简单几何体空间垂直与与平行证明

1、简单几何体、空间垂直与与平行证明【考点聚焦】 考点1:柱、锥、台、球的体积与面积的计算；考点2 :三视图的关系与画法；斜二侧直观图；考点3 :简单几何体中的线面关系证明；考点4:正三、四、五棱柱、锥、台的特征量之间的关系。考点5 :空间元素点、线、面之间的垂直与平行关系的判断；考点6:空间线面垂直与平行关系的证明；简单几何体中的线面关系证明;【考点小测】1.(山东卷) 如图，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2,/ DAB=60° ,E为AB的中点，将 ADE与厶 BEC分别沿ED、EC向上折起，使 A、B重合于点P,贝U P DCE三棱锥的外接球的体积为4、.3二J6兀<

2、6(A)27(B) 2(C)解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为4.63. 6()，选 C482.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(A) 1 ： V3(B)1 : 3 (C)1 : 3y3(D)1 : 9解：设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为-a，它的外接球的半径为 a，故所求的比2 22为 1 : 33，选 C3 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于。【解析】正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为 2.6，底面边长为2'. 3，底面积为12,所以正r四棱锥的高为3,则侧面与底面所成的二面角的正切tan a= 3, 二面角等于一。

3、314.设地球半径为 R,在北纬60 °勺纬度圈上有 M, N两点，它们的纬度圈的弧线等于一: R，则这2两点间的球面距离是B. 、. 2 RC. 1 二 RD. - ： R235若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为(A)2，23主视图(B) 2 巨,2 k- 2危)4, 2左视图m / :, n / :且/ ：,贝y m/ n ；若6.关于直线 m, n与平面-,有以下四个命题：若m丨r , n丨且|，则m _ n ；若ml in / 且/ F；，则m _ n ；若m / ： , n .丨】且，则mn ；其中真命题的序号是A .B .C.【典型考例】

4、1例2.如图，在五面体ABCDEF中，点0是矩形1 棱 EF / BC .2(I)证明FO /平面CDE;D.ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形,(II)设 BC 二 3CD,证明 E0 _ 平面 CDF .CD中点M，连结OM。 中，CDE。D(I)证明：取在矩形ABCD110M / BC,又 EF/ BC,则 EF/OM .连结 EM，于是 22四边形EF0M为平行四边形。.F0 / EM.又；F0 平面CDE，且EM 平面CDE , F0 /平面(II)证明：连结FM。由(I)和已知条件，在等边CDE中，CM 二 DM ,EM "CD 且 EMCD 冷BC®

5、.因此平行四边形 EFOM为菱形，从而 E0 _ FM。："CD _0M ,CD _ EM , CD _ 平面 EOM，从而CD _ EO.而 FMICD =M ,所以 EO 平面 CDF .23.如图，正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱长都为(I)(n)(川)解答：2，D为CCi中点。求证：AB面AiBD ；求二面角 A AiD B的大小； 求点C到平面AiBD的距离；解法一：(I)取BC中点0，连结A0 .7连结BiO，在正方形BBCiC中，O, D分别为BC, CCi的中点,B1O 丄 BD, AB 丄 BD.在正方形 ABB, A中，AB1 _L A,B，二AB,丄平面A

6、BD .（n）设AB,与AB交于点G，在平面ABD中，作GF丄A D于F，连结AF，由（i）得AB丄平面ABD . . AF丄AD，-Z AFG为二面角A-AD-B的平面角.4/5在厶AAD中，由等面积法可求得 AF =一5i ag又；AG 才2 sin / AF-.24,5510（川） A,BD 中，BD=AD=/5, AB = 2/2, SA“bd在正三棱柱中， A到平面BCCiBi的距离为 3.设点C到平面ABD的距离为d .由Vai -BCD 二 Vc 亠 BD 得 3 S BCD J3 = 3 Sa ABD _d，33d _ 3SA BCD.詁2a bd2 abd点C到平面ABD的距

7、离为2.2解法二：（I）取BC中点O，连结AO . t ABC为正三角形， AO丄BC .在正三棱柱 ABC - AB,G中，平面ABC丄平面BCGB，AD丄平面BCGB,.取B,G中点O,，以O为原点，OB， OO,， OA的方向为x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0) , D(_1,1,0) , A(0,2,3) , A(0,0,. 3), 忌=(1,2, -3), £=(210),灵=(-1,2 , - , 3)'/ABiTABIjD - 一2 2 0 =0 , ABLBA1 - 一1 4一3 = 0,T T i T二 ABi 丄 BD, AB

