相似三角形的判定

1、相似三角形的判定内容基本要求略高要求较高要求 I相似了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判斯四条 线段是否成比例，会利用线段的 比例关系求未知线段；了解黄金 分割：知道相似多边形及其性质； 认识现实生活中物体的相似；了 解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关 问题：会用相似多边形的性质解 决简单的问題；能利用位似变换 将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的槪念会利用相似三角形的性质与判 定进行简单的推理和计算；会利 用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质：认识 现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简 单问题1. 相似定义，性质，判定，应

2、用和位似2. 相似的判定和证明3. 相似比的转化相似三角形的由来两千六百多年前.埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际鬲度.于是.命令祭司们 去丈量.可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问題面前，祭司们个个東手无疑.既然，人是不可 能爬到那么离大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？ 一时，金字塔的鬲度成 了一个难题.国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答.有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难題.他想了好几个解题的方案，但都行 不通失败并没使他灰心.法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上.于 是，他转了个圈，

3、又走下去.太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里.这时，他究然看 到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温 暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子， 而中午每个物体的影子都很短那么，是不是有一个吋刻，物体的影子就等于物体的高度怩？他自言自语是来.想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察.测量超來.经过几天的观察、测量， 法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于扬体的鬲度.于是，他去测量好金字塔底边 的长度，并把数据记下来然后，他毫不犹穩地揭下了悬挂的招

4、字.国王得到“有人揭下招字”的报告后， 高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行 测塔仪式测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一是来到金字塔旁.看热闹的人黑压压一片，喧 闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注 视着自己的影子.看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黒的影子.当法 涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影 CD的长.接着，法涅斯十分准确地算出了金字塔的离度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告訴大家

5、.场 上，发出一阵热烈的观呼声.当然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高.在法捏斯以祈，还沒有 人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现.利用这个原理.在那个时代.这是一个伟大的创举！在这个基础上法涅斯进一步研究，得出一个法則：在任意两個对应角相等的三角形中.对应边的比 率也相等.从而，找到了在任何季节里.在任何时候都能测塔高的方法.模块一相似三角形的判定对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.RC AC如图，在ABC 与中，ZA = Z4ZB = ZBZC = ZC,-一 = 一 =-一 ,则ABC 与 A8 BC AC4EC'相似,记作/ABC s/vVBC ,符号s读作“相

6、似于”.4相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形的相似比是1. “全等三角形”一定是“相似形“相 似形”不一定是“全等形”.【例1】 如图，已知四边形ABCD是平行四边形.求证： 3EFs3BA.B【难度】1星【解析】解法一：由DC初得出对应角相等，对应边成比例凹=型=乞，再根据相似三角形的定 MB MA AB义得出答案.解法二：根据三角形的对应边成比例，且夹角相等，可以证明两三角形相似.解法三：根据三角形的两组对应角相等，三角形相似，可以证明三角形相似.本题根据第一种解法给出证明.【答案】 DC/ABEF EM FM:.AFEM=ZMBA.ZEFM = AMAB 9 AB MB MA又有

7、对顶角ZEMF = ZBMA:.ZWEF s3BA平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似. 常见题模型如下：AB方法点播：祈两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一 般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍.分关系，以及角平分线等.【例2】 如图，DE/BC ,且DB = AE，若AB = 5,AC = 10,求AE的长.【难度】3星【解析】DE/BC>AADE/ABC.AD _AE AD _AE丽一册V AB = 5, AC = 10. BD = AE.AD_AB_1 AD _ DB

8、 _ AE _ AE AE = AC = 2, AE = ET = AC-AE = 10-AE AE _io /E 10-AE23【答案】罟【巩固】在ZVIBC中，BD = CE、的延长线交3C的延长线于P,求证：AD BP = AE CP11【难度】3星【解析】略 【答案】过C作CM 初交DP于M.:CM /AB9 ZCM s&bD , CM _ PC而一莎:CM /AB9 ACEW s AAED , CM _ AD吊=忑' BD = CE 9 CM _ CM"EF 一而 PC _AD = 7e JA AD BP = AE CP【拓展】如图所示，在RtAABC中.Z

9、B = 90 , BC = 4cnvAB = m9 D、E、F分别为AB、AC. BC边 的中点，点P为AB边上一点，过点P作PQ/BC交AC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN , 若AP = 3cm9求正方形P0MN与矩形33F的公共部分的面积.P D NB【难度】3星【解析】/ PQ / BC:.HAPQsHABC AP PQ =AB BC又 I BC = 4.AP = 3.AB = 8 PQ = Mn£ 同理 EF = BD=4231I D = -l = l2 211 Q正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积=lx- = i-.3【答案】-4歹亘题爱应显啮例0 SS如图

