数学学习过程与数学教学策略

1、数学学习过程与数学教学策略数学学习过程与数学教学策略（课程教材研究所副编审）颜其鹏在中学数学教学实践中，存在的一个问题是：数学教学只重视教而 相对地忽视学，只重视教学方法、教学手段等的改革，而相对地忽视 对学生学习规律、学习方法等的探索。这样，造成了目前数学教学虽 费时较多，但教学效果并不太佳。总结上述教训，笔者认为，提高数 学教学质量的关键在于根据学生学习数学的心理机制和教学内容进行 数学教学。为此，本文在对学生数学认知结构、数学学习过程进行较 为系统的分析和探讨的基础上，提出了一些相应的数学教学策略。一、数学认知结构所谓数学认知结构，笔者认为，它是数学知识结构与学生个体心理 结构相互作用的

2、产物，是学生头脑中的数学知识、技能按照自己的感 知、记忆、表象、想像、思维等认知操作，组成的一个具有内部规律 的整体结构，是数学知识结构 内化而来”的。数学知识经验系统是学生头脑中已有的数学知识、经验及其组织， 它包括数学基础知识和数学技能两个要素数学基础知识是学生头脑中已有的数学事实、结论性知识及其组织 特征。它是学生经过数学学习后所形成的经验系统，包括数学概念，数学语言，数学公式、符号，数学命题，数学方法以及它们的组织络。数学技能是相应于数学基础知识发生、发展和应用过程中而产生的, 顺利完成数学活动任务的复杂的动作系统。它包括数学操作技能、心 智技能等。事实上，学生的数学知识经验越丰富，知

3、识的组织越合理，就越容 易内化外界输入的信息，并吸收它为自己的数学认识结构中的一部分。 比如，学生对于二元一次方程组、一元二次方程的解法掌握得比较牢 固，对解方程或方程组的 消元、降次”思想理解得比较好，那么就很容 易掌握二元二次方程组、简单的高次方程的解法。（二）数学认知操作系统是指学生在已有的数学知识经验系统的基础 上，运用感知、想像、数学思维等对数学信息（新知识）进行操作，处理 的较稳定的个性认知特征，它可进一步概括为数学能力，其核心是数 学思维能力，而表现和衡量的标准则是数学认知品质（如认知的目的性、 敏捷性、全面性、准确性、深刻性等）。认知操作系统是由一定年龄阶段学生的认知发展 （即

4、智力发展）水平 和特征所决定的，它反映了学生的认知（智力）发展状况，具有相对稳定 性，但又表现出较大的个体差异，因此，它是教师进行因材施教的根 据。（三）数学元认知系统就是个体对自己数学认知活动的监控、调节系 统，是学生进行数学认知活动的中枢指挥系统。表现在学生主体根据 数学活动的要求，选择适宜的认知操作方法进行认知活动，并监控认 知活动进行的过程；同时，还不断地分析反馈信息，及时调节自己的 认知过程和策略。数学元认知的实质就是学生的数学观念或数学素养，是学生用数学 思维方式去考虑问 题、处理问题的自觉意识和习惯。从上面对数学认知结构要素的分析可以看出，数学认知结构具有下 列的功能：1选择。当

5、数学信息（新知识）刺激时，数学认知结构必须对 已有的数学知识经验进行过滤，分化，以找出与新知识有所联系的已 有的知识经验；2同化，即用已有数学知识经验去说明、 解释并容纳数 学新知识；3顺应。由于主体数学认知结构具有自我意识和自我调节能 力，当原有数学认知结构不能容纳数学新知识时，则主体对原数学认 知结构进行改造，以便同化新知识；4预见。个体通过数学认知结构能 从整体上把握数学事实或结论，从而产生数学直觉，显然，直觉带有 一定的预见性质；5迁移与运用，即数学认知结构中的知识经验、 认知 操作系统或元认知系统都可以影响后继数学学习、其他学科学习和解 决实际问题。正因为数学认知结构具有上述功能，可

6、以说数学认知结构是数学认 知活动赖以进行的心理结构，同时，形成良好的数学认知结构又是数 学认知活动的总目标。二、数学学习过程的模式对于数学学习过程，我们认为是在特定的学习情境中，在数学教师 的主导下，学生主体对数学知识的认知活动过程，在这个过程中，学 生的数学认知结构在学习数学的情感系统的参与和影响下，不断地对 数学新知识进行认知操作，结果导致学生的数学认知结构和学习数学 的情感系统不断地变化和发展，从而达到数学学习目标的要求。（一）数学学习的新内容是数学学习的客体，它是数学教材所叙述的 数学事实（如数学语言、符号、公理、原始概念等），数学概念、数学原 理（如数学定理、命题、定律、公式等）、数

