矩阵的特征值与特征向量的简易求法

1、 福建信息技术教育Fujian Education of Infor mation Technology矩阵的特征值与特征向量的简易求法黄金伟(福建信息职业技术学院, 3摘要:变换方法。关键词:。:A1引言-A |=0的全部根一般教科书介绍的求矩阵的特征值的方法是求特征方程f A ( =|1, 2, , r(互异 , 而求相应的特征向量的方法则是对每个i 求齐次线性方程组(i I -A X =0的基础解系, 两者的计算是分离的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 计算量都较大。本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法, 只用一种运算矩阵运算, 其中的列行互逆变换法是一种可同

2、步求出特征值与特征向量的方法, 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法, 在求出特征值的同时, 已经进行了大部分求相应特征向量的运算, 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少, 且运算规范, 不易出错。2列行互逆变换法定义1把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:1. 互换i 、j 两列(c i c j , 同时互换j 、i 两行(r j r i ; 2. 第i 列乘以非零数k (kc i , 同时第i 行乘r i ; k k3. 第i 列k 倍加到第j 列(c i +kc i , 同时第j 行-k 倍加到第i 行(r i -kr i 。定理1复数域C 上任一n 阶

3、矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵r J =diagJk 1(1 , J k 2(2 , , J k r (101010000001100相似, 其中J k i 001k i称为Jordan 块, k 1+k 2+K r =n 并且这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定, J 称为A 的Jordan 标准形。定理2A 为任意n 阶方阵, 若I系列列行互逆变换JP其中r 是Jordan 标准形矩阵, P =(P 1 (P r , J =diagJk 1(1 , J k 2(2 , , J k r (3收稿日期:2006年6月33 福建信息技术教育

4、Fujian Education of Infor mation Technologyik i T (i =1, , r , k 1+k 2+k r =n 。则i 为A 的特征值, =ik i 为A 的对应特征值i P i =(il 的特征向量。T证:由定理1可知, 任一矩阵必相似于一约当阵, 按定理2中化简方法, 有矩阵A 的转置矩阵A 相似T T T T于一约当矩阵J, 即存在可逆矩阵P, 使P A (P =J, 故AP =PJl r 1r , 其中P =(ll 100000011100100001000000J k i 00k i 1k iT110J K 1Tk il r 1r =(11

5、1r 1r 所以A (J K Ti =故有A i i (i =1, , r 所以i 为A 的特征值, i =ik i 为A 的对应特征值i 的特征向量。2-11-的特征值与特征向量。31-3001020-1110-4001c 3-c 22r 2+r 323c 1-c 3r 3+r 11例1求A =03212-103A 21解:=100021010-11011010-121010-1-13001 0020-1111-40010041/2-11/22c 3r 23c 2-c 1r 1+r 22( (21010-1020-1110041-1(所以特征值1=2=2, 3=4, 对应特征值1=2=2的特

6、征向量-11=1, 对应-。3=4的特征向量3=11注:解答过程中(1 处的k =-1是由方程2+3k +(2+k (-k 确定的, (2 处的k =-1是由方程k=-1+k +(3+k (-k =0确定的, (3 处的k =-是由方程-1k +2k +4(-k =0确定的。23. 列初等变换法定理3设A 是n 阶方阵, I 为n 阶单位阵, 为待求特征值。若对矩阵I -A 施行一系列列初等变34 福建信息技术教育Fujian Education of Infor mation Technology换, 可得到下三角矩阵M ( , 则令M ( 的主对角线上元素乘积为零, 求得值即为矩阵A 的特

7、征值。-a 11-a 12-a 1nI -A =证明:设-a 21-a 22-a n2-a 2n-a n1-a 考察I -A 的第一行元素:若a 1i 不全为零(i =2, , n , , b 1b 1( 0; 若a 1i = 0(i =2, , n , 则I -A 再对 ,3c 1(化为b 2( 0c 2(0b 2(3, 再对行类, 直至I -A 化为三角矩阵M ( =b 1( b n -1(0030b 1(, 由以上运算可知, I -A 与M ( 等价, 则I -A 与M ( 有相同的初等因子, 定理得证。由定理3求出i (i =2, , n , 将每个特征值i 代入M ( 得M (1 ,

8、 再由定理4求出相应的特征向量。定理4对矩阵I -A 施行一系列列初等变换, 化为列阶梯形, 同时对单位阵也施行相应的列初等变换, 即存在n 阶可逆阵Q n, n , 使I -C n, r 0n, n -rQ n, n =Q n, r Q n, n -I其中R (I -A =r, C n, r 为满秩矩阵, Q n, n =(Q n, r Q n, n -r , 则分块矩阵Q n, n -r 的n -r 个n 维列向量即为矩阵A 的特征值1对应的特征向量。证明:对矩阵(I -A , 经过有限次初等变换化为标准形, 即存在n 阶可逆阵P n, n 及Q n, n , 使P n, n (I -A