10、，在ABC与中，若AB _ BC _ ACA = WC = AC方法点播：利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题.会直接给出三边的长度数或者 根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以.解答题中需要由其他的相似 导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要去掉某 种情况.【例3】 如图所示，如果D,E,F分别在OA.OB.OCk,且DF AC、EF / BC求证：ABCsZEF0【难度】1星【解析】由两组平行线得到ZVIBC与DEF的三条边对应成比例即坐=,题目得证. AB AC BC【答案】T DF/AC.OD _DF _ OF

11、oa "7c"ocV EF / BC.OE _EF OFOB=BC = OC.OD _OE DE OA OB AB DE _DF EF= AC = BC【巩固】如图，已知O是ZVIBC内一点，D、E、F分另是Q4、OB、OC的中点.求证：AABC>ADEF .【难度】1星【解析】考察相似三角形的判定定理：三边对应成比例，两三角形相似. 【答案、： EF BC ,点、E、F分别为线段03和线段OC的中点.OE EF瓦屁飞同理：c)k =DE OD _DF OBAB 2 OA AC 2所以有EF =BCDE _ DF _ 1AB AC 2 AABCsADEF甸遞S303如

12、图，在 ZVIBC 与AEU 中，若 ZA = ZA； ZB = ZB 则有ABCsyFC.方法点播：在解三角形相似问题时.遇到以上第一图和第三图的“A”字形图形时，就马上想到有一个公 共角，遇到第二图的“8”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到 有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角.【例4】 如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC,过C作CE/AB 9 P为梯形ABCQ内一点，连接3P并 延长交CD于F,交CE于E,再连接PC.若BP = PC.求证：/PFCsHPCE【难度】2星【解析】略【答V在等腰梯形ABCD中，BP = PC Z1 = Z2又T AD/BC

13、.Z1 = ZEZ2 = ZE, ZCPF = ZEPC APFC s APCE【巩固】如图，在矩形ABCD中，AB = .眈=2将其折叠使初落在对角线AC上，得到折痕AE,那 么处的长度为（）n【难度】2星CF FF【解析】解法一：根据两角对应相等，证明ACEF /CAB ,得到对应边成比例匕_ =上 BC ABBE = EF =旦 AB = Z“g.BC22解法二：由勾股定理求得.ilBE = x9根据AB = 1, BC = 2, BE = EF = x得知CF = yf5-, CE = 2-x,根据勾股定理可列：（2 x）'=x2+（Gl，解得：BE = x = . 本題给出解

14、法一的标准答案.【答案】BE = 土12V ZC = ZC, ZAFE = ZABE = 90Q:.ACEFACAB .EF CEAB ACCEAC【例5】 如图所示，AB/CD, AD.BC交于点仕F为3C上一点且ZE4F = ZC求证：(1) ZE4? =Z£?： (2) AF2=FE FB 【难度】1星【解析】(1)根据AB/CD得到内错角相等ZB = ZC,又已知ZE4F = ZC,所以等量代换么£4尸=厶.(2)根据结论和三点定形法，可推AAFEs/bfA借助第一问的结论，再结合公共角 A 17 FRZAFE = ABFA,可证明假设，同吋得到=，问題得证.FE

15、AF【答案】(1) V AB/CD:.ZB = ZC又 ZE4F = ZC/. ZEAF = ZB(2) 9： ZEAF = ZB, ZAFE = ZBFA:.ZAFEABFA:兰=巴,即 AF2=FE FBFE AF【巩固】如图，中，Z4BC = 60°,点P是zMBC内一点，使得ZAPB = ZBPC = ZCPA,E4 = 8,PC = 6，贝UPB=【难度】4星【解析】ZAPB = ZBPC = 2F，ZBAP = g-ZABP = ZABC-ZABP = g-ZABP = ZCBP，故ABPs&CP，PB，=PA PC, PB = JPA PC =屈4®【

