A .向右平移6个单位 B .向右平移 3个单位 C .向左平移 3个单位 D .向左平移6个单位 4.如果 mm x 44cos +=有意义,则 m 的取值范围是 5. (2007年江西卷文 2 .函数 5tan(21 y x =+的最小正周期为 6.要得到 sin2x y =的图象,只需将函数 cos 24x y =- 的图象 7.对于函数 0, (A, sin(的常数 均为不等于 , +=x A y ,有下列说法: 最大值为 A ; 最小正周期为 |2|; 在 , 0至少有一个 x ,使得 0=y ;由 ( 2222Z k k x k +-解得 x 的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是8.函数 42tan(-=x y 的单调增区间为 .9.已知 0, 2-x , 且 , 01cos sin 22=-x x 求角 x 的集合 . 10.函数 21sin-=x y 的单调递增区间是 11. 函数 (, f x x R 是奇函数, 且当 0x 时, (2sin f x x x =+, 则当 0x <时, (f x 等于 . 12. 如果 、 、