试验设计与建模课后习题答案解析

1、15习题第一章1.1孟德尔豌豆试验孟德尔做过这样一个实验：把一种开紫花的豌豆种和一种开白花的豌豆种结合在 一起，第一次结出来的豌豆开紫花，第二次紫白相间，第三次全白。对此孟德尔没有充 分的理由作出解释。后来，孟德尔从豌豆杂交实验结果，得出了相对性状中存在着显性 和隐性的原理。虽然还有不少例外，但它仍然是一个原理。孟德尔根据自己在实验中发 现的原理，进一步做了推想。他认为决定豌豆花色的物质一定是存在于细胞里的颗粒性 的遗传单位，也就是具有稳定性的遗传因子。他设想在身体细胞里，遗传因子是成双存 在的；在生殖细胞里，遗传因子是成单存在的。 例如，豌豆的花粉是一种雄性生殖细胞, 遗传因子是成单存在的。

2、在豌豆的根、茎、叶等身体细胞里，遗传因子是成双存在的。 这就是说，孟德尔认为可以观察到的花的颜色是由有关的遗传因子决定的。如果用D代表红花的遗传因子，它是显性；用d代表白花的遗传因子，它是隐性。这样，豌豆花色的杂交实验，就可以这样解释：红花x白花（纯种） DD dd （身体细胞，遗传因子成双存在）J J （杂交）D d （生殖细胞，遗传因子成单存在）/Dd （杂交）自交DdDD Dd dD dd红花因为杂种的遗传基础物质是由D和d组成的，因此，它的后代（子 2）就可能出现白花（dd ） 了。这就是说，隐性的遗传因子在从亲代到后代的传递中，它可以不表现。但是它是稳 定的，并没有消失。遗传单位，叫

3、做基因。研究基因的科学就是遗传学。基因学说就是现代遗传学的中 心理论。很清楚，基因概念是孟德尔在推想中提出来的，虽然当时他并没有提出基因这个科学名词。孟德尔认为遗传单位（基因）具有高度的稳定性。一个显性基因和它相对的隐性基 因在一起的时候，彼此都具有稳定性，不会改变性质。例如，豌豆的红花基因R和白花基因r在一起，彼此不会因为相对基因在一起而发生变化，在一代一代的传递中，D和d都能长期保持自己的颜色特征。 孟德尔的结论正好跟长期流传的融合遗传理论相对立。融合遗传理论是怎么回事儿呢？它的基本论点是：遗传因子或遗传物质相遇的时 候，彼此会相互混合，相互融化，而成为中间类型的东西。根据融合理论来推理，

4、甲和 乙杂交，就会产生出混血儿，甲的遗传因子和乙的遗传因子， 都变成了中间类型的东西。 好比两种液体混合在一起似的， 亲代的遗传因子都因为融合而消失了。根据融合理论来推理，豌豆的红花遗传因子 D跟白花遗传因子d在一起的时候也就会融合成为新的东 西，D和d都不再存在了。显然，融合理论是错误的，因为它没有科学事实的支持。它 只是一种推测和猜想，不能解释所有的表现不同的遗传现象。然而中间类型是有的。这 是相对的基因相互作用而产生的性状，基因本身并没有改变。例如，红花的紫茉莉和白 花的紫茉莉杂交，子一代的花是粉红色的。可是子二代，这些粉红色茉莉的后代，却有 三种不同的性状：粉红花、红花和白花。从这里也

5、可以看到，现象和本质虽然有着密切的关系，但是它们之间是有区别的， 不能简单地把现象和本质等同起来。豌豆是自花传粉植物，而且还是闭花受粉，也是豌 豆花在未开放时，就已经完成了受粉，避免了外来花粉的干扰。所以豌豆在自然状态下 一般都是纯种，用豌豆做人工杂交实验，结果既可靠，又容易分析。1.2比较植物在不同生长条件下生长速度1、 试验的目标植物的生长速度的快慢2、 因素及其试验范围不同的生长条件为因素，如，阳光、水分、空气、土壤3、响应结果为试验的生长速度4、试验误差 女口，温度的细小误差，土壤中微量元素的干扰，空气湿度5、区组 设立多的区组，可以使试验更加精确6、随机化随机化试验顺序7、 重复重复