9、Q n, n =I r, r 0n -r, r0r, n -0n -r, 于是(I -A Q n, n =P n, nn, rn, n -r-1I r, r 0n -r, r0r, n -0n -r, 根据分块矩阵的运算r, n -r, n -(I -A Q n, n Q n, n -r =P PI r, r 0n -r, r0r, n -0n -rrr, n -(I -A Q n, r (I -A Q n, n -r =C n, r 0n, n -(I -A Q n, n -r =0(I -A Q n, n -r =I Q n, n -r故Q n, n -r 的n -r 个n 维列向量即为矩

10、阵A 的特征值i 对应的特征向量, 又因为Q n, n 可逆, 知这些特征向量线性无关。证毕。由定理3、定理4可知计算特征值与特征向量的步骤:I -C (一系列初等变化(1 计算, 其中C ( 为含的下三角矩阵, Q ( 为I 经过初等列变换得I Q (到的矩阵;35 福建信息技术教育Fujian Education of Infor mation Technology(2 令C ( 主对角线元素之积为零, 求出根即为特征值i (i =1, 2, , n ;C (i C (3 将求出的i (i =1, 2, , n 代入Q (中为Q (i , 再进行列初等变换, 当C ( 化为列阶梯形, 当非

11、零列向量个数为r 时, Q ( 中后的n -r 个列向量即为i 对应的特征向量。例2重做例1-2-1-1-3301I -2-1-2c 解:I=0-11c 2+c 1c 3+(-2 c 100010001-11010010000(-4 (-2=00011-1Q (C (1-2-2c 3-c 12-3-4+-5-2-3-400101110-3-2112123令C ( 主对角线元素之积为零, 即-(-4 (-2 =0, 特征值=2, =4。-11C (112当=2时,00-20110001-1-; -1=001Q (1=2对应的特征向量为1=R (C (1 =2, 于是=-11C (31=Q (30

12、01312020011000, 1-11-。1当=4时,3R (C (3 =2, 于是=4对应的特征向量为2=36 福建信息技术教育Fujian Education of Infor mation Technology【校园信息】我院隆重举行党建I S O9001质量管理体系认证颁证仪式2006年12月28日上午, 学院党委在综合楼合班(三 质量管理体系认证颁证仪式”。省委教育工委副书记刘剑津, 心主任、研究员成潮, 、, 中共中央党校党建部博士后、研究员权伟太, 、省教育厅直属机关党委专职副书记陈晃, , , 省委教育工委、省教育厅, , 院党委书记苏文锦同志, 院党委副书记、院长林东, 、

13、纪委书记陈武, 副院长杨忠祥、张家福、张华, 学院离退休老领导蔡金开、刘祺钟、侯秀钦, 以及学院全体党员和机关工作人员300人参加了会议。颁证仪式由学院党委副书记陈建忠主持。颁证仪式在庄严的国际歌声中开始。北京世标认证中心代表、高级审核员郑永辉作了简要发言后, 代表北京世标认证中心, 向学院党委书记苏文锦颁发了党建I S O9001质量管理体系认证证书, 并与苏文锦书记热烈握手表示祝贺。接着, 学院党委书记苏文锦作了重要讲话。苏文锦书记在讲话中说明了学院党建工作质量管理引入I S O9001管理体系的背景、目的、意义和作用, 介绍了学院贯标工作的主要过程, 总结了学院党建质量管理取得的初步成效

14、, 要求学院全体党员要以通过党建工作I S O9001质量管理体系认证为新起点, 不断推进学院党的先进性建设, 争创高校党建工作先进单位, 尽快把学院建设成为省内一流、全国知名、特色鲜明、人民满意的示范性高职学院。省委教育工委副书记刘剑津在会上代表省委教育工委、省教育厅党组向我院党委和全体党员同志致以热烈的祝贺, 向对学院党建质量管理工作给予有力的理论研究支撑和业务咨询指导的中共中央党校党建部、北京质量环境安全管理标准技术中心的专家表示衷心的感谢。刘剑津副书记对我院党建质量管理工作取得的成效给予充分的肯定, 并对我院今后扎实推进党建工作质量管理提出了希望和要求, 给我院党建质量管理工作指明了努力的方向。会上, 中国认证认可协会理事、北京质量环境安全管理标准技术中心主任、研究员成潮同志与中共