构造新数列求递推数列通项

1、 构造新数列求递推数列通项在研究数列问题时,数列的通项公式往往是首要解决的问题.在高中数学中，数列的通项公式的求法有多种,但笔者认为利用构造新数列把非特殊数列转化为等差,等比两种典型的特殊数列是最为重要的.但由于构造新数列需要比较灵活的变形技巧,学生在应用构造新数列求数列通项时却往往会感到力不从心.为此本文以2008年数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例,介绍利用构造新数列求数列通项的常用技巧,供读者参考.1.求由确定的数列通项公式例1 已知满足，求数列的通项公式.解 令，解得.则数列是首项为4,公比为2的等比数列. 则,得.故数列的通项公式为.例2 (2008湖北理科第

2、21题) 已知数列满足.其中为常数.求数列的通项公式. 解 令,其中为待定系数.即.又,则解得.由此可得数列为等比数列.则,化简得.故数列的通项公式为.评注 对于求由确定的数列的通项公式,一般方法为寻找关于的函数,构造递推关系,使得数列为等比数列,进而求出数列的通项公式.构造新数列最关键是寻找函数,这需要根据的结构而定,如是关于的一次式,则也为一次式, 如是关于的二次函数,则也应为关于的二次函数.在确定结构后再通过待定系数的方法求出.2.求由确定的数列的通项公式例3 (2008年全国卷II第20题) 设数列的前项和为已知，,求数列的通项公式.解 由于,则,左右两边同除得. 令,(其中为待定系数

3、,),易得.则数列从第2项起为等比数列.当时, ,解得.故数列的通项公式为.评注 求由确定的数列的通项公式,一般可以通过左右两边同除,消除不和谐的指数,使其化归为求由形如确定的数列的通项公式.3.求由确定的数列的通项公式例4 (2008年陕西卷第22题) 已知数列的首项，求的通项公式.解 由,得.令,易得.则数列为等比数列.从而,解得.故数列的通项公式为.评注 对于由分式递推关系确定的数列,对左右两边进行倒数是一种常用的技巧和方法.通过取倒数再构造新数列,最终把数列化归为等比或等差数列,进而求出原数列的通项公式.4.求由确定的数列的通项公式例5 (2008年天津卷文科第20题)在数列中,首项,

4、求数列的通项公式. 解 令,则,由条件得,解得,则数列为公差为0的等差数列.故,即.当时,.当时,令,则,则数列是公比为首项为的等比数列.从而,即故数列的通项公式为.例6 (2008年广东理科第21题)设为实数，是方程的两个实根，数列满足.求数列的通项公式. 解 令,则,由条件得,解得的一组解为,则数列是公比为的等比数列, 数列是公比为的等比数列.故 又，则.则 当时, 解该两式有关的方程,得,即当时, ,即为,则.则数列是公差为1的等差数列,则,解得.故数列的通项公式为.评注 对于求由确定的数列的通项公式,一般先构造形如的数列递推关系,使得数列为等比数列,进而求数列的通项公式.其中的常数利用

5、待定系数法求得.5.求由确定的数列的通项公式例7 (2008年重庆理科第21题)设各项均为正数的数列满足.求数列的通项公式.解 对左右取对数得即.令,对照上式得解得. 由于, ,故得数列是各项为0的常数数列,数列是首项为,公比为的等比数列.故得, ,解上述有关的方程得.故数列的通项公式为.评注 求由形如确定的数列的通项公式,考虑到左右两边次数的不统一,可以先左右两边取对数达到次数的统一,从而转化为求由确定的数列的通项公式.6.利用三角函数构造新数列求数列的通项公式例8已知数列满足,求数列的通项公式解 设则.故,又,则.故数列的通项公式为.评注 利用三角函数构造数列的递推关系,需要结合已知的递推关系的特点,对比三角公式进行知识的联想