6、多次试验，减小误差8、 统计模型建立统计模型，估计实验结果9、 追加试验追加试验，减小误差10、试验的组织和管理1.6为研究纸张的抗张强度与纸浆中硬木的比例的相关性，现根据十次试验得到如下数据:抗张 强度160172176182184183188193195200硬木 比例10151520202025252830(a) 用一阶线性模型拟合x与y的数据;(b) 检验(a)中线性模型的显著性；(c) 画出残点图。解:(a)20.8Y 二 183 .31Xi yi ?0Xi? =387854684=8.28?0 =11.07得一阶线性模型为:y=8.28x+11.07r2 二 ssr=0.964SS

7、TF=214.961f(1_：)(1,8)=f(0.95)(1,8)=11.26由于11.26V214.961拒绝原假设 产生显著性影响（C）1.7 加权最小二乘误差平方和 Q='，i（yi- -也）2?'X.）宀y.,）皿一乂）2即可得出为如题方程组的解1.8数据如下:yX1X2261125111751.541601.541641.54550.53621.521020.532611.5320.51.57012.5720.52.5（a）计算其ANOVA表，并判断模型的显著性，显著性水平:=0.01解：（a）甲方稻df均方FSig.1回归技差rt inf- 133Q52.6G32

8、179.56335232.2502 g 1116526.344242.17468.242.000La.因娈: Yh预測变量:（常量X血 x1PvO.01检验显著1.9 （a）考虑中心化线性模型，写出矩阵形式的y, B, G;（b）计算其ANOVA表。解:"y1 "pv-5(X1) g2(xj g3(x1)1(a) y =a b a,B =p2,G =lyn Jl卩3丿$1(X8) g2(x8) g3(x0一(b)Anwaa平方和df均方FSig.1回伯总计1357.50Q30.0001397.5003斗7452,5007.50060.333.001h.因爰釁:yb預測|&#

9、187;磐星）玄口刘，P<0.01 检验显著第一章试验设计与建模习题1.5、基于线性回归模型（1.14 ）,令随机误差£Nn （0, （T 2）令预测误差r=y- y ,其中y是预测值。证明：AA(a) E(r)=O且r和y的协方差矩阵为零矩阵，即r和y相互独 立；(b) rNn (0,(T 2(I-H),其中I为nXn的单位矩阵，(b) H=G(gG')G.解：(a) E(r)=E( y- y )=E( Gp + e - G )A=Gp +E( e )- GE(:)A=Gp - Gp +0 (:是p的无偏估计)= 0AAr = y-y =y _G ： = y _G(G

10、G)G'y = (I _ H )y H =：G(G'G1GA所以 Cov(r, y) =Cov(l -H )y, Hy)-(I -H)'Cov(y,y)H= ；2(l _H)'H =t2(H _H) =；20A故r和y相互独立AA(b) 因e、A服从正态分布，而r是e和A的线性组合，故而r也服从正态分布，由(1)知，E (r) =0AAVar( r)=Var( y- y )=Var( y-G )二Var(y-G(GG')Gy)=(I-G(GG')，GVar(y)=(I-H) & 2(H=G(gG')_G所以，r Nn (0, &a

11、mp; 2( I - H)(讦)(n)1.10、设A= 为n阶方阵，X= 为nXn的矩阵，向量(Xi,Xn)'x=，证明y 二 x'Axy = (A A)x(a) 设，则：xy =tr(XAX)(b) 设，其中tr (B)表示方阵B的迹，即矩阵B型= (A+A')X的对角兀素之和，则次。解：、J Piai2.al nxia21a22.a2nX21y =X AXy = (*,X2,.,Xn ). . . .'.(a)由知， 厲1an2.ann丿<Xn丿r nnn、y =二 aiiXm，为 ai2X2 ,.，L ain xi2i =1日 丿X2aiiXjnx

