高三平面向量专题复习

1、高三二轮复习专题讲座专题四 平面向量 “平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的双重身份，它是中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，向量的引入大大拓广了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用”文6、文7、文9已经作了比较详细的分析，以下笔者对“平面向量”的考试要求、高考题型作简要归类分析，着重对平面向量的二轮复习作几点提示，希望对您的教学能有所帮助 一、高考考纲要求1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法与减法3掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的

2、坐标运算5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式二、高考考点分析1考查平面向量的基本概念和运算律例1（2004年全国卷）向量,满足(-)·(2+)=4,且|=2,|=4,则与夹角的余弦值等于 例2（2004年浙江卷）已知平面上三点A,B,C满足则的值等于 例3（2004年福建卷）已知、是非零向量且满足(2) ，(2) ，则与的夹角是A B C D例4（2004年全国卷）已知,均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+3

3、|= A B C D4例5（2004年全国卷）已知向量、满足：|1，|2，|2，则|（A）1（B）（C）（D）例6（2004年重庆卷）若向量的夹角为，,则向量的模为 A 2 B 4 C 6 D 12例7（2004年湖北卷）已知为非零的平面向量. 甲：A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2考查平面向量的几何意义例8（2003年新课程卷）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过的A外心B内心C重心D垂心 分析：由于表示向量上的单位向量，表示向量上的单位向量，所以表示单位向量与单位向量的

4、和，由向量加法的几何意义可知表示以单位向量为邻边的菱形对角线，所以表示向量（点在角的平分线上，其位置由确定）点的轨迹为角的平分线，故选（B）例9（2003年新课程辽宁卷）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点），则等于 A B. C. D. 解：由向量的运算法则而点P在对角线上，所以与同向，且因此故选（A）评注：以上两题考查的知识点是平面向量加法及实数与平面向量积的几何意义，虽然知识上的要求并不高，但新颖的表述形式、抽象的符号语言使学生理解起来普遍感到困难，很多学生觉得题目不知所云3考查向量的坐标运算例10（2004年广东卷）已知平面向量，且，则=（ ）A. 3 B. 1 C. 1 D .

5、 3例11（2004年天津卷）若平面向量与向量的夹角是，且，则 A. B. C. D. 例12（2004年天津卷） 已知向量，若与垂直，则实数等于 例13（2004年湖南卷）已知向量,向量则的最大值，最小值分别是ABC16，0D4，0例14（2004年江苏卷）平面向量中，已知=(4，3)，=1，且=5，则向量=_ 例15（2004年上海卷）已知点A(1, 2),若向量与=（2,3）同向, =2,则点B的坐标为 例16（2004年全国卷）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,2)在上的射影分别是O1和A1，则，其中（A） （B） （C）2 （D）24考查平面向量与解析几何的综合例17

6、(2004年河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区卷)设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（1）求双曲线C的离心率e的取值范围：（2）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.例18(2004年四川、吉林、黑龙江、云南等地区)给定抛物线C：y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点(1) 设l的斜率为1，求与的夹角的大小；(2)设，若4,9，求l在y轴上截距的变化范围例19（2004年湖南卷）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.（1）设点P分有向线段所成的比为，证明:；（2）设直线AB的

7、方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.例20（2004年辽宁卷）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值. 例21（2004年天津卷）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明例22（2004年江苏卷）已知椭圆

8、的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线的斜率.三、高考热点分析数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容四、二轮复习建议提示一：重视基础高三复习的永恒主题从一道习题的几种错误解法谈起例23、中，已知,求证：为正三角形错解一：

9、 , . 即 、均为非零向量, 故是正三角形错因剖析：我们知道向量的数量积是一个实数，若两个实数相等，则它们的绝对值也相等因此，是成立的；乍看起来也没有问题，因为这是我们很熟悉的实数绝对值性质但实数的性质在向量的运算中仍然成立吗？我们不妨先从特殊情形入手令，（其中、分别是轴、轴上的单位向量）,此时，而，所以显然有由向量的数量积定义可知，cos,-1,因此，我们可以得到，当且仅当或，即与共线时等号成立题目中由于、不是共线向量，因此是不成立的，这正是此题错解的症结所在若, ，由可得，这实际上也是柯西不等式的二维形式错解二： ，同理可得 故是正三角形错因剖析：由于向量的数量积满足分配律，所以由可以得

10、到，但由教材第119页向量的数量积性质知：“当都是非零向量时，”所以由，不能得到这个错误解法的信息源是实数的性质“若，则”另外，若，则的三条边平行或重合，也不能得到是正三角形错解三： 由正弦定理得，即. 同理. 故是正三角形错因剖析：由于向量的夹角是，而不是，所以由向量数量积的定义可知，这是学生在学习向量数量积时经常发生的一种错误实际上，由于，因此连续两次夹角错误，恰好使问题的结论仍然成立错解四：， 约分得，同理可得故是正三角形错因剖析：这种错误的解法类似于错解二，是受实数运算法则“若则”影响造成的实际上这种运算法则在向量的数量积运算中不再成立以下给出该题的四种正确解法，供参考解法一：如图，取

11、边上的中线，由平行四边形性质得，又由条件得 同理，故是正三角形解法二： 又 即 同理故是正三角形解法三：， 由正弦定理得又都是的内角， 故是正三角形解法四：以为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系设点的坐标为点的坐标为 故是正三角形启发1、平面向量的引入，大大地拓宽了解题的途径和方法，使它在研究其它问题时得到广泛的应用但向量与实数之间，有联系，更有区别，我们在复习中中要对这两个概念及其性质进行对比，总结它们之间的区别和联系，防止出现实数知识对向量学习的负面影响向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律分配律 且 |向量的数量积与实