8、i 丄 BA .AB1丄平面ABD .（n）设平面 A,AD的法向量为n = （x, y, z）.AAFBix+ zy二(0,).=0,=0,-x y2y =0,一去 0, y"，_,(X = -V3z令z=i得n = （ 叮3,1）为平面A|AD的一个法向量.由（I）知AB丄平面ABD , AB为平面ABD的法向量.cos< n,忌片耳込上晁n| ABi22/2,T*I厂（川）由（n） , AB 为平面 AiBD 法向量，* BC = （2,0,0）, AB = （i,2，3）BLJab；|-2 卫点C到平面ABD的距离d二2.2 234、右图是一个直三棱柱（以 AiBiCi

9、为底面）被一平面所截得到的几何体截面为 知 A ；B； = BiCi= I,/ AlBlCi = 90 °, AA l = 4, BB l = 2 CCl= 3。（I）设点O是AB的中点，证明：OC/平面AiBiCi；（II ）求二面角 B AC A；的大小；（川）求此几何体的体积；解法一：ABC .已(1 )证明：作 OD / AA 交 A1B1 于 D，连 C1D .则 OD / BB / CG.AD=(-i,-一3), AA 丄 AD , n 丄 aa| ,因为0是AB的中点，1所以 OD (AA BBJ =3=。,.2则ODC.C是平行四边形，因此有 OC / GD .GD

10、二平面 C1B1A1 且 OC 二平面 C1B1A,则 OC / 面 A1B1C1.(2)如图，过B作截面BA2C2 /面ABG，分别交AA , CG于A2, C2 .作 BH _ A>C2 于 H，连 CH .因为CG _面BA?C2，所以CG _ BH，则BH _平面AC .又因为 AB =：厉,BC 壬.2 , AC = 3二 AB2 二 BC2 AC2.所以BC _ AC，根据三垂线定理知 CH _ AC，所以/ BCH就是所求二面角的平面角.；2bh 1A因为 BH ，所以 sin Z BCH，故 Z BCH = 30 ,2BC 2即：所求二面角的大小为 30 .(3)因为BH

11、，所以 Vb _JAA,C2C二 3 Saa2c2c LBH閔+2)l普弓141Vaib1c1 abc2LbBi2 =12所求几何体体积为V -Vb 如2c2cVaib1c1 .2bc2解法(1)如图，以B为原点建立空间直角坐标系,则 A(0,4) , B(0,0,2) , C(1,0,3)，因为 O 是 AB 的中点，所以 O 0,丄,3 ,I 2丿11OC =|1,-一 ,0 .I 2丿TBi易知，n= (0,0,是平面ABQ的一个法向量.因为oaf =o,OC広平面A1 BQ，所以OC /平面AEG .y,z)是平面ABC的一个法向量，则(2) A=(0,1,2) , BC =(101)

12、,则 ABm=o,氐尺=0 得：y2z=0x + z = 0T取 x - -z =1, m 二(1,2, -1) 4显然，I =(1,10)为平面AA1C1C的一个法向量.所以二面角B - AC - A的大小是30 (3)同解法一.4、如图，四边形PCBM是直角梯形，/ PCB = 90°, PM / BC , PM = 1, BC = 2，又 AC = 1，/ ACB = 120 ° , AB 丄PC，直线AM与直线PC所成的角为60° .(I)求证：平面 PAC丄平面ABC ;(n)求二面角 M -AC -B的大小；(川)求三棱锥 P - MAC的体积；解法一

13、：(I)v PC _ AB,PC _ BC, ABpjBC =B PC _ 平面 ABC ,又 PC二平面PAC平面PAC _平面ABC(n)取BC的中点N，则CN =1，连结 AN,MN ,/ PM CN , MN PC，从而 MN _ 平面 ABC作NH _ AC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC _ NH ,从而.MHN为二面角M - AC -B的平面角直线AM与直线PC所成的角为600在:ACN中,由余弦定理得 AN = ：-； AC2 CN2 -2AC CN cos12C -；3在AMN中,MN=AN cot. AMN二=13在CNH中,NH二 CN sin .

14、NCH =1332 2中,MN/MN 12 屈=tan. MHN =NH 2332（川）由（n）知,PCMN为正方形1 i3 VPJMAC =VA _PCM"牡匕齐C CN sin120°MN 冷解法二：（I）同解法（n）在平面 ABC内，过C作CD _ CB，建立空间直角坐标系 C - xyz （如图） 由题意有a,】,0 :设卩（0,0必Xz。=0 ）,I2 2丿nt,-I1X| T则 M （0,1,z。）AM =i ，一,z。，CP=（0,0, z。）j 22,由直线AM与直线PC所成的解为60°，得AM C?=|AM !CP cos60°，即 zo2 =专 Jz°2 +3 z。，解得 z° = 1 CM=（o,o,1CA二卜3,o