12、7i mnX2'榔i =1n.ainXii 3所以dN +21 +62)X2 +. + (am +dn)Xn ”心21 +%)Xi +2a22X2 +十(an2 +a2n)XnJani +ain)Xi +(a“2 +a2n)X2 + . .2annXnaiia21ai2a22aina2nXiX2aiiai2a2ia22anian2XiX2an2aina2nannAx Ax = (A A)x,得证(b)易知y 二tr(X AX) =XiiV Xiiaii - X2 Xiai2Xn,=!=!=!xiiainnnn'Xi2 Xi2aii X22 Xi2ai2 Xn2 Xi2aini

13、=ii TidnnnXi,Xin aii X2Xinai2 XnnV'i dXn aini =1i =1-y =则：Xn二.Xii(aii aii) i AnXi i ( ai 2i =!a2i)nXi2 (aiii =inXi2 (ai2i =1+ai)a2i)n xin (aii iTnXin (ai2iTnJxii (ain + ani )<i壬n' Xi2(agi dani)nxin (aini T+ aii)7)+ ani)第二章习题2.1、为了提高合成纤维的抗拉强度，根据以前的经验，工程师知道 在合成纤维中棉花所占的比例可能会影响到抗拉强度，而且棉花所占比例的

14、范围应该在10%到40%之间，为此，他选定棉花所占比例的五 个水平：15%, 20%, 25%, 30%, 35%，并在每个水平下试验四个样品，其数据如表所示棉花比例%152025303571214208抗拉强度15181925101117182414913192211（a） 考虑线性可加模型分解（2.1），并按该模型分解表2.23中数据, 同时估计其主效应及误差方差的大小；（b）计算ANOVE表，并分析在合成纤维中棉花所占比例是否对抗拉 强度有影响（:=005）解：（a）水平个数k=5，n=4，总均值y=15.3,平均强度分别为 10.5、15、17.5、22.75、10.75分解数据如下：

15、7=10.5-3.5=15.3-4.8-3.5得以下表格:15%7=10.5-3.515=10.5+4.511=10.5+0.59=10.5-1.510.5=15.3-4.820%12=15-318=15+317=15+213=15-215=15.3-0.325%14=17.5-3.519=17.5+1.518=17.5+0.519=17.5+1.517.5=15.3+2.230%20=22.75+2.725=22.75+2.224=22.7522=22.75+0.722.75=15.3+7.5554535%8=10.75-1.2510=10.75-0.714=10.75+3.211=10.7

16、5+0.210.75=15.3-4.55555所以,y=G? =y. =15.3:i=-4.8、-0.3、2.2、7.45、-4.55(b)AnovaJ車方和df均方FSig,1回归总计.17919.82120.00011415.1791.416.126,727ha因:？l： ab.预測变量:(#S). y *由上表格可知，0.727>0.05即无显著性影响，得结论在合成纤维中棉 花所占比例对抗拉强度有没有影响。2.3对于上表中的数据，应用Bonferroni法和Tukey法进行多重比较,并给出相应的结论。解：用spss得出单因素方差和多重比较结果如下表格:平方和df均方F显酉性爼间13

17、9.198346.3965.755.01196.750120,063总歡235.93815例包比较(1)林比舸JJ)旳机均值-(M瞇谋显署性55%即环卜限上限Tuk&yHSD115%20%-4.500002.00780J67-10.46101 461025%-7.00000*2.00780.020-12.9610-1.039030%-250002.00780.999-6.21105.711020%15%4.500002.00790.167-1,461010.461025%-2,500002.00780.612-8.46103.461030%4.250002.00790J03-17110

18、1Q.211025%15%7.00000f2.00790.0201,039012.961020%2.500002.00790.612-3.46103.461030%675000*2.00700.025.789012.711030%15%,250002.00730,999-5.71106.211020%-4.250002.00790.203*10 21101 711025%-675000*2.00790.025*12 7110-7890Bonferroni115%20%-4.50Q002.00700.263*10 82991 829925%-7.000002.00780.02713.3293-670130%-.250002.007801.ODD-6.57995079920%15%4.500002.00780.268*1.829910 829925%-2.500002.007801.000*8.82993829930%4.250002.00780.335-2.D79910 579925%15%7.00000'2.00780.027.6701113 329920%2.500002.007801.OD0*3.82998.8299