7、学技能（包括操作技能、心 智技能）等知识组成的，是在一定时间限度内学生所要掌握的知识。因此，它可指一节课的内容、一节或一章的内容，也可指一门数学分支数学情境是指学生学习数学新知识的外部环境，包括教师创设的数 学教学情境，课堂学习气氛等，它伴随着教师教学活动的深入而直接 地、持续地与整个数学学习活动发生相互作用，甚至决定数学学习效 果。（二）数学学习的准备可以分为认知准备和情感准备两个方面。认知准备指学生原数学认知结构，是学生进行数学学习的必要条件（先决认知条件），情感准备是学生能否专心于数学学习过程中的心理条件，它 一般由先前数学学习效果、先前其他学习、对数学学习价值的认识和 数学学习动机、学

8、习态度、情绪、意志等情感因素所决定的。（三）学生有了适当的学习准备后，当数学信息（数学新知识）刺激大脑 时，大脑就通过学习情景与数学信息发生相互作用，从而进入了学习 的内化阶段。内化阶段包括定向、联想、同化或顺应等几个心理过程。1在学习的定向阶段，首先，学生从对学习情境所提供的背景关系 的俯瞰全貌式的概览开始，不断的探究、领悟新知识的价值和特点， 从而使原数学认知结构与新知识发生认知冲突，这种冲突使得他们在 心理上产生学习新知识的认知需要和学习动机，从而促使他们调用原 认知结构去处理新知识，进行认知活动。其次，学生通过感官的作用， 辨别数学新知识的特征（如数学符号、术语、公式、图象等），并把它

9、和 已有的数学知识经验联系起来，从而分化出数学新知识的本质特征和 非本质特征。最后，通过对本质特征和非本质特征的区分，概括出新 知识的有意义的东西，获得了数学新知识的表象和结构，即潜在意义。2知觉到新知识的潜在意义后，要达到对新知识的理解，还需要新旧知识相互作用，这一思维过程从联想开始。联想即把原数学认知结构中与数学新知识有联系的知识经验（如概念、命题、术语、思想方法等）分化出来，以提供内化新知识的衔接点和组 织者。它包括选取原数学认知结构中与新知识有关的知识经验，区分 新旧知识的异同，分化与新知识有本质联系的知识经验等几个环节。 对于复杂的数学学习（如问题解决），联想是创造性思维的第一步，即

10、它 能综合已有的知识，在对问题情景的整体把握基础上，构造出新问题 的基本结构和模型，从而对问题的解决提出假设。例如，中学生在学习矩形概念时，他们从日常生活和小学学过的长 方形概念中取得了潜在意义；然后，通过联想，从原数学认知结构中 分化出内化新知识的衔接点 一一平行四边形概念和性质。联想的结果，使新旧知识建立了实质的、非人为的联系。接着，学 生可以运用已分化出的知识经验来内化新知识，并且以同化和顺应两 种形式来进行。3同化是利用原数学认知结构的数学知识经验去说明、解释并容纳 数学新知识。例如，学生学习矩形的概念就是利用平行四边形概念进 行同化的过程。顺应是指当原数学认知结构不能有效地容纳数学新

11、知识时，主体将 对原数学认知结构进行改造，以适应新知识的学习。顺应的过程是： 对新知识进行归纳、概括，对原数学认知结构进行改造和整理，从而 使新旧知识建立密切联系，新知识被纳入到学生的数学认知结构中， 原数学认知结构得到改造并扩大。例如，初一学生学习代数初步知识, 就是通过顺应来进行的。尽管他们在小学学过算术，但算术与代数的 不一致性，使他们只能改造头脑中已有的算术知识结构，通过字母代 表数的学习，才逐渐掌握代数知识。如果说同化的作用是改造新数学知识使之与数学认知结构相吻合的 话，那么顺应则是改造原认知结构以适应学习新知识的需要，因而同 化只能从量上丰富原数学认知结构，顺应则能从质上改变数学认

12、知结 构，不过，同化和顺应往往存在于同一个认知活动中，在同化中有顺 应，而在顺应中，尽可能先同化。例如，数系的一系列扩张，就是旧 数系顺应新数系，而新数系则尽可能保持旧数系的原有法则，这是一 个实质上顺应，形式上同化的过程。值得指出的是，不管同化或顺应，总要对原有数学知识经验和新知 识作出重新评价。即使新知识可作为原数学知识经验的补充和完善， 原数学知识经验的某些部分也应重新分类、重新形成概念，并且这一 过程还特别需要元认知系统的监控、调节。经过同化和顺应后，新数学知识纳入了学生数学认知结构中，原数 学认知结构发生了变化。但是新旧知识的相互作用并未停止，新知识 的保持和遗忘就是同一相互作用的继

