有关定义域和值域的逆向问题精

1、第3页(共4页)定义域和值域的逆向问题定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。一、已知定义域求值域o + bx例1求定义域在-1,1上的函数y = 0 b-(a b 0)的值域。a bx2a解：函数式变形为 y - -1，显然yz-1a bx由原函数表达式可得 -=a(y 1)。b(y+1)又-1 EX叮，得-仁a(y 一1)乞1 ,b(y+1)解得a -ba b即此函数的值域为 色辿,匚卫。ILa b a -b注：此法是把函数式视为关于-的方程，解出x,再运用已知的定义域，解关于y的不等式求得值域。二、已知值域求定义

2、域2x -1例2已知函数y的值域是y | y咗0或y _ 3，求此函数的定义域。x T2x T1解：由 0，解得丄 x 1 ox -122x -1由3，解得1 ： x乞2 ox -1此函数的定义域为* x 11兰x兰2且xH1? o注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。三、已知定义域求解参数问题例3已知函数f(x) = J(a2 1)x2+(a1)x+的定义域为R,求实数a的取a +1值范围。2 2 2 解：由题意知R时，(a - 1)x (a-1)x0恒成立。a +1(1)当a2 -1 =0且a 1 = 0时，

3、有a=1，此时f(x)=1，显然对x R时，2 2 2(a2 -1)x2 (a -1)x0恒成立。a +1”a2 -1 a0(2 )当a21式0时，有<222 解不等式组得A =(a_1)2 _4(a2 _1)<0l.a+11 ： a 乞 9。综上知，当R时，使得f (x)有意义的a的取值范围是1, 9。注：此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。四、已知值域求解参数问题2x2 + ax + b例4 已知函数y =2的值域为1, 3，求a、b的值。x +1解：由题意知R，把原函数变形为(y-2)x2 - ax y-b =0当y -2 =0时，满

4、足题意当 y-2=0 时，因 xR ,所以尺=a2 -4(y-2)(y-b) _ 0 ,即224y -4(b，2)y，8b-a -0 。因 1_y_3 ,所以 1 和 3 是方程224y4(b 2) y ' 8b - a0的两个实根，由韦达定理解得 a - 2, b = 2。注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。五、已知定义域和值域求解参数问题例 5 已知二次函数 f (x) = ax2 bx c( 0)满足条件 f (x 5) = f (x3), f(2)=0,且方程f(x)二x有两个相等实根。问是否

5、存在实数 m、n(m ： n)，使得f (x) 的定义域为m, n时，值域为3m, 3n。如果存在，求出 m、n的值；如果不存在， 请说明理由。解：因f(-X 5) = f (x -3)，所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x-y，可得舟J由 f (2) =0,得 4a 2b c =0因方程f(x)二x有两个相等实根，即.'：=(b d) '4ac = 0ax2 (b - 1)x c = 0有相等实根，所以1将代入，得c = 0。由知，b=l，所以a = -丄。21 2 1 2 1 1 则 f (x) x x (X - 1)2 2 2 21 1所以3n _ ，即n _ 。6f

6、(x)在m, n上单调递增，假设存在满足条件的m、n,则' 1 2f (m) = 一 m + m = 3m1 2f (n) n n = 3nI 2解得丿m= 0或- 4n =减 _4第4页(共4页)1又m ： n，贝U m=-4 , n=0,即存在 m=-4 , n=0满足条件。6注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。1.求下列函数的值域:522x2 -4x 32x 1: y: y =x 2、1 -x 2。3x 22.求函数y - x - x(x 一 0)的最大值。答案:1. y(0,5(提示：5UM 1，而 2(x)2，1所以02(x -1)2 1<1，可得0：2(x 一1)21第4页（共4页）另外，原函数变形为 2yx2 4yx亠3y5 = 0 ,因x三R ,所以：=（_4y）2 -4 2y（3y -5）亠 0 ,2即 y -5y 岂 0,0 < y < 5且 y = 0)2 77（提示:7 ，而 70，所以3 3(3x-2)3(3x-2) y(一匚*,4(提示：因 y -1 - x -1)2 4，所以 y 三(-：,4。另外，令 t = J -x(t _0)，则 x =1