16、答案】4羽b厨遁回团陀逊回实甸闵窮。豆剧潍）何如图，在8BC与中，若鈴=籌且/则有WCsAAg.方法点播：利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等的两个角同吋加上同样大小的角和相等来解题.【例6】 已知，如图，D为ZVIBC内一点连结ED.AD以3C为边在ABC外作/CBE = ZABD,ZBCE = ZBAD 求证：/BEAABC.【难度】2星AR RD【解析】由 ZCBE = ZABD2BCE = ABAD,得到 AABDsgBE,得至»!= 知 ZABD = /CBE,即 BC BER R二一=和ZABC = ZDBE,根据两边对应成比

17、例且夹角相等，证明DBEsMBCBD BE【答案】/ ZCBE = ZABD.ZBCE = ZBAD AABDACBE.兰=型，ZABD = ZCBEBC BEI 兰二竺 ZABC = ZDBEBD BE:.5DBEs/ABC【巩固】在ZkABC和D£F中，AB = 2DE, AC = 2DF. ZA = ZD,如果ABC的周长是16 ,面积是12,那么的周长、而积依次为（）【难度】2星【解析】根据已知可证ABCS&EF,且ABC和DEF的相似比为2,再根据相似三角形周长的比 等于相似比.面积的比等于相似比的平方即可求 &矿的周长、面积.【答案】在ABC和ZiDEF

18、中，AB = 2DE, AC = 2DF zDE DF5L V Z4 = ZD ABCs&EF ,且ABC和£）/的相似比为2V AABC的周长是16,面积是12/. /XDEF的周长为8,面积为3【拓展】如图，在ZVIBC中"£丄BC,垂足为D,且CE丄BE,垂足为E,交34的延长线于点E求证：/BDEs&AC 【难度】2星【解析】由两个对应角相等证明出ABDsACBE,得出兰=型所以有兰=匹,再由一个公共角BC BEBD BEZABC = /DBE ,由三角形相似的判定定理可证/BDEsgAC【答案】略1. 如图，CD是RtZXABC斜边上的中

19、线，过点D作垂线直于的宜线交BC于点F,交AC的延长线于 点 E,求证：DCFs&ec.1ADB【难度】2星【解析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知BDC为等腰三角形，又由RiZABC和 Rt/AED有一个公共角可知，ZE = ZZ?,由此可证DCFs&ec.【答案】: DE丄丄AE在 Rt'ADE 和心ACB 中，ZE = ZZ?又J CD是RfMBC斜边上的中线 DC = BD:.ZB = ABCD:.ABCD=ZE9 ZCDF=ZEDC ZXDCF s ADEC2. 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求ZEBF + ZEBG.【难度】3星【解析

20、】连接 QF、CG ,贝 ZEDF = ZEBF + ZDFB = 45。,若 ZDFB = ZEBG,则 ZEBF + ZEBG 可求,问題的关诞是证明【答案】45°AF EF3如图，已知AABC中，AE:EB = :3. BC:CD = 2:1, AQ与CE相交于F,则 + 的值为（）FC FDB1D2【难度】4星【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用 梅氏定理来解题.【答案】CAP.(1) 求AC. 的长；(2) 设PC的长为ZVIDP的而积为y当x为何值时，y最大，并求出最大值.【难度】3星【解析】(1)在R仏ABC中，AB = 2*

21、&nB = 得竺=逻 5 AB 5A AC = 29根据勾股定理得：BC = 4：PC BC 2(2) V PD/AB, :/ABCsgpc , .2£ = 11£ = 1HPC = x9 则 DC = -x.AD = 2-x2 2:当x = 2 0寸，y的最大值是1【答案】AC = 2f BC = 4: x = 2B寸，y的最大值是111. 通过本堂课你学会了.2. 掌握的不太好的部分3. 老师点评：1. 已知AABC的三条边长分别为2、5、6, DEF的三条边长分别为20、8、24,这两个三角形是否 相似？为什么？【难度】I星【解析】略【答案】相似，三边对应成比

22、例，即2X = 5：20 = 6：242如图，在宜角梯形ABCD中，AD = 1,AB = ZDC = 3, P为AD上一点，以P、A、B为顶点的三角形与 以只D、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有几个？为什么？【难度】2星【解析】解答此题，必须引导学生进行分类讨论，拓展思维.14911此时有一个点P, PA = 9 PD = 552. 心皿厶心此时有两个点戶，/>4 = 1, PD = 6亂PA = 6, PD = 【答案】3个3. 如图所示，在RfAABC中，ZA = 90°, AB = 6, AC = 8, D、£分别是边AB. AC的中点，点P从点 D出发沿虫方向运动，过点P作P0丄BC于Q,过点。作QR/