13、续。因此，只有采用一定的强化 措施，才能巩固所获得的新知识。（四）强化阶段是数学新知识的进一步理解和巩固阶段，它是通过练 习、形成性评价、小结（概括）、灵活运用等方式而实现的。1练习过程是学生把数学新知识初步运用于具体情境中的过程。通 过练习，可以使自己对新知识的理解程度有明确的认识，从而起反馈 作用；可以使自己对新知识的理解更完整化、具体化，从而进一步保 持和长时间巩固新知识，并形成技能；同时，还有助于提高学生的学 习兴趣，维持良好的学习动机。有时，练习还可以使学生产生整体感 受，从而为领悟数学整体的突出性质一一数学思想打下基础。课堂例题、课堂练习、课外作业等都可看作是练习。2应当说，形成性

14、评价是以检验学生对学习内容的领会程度为标准 的，因而它应贯穿于数学新知识意义的获得和保持过程的始终。它又 包括教师课内诊断和学生自我评价两个方面。教师对学生的课内诊断 一般通过观察、提问和形成性测试等手段进行。学生的自我评价一般 是从教师的评价、原数学认知结构中元认知的监控和调节作用以及练 习中得出的，它也包括认知和情感两方面内容。通过形成性评价后，学生对于自己掌握新知识的情况有所了解，从 而调节自己进一步努力的方向；同时，教师可对症下药，采取补救措 施。3小结是指在获得新知识的意义并通过练习（通过变式和具体运用, 抓住本质特征）后，用最简单、最经济、概括性最强的术语对新知识加 以组织，使数学

15、新知识变为具有概括性，能融合于已有知识经验中的 基本概念、基本命题、公式甚至思想等，从而使新知识更加巩固。通 过小结，新知识由于其概括性而具有更大的迁移价值，即还能影响后 继学习和运用它们解决问题。4新知识的灵活运用过程是指创造性地利用新知识123下一页去解决数学问题及其他问题的过程。实际上，解决问题是在对问题情 景和题目条件的整体把握的情况下，利用原数学认知结构从整体的角 度把握问题的实质，再结合数学知识经验调动各种数学思维成分（如逻辑思维、直觉思维、发散思维和辐合思维等）的参与，从而提出尝试性 模型（假设），并检验假设以达到目的。灵活运用是检查学生数学学习效果的综合性指标，也是数学学习的最

16、咼目标。（五）数学学习效果包括认知成果和情感变化两个方面。经过学习的内化和强化阶段后，在认知方面的成果是：新知识被纳 入到学生的数学认知结构中，形成了新的数学认知结构，并且新知识 被概括化、整体化，具有迁移作用，另外，形成了较强的技能，发展 了能力。对于具体的学习，情感变化不会太大，但对于一单元，一门 分支的数学学习，学生对于数学价值的认识、学习动机、学习积极性 等均会有一些变化，具体讨论略。（六）以等腰三角形概念的学习为例，说明概念学习的过程。1学习的内容：等腰三角形的概念，学习的准备：原数学认知结构 中三角形的概念、 三角形全等的性质和判定。2内化阶段：首先（由教师根据图形）给出有两条边相

17、等的三角形是 等腰三角形”这一定义和本质属性，并给出相应的腰、顶角、底角的定 义，这样学生可以分化为等腰三角形概念的本质特征和非本质特征； 其次，学生将新概念（等腰三角形）与原认知结构中的知识经验（三角形、 全等三角形）联系起来，把新概念纳入原有概念（三角形）中，并认识到 新概念是原有三角形概念的限制；最后，运用变式和肯定、否定例证 进一步突出概念（等腰三角形）的本质属性，并对概念的各种属性进行分 类，如辨别下面图式，可得出等腰三角形能分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形，同时还可得出等腰三角形两底角相等等。3强化阶段：通过练习和小结，学生既能利用定义去判定等腰三 角形，还能利用等腰三角

18、形两腰相等的性质去解题；同时，等腰三角 形的概念还可纳入三角形的概念系统中。三、从数学学习过程看数学教学策略所谓数学教学策略是指数学教师对数学课堂教学所作的系统决策和 设计。它包括设置数学学习情景的策略，呈现数学教学内容的策略， 选择数学教学方法与教学辅助手段的策略，教学效果的检查和评价的 策略等。从对数学学习过程的分析可知，数学教师的作用在于促使学生数学 学习过程中的几个阶段顺利地进行，以达到良好的数学学习效果为目 标。相应地，数学教学策略就应当围绕着促使学生形成良好的数学认 知结构和学习数学的情感系统来制定。下面我们根据学生数学学习过 程的模式来讨论数学教学策略。（一）选择和分析数学教学内容（备课）的策略。数学认知结构是内化的数学知识结构，而数学知识结构又是通过数