12、数的积的不同点：实数的乘积向量的数量积结合律或 （注：关于此题错误的研究详见文5）.2004年高考类似试题链结：1（浙江卷）已知平面上三点满足，则的值等于 2（湖北卷）已知为非零的平面向量甲：则A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件启发2、关注平面向量的基础知识，不能遗漏一个基本概念，如单位向量、方向向量、基底、相反向量、投影等概念提示二：回到课本事半功倍的复习策略数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的高考试卷中平面向量有三分之一的问题与课本的例习题

13、相同或相似，它对高三复习具有指导意义，所以我们在教学中要重视教材的使用应有不可估量的作用，要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系例24（2002年新课程卷）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为 A. B. C. D. 解析：设的坐标为, .又 消去得，故选（）.评注：本题主要考查向量的坐标运算以及解析几何中参数法思想说明：此题是教材第109页例5的延伸和拓广，该例题为：不共线，用表示，它的结论是此题等价于“不共线，若三点共线，则且”此例题可以进一步推广为“不共线，三点共线的充要条件是且”教材中还有以下两道习题值得仔细推

14、敲：1、课本复习题B组第2题、已知两两所成的角相等，并且求向量的长度及与已知向量的夹角2、课本复习题B组第5题、已知：如图，的夹角为夹角为试用提示三、研究性复习提高复习效益的有效途径一道课本复习题的几种解法及其变式、引申和拓展例25（课本复习题B组第6题）（此题笔者在3+2复习一书已作了一些说明）已知向量，求证： 是正三角形分析：从条件我们不难发现（1）向量均为单位向量，且任意两个向量的和与另一个向量是相反向量；（2）O是的外心；（3）向量的两两夹角都相等；（4）向量的大小均相等证明思路一： 从数量积入手，求向量的夹角得同理即中任意两个向量的夹角为故是正三角形证明思路二：从消元法入手，求向量的

15、大小OP 故是正三角形证明思路三：从几何意义入手，依托图形来推理如图，以为邻边作平行四边形，则由题意得，故于是，即是正三角形，于是从而（以下同思路一）证明思路四：从坐标法入手，利用平面几何模型设为坐标原点，建立直角坐标系设则故由题意得而的重心G的坐标为即重心G为原点O又，故O为的外心因为的重心与外心重合，故是正三角形评注：由于思维起点不同，学生解题的策略也会有差异，这正是宏观整合知识结构，渗透数学思想方法，优化思维品质的最佳时机，通过相互之间的交流、讨论、比较和总结，能引发思维的“共振”，促进能力的发展和素质的提高变式、引申、拓展1、数量变式：将条件中改为会有什么结论？结论：将条件中改为不影响

16、证题进程，只是正的边长变为2、逆向引申：已知向量， 是正三角形，则3、升维拓展：已知向量，构成凸四边形，则四边形是正方形吗？结论：四边形是矩形，证明过程详见数学之友4、逆向延伸：已知向量，四边形是正方形，则5、拓展推广：已知向量，边形是正多边形，则6、应用令则这与物理学中三相交流电知识“若三相交流电则”相吻合该问题对高三复习的几点启示：1、传统复习课大多数是先罗列知识，再列举题型，并讲解相应的解题套路，最后作强化练习，这种教学程序对生源一般的学校是比较有效的，但这样的教学使学生始终处于一种被动的状态，缺乏对学生创新意识的培养，难以真正提高学生素质，所以在生源比较好的学校我们经常会有这样的感受：

17、随着复习时间的推移，越来越多学生的学习兴趣与日俱减，他们对课堂没有激情，许多学生认为他们的数学能力不是提高而是反而下降了，我个人认为这正是其中的症结所在2、我们倡导高三的研究性复习，特别是二轮复习，不必一味地以追求教学容量为教学设计的目标指向3、学生的理性思维、创新意识不是高考前一两个月能培养出来的，它应贯穿于高三复习的全过程之中，在每一节课中特别是二轮复习的每一节课中要有意识加入一些思维量比较大的内容，激发学生思考当然这也对我们教师课前的精心准备与预设，课上的教学机智和生成评价都提出了严峻的挑战提示四、高考新热点平面向量与其它知识交汇与融合1、 平面向量与解析几何的交汇与融合由于向量作为一种

18、有向线段本身就是直线上的一段，且向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示，因而使向量与解析几何保持着一种天然的联系，两者之间的结合是高考命题的必然趋势平面向量与解析几何交汇与融合的例子很多，此处不再赘述，具体分析可参考文72、 平面向量在平面几何中的应用处理平面几何问题平面向量最重要的应用之一，但由于教材对这一内容涉及较少，所以我们在教学中不宜对此知识点做过多的挖掘以下是向量在平面几何中的几个结论：在平行四边形中，若，则，即菱形模型若，则，即矩形模型在中，若，是的外心；一定过的中点，通过的重心；若，则是的重心；若，则是的垂心；向量必通过的内心；若，则是的内心；3、 平面向量与三角函数、函数等知识

19、的结合例26（2004年福建卷）设函数f(x)=·，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， sin2x)，xR.（1）若f(x)=1且x，求x； （2）若函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.提示五：三种表示方法解决平面向量问题的三种途径1、 几何表示：与平面几何、物理等知识结合见例8、例92、符号表示：体现向量自身符号系统的优越性例27（2004年湖北卷） 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值 3、坐标表示：与解析几何、三角函数、函数等知识结合例27（2004年湖北卷）解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.提示六：关注高中课改新教材对我们的启示丁尔升教授在高中数学教学改革的几个问题一文中指出“在高中主要要实现由定性几何到定量几何，从常量数学到变量数学，以及由确定性数学到随机性数学等重大转折实现第