数列通项公式的求法之构造辅助数列教师版

1、数列通项公式的求法之构造辅助数列预习案：1数列an满足an+1=2an-1, a仁2,求数列an的通项公式。解：设an+1+x=2(an+x),即 an+1=2an+x对比系数有 x=-1， 故由 an+1=2an-1 得 an+1- 1=2(an-1),即卩an+1-1=2,得新数列an-1是以an-1a1-1=2-1=1为首项，以2为公 比的等比数列， an- 1=2n-1，即通项an=2n-1+1。整理：一阶线性递推的一般形式及其解决方法：思路：利用待定系数法，将an+1=qan+d化为an+1+x=q(an+x)的形式，从而构造新数列an+x是以a1+x为首项，以q为公比的等比数列。(

2、待定系数法，构造等比数 列)教学案：题型一：递推公式满足an+仁q? an+g(n)型例1.已知数列an满足an+1=2an+(2n-1)，且a1= 2,求数列an的通项公式。设 an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，解得 k=2,b=1，求得 an=5? 2n-1-2n-1。小结：当 g(n)为一次函数时，思路：利用待定系数法，构造等比数列an+kn+b设an+1+k (n+1)+b=q(a n+kn+b)例2.已知数列an满足an+1=2an+3n2+4n+5, a1=1，求数列an的通项公式。 解：设 an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z),

3、比较系数得，an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18),故数列an+3n2+10n+18为以 a1+3? 12+10? 1+18=1+3仁32为首项，以2为公比的等比数列，因此 an+3n2+10n+18=32? 2n-1，则 an=2n+4-3n2-10n-18小结：当g(n)为二次函数时，思路：构造等比数列an+xn+yn+z利用待定系数法设 an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=q(an+xn2+yn+z)例 3.已知数列an满足an+1=2an+3? 2n, a仁2,求数列an的通项公式。 解：an+仁2an+3? 2n两边除以 2n+1，得

4、 2an+1an3an+1an3 贝U,=+-=2n+12n22n+12n2故数列？ an33? an?是以 1为首项，以为公差的等差数列，得， =1+(n-1)nn? 2222?3212所以数列an的通项公式为an=(n-)2n。例4.已知数列an满足a1=1, an+1= 3a n+2 n(n N+)，求数列an的通项公 式。解法 1：设 an+1+x?2n+1=3(an+x? 2n)? x=1?an+2n为等比数列从而 an=3n-2n。 解法 2：由 an+仁3an+2n知 anan+13an13b=+1,令，则=? +b=bnnn+1 n+1 nn222222b仁33二 bn=()n

5、,从而 an=3n-2n。22例5.已知数列an满足an+仁3an+5? 2n+4, a1=1，求数列an的通项公式。 解：设.an+1+x?2n+1+y=3(an+x? 2n+y),比较系数得，an+1+5? 2n+1+2=3(an+5? 2n+2),故数列an+5? 2n+2是以 a1+5? 21+2=1+12=13 为首项，以3为公比的等比数列，因此 an=13? 3n-1-5?2n-2小结：当g(n)为类指数函数，思路：观察g(n)的形式，如果g(n)的底数与an的系 数c相同时，则把an+仁c?an+g(n)两边同时除以cn+1，从而构造出一个等差数 列；如果g(n)的底数与an的系

6、数c不相同时，可以利用待定系数法构造一个等比 数列 例6.已知数列an满足a1=1,an+仁an,求an的通项公式。3an+1解：an+1=an1111,两边取倒数有二-=3 =+3，即 3an+1an+1anan+1an?1?11 数列？是首项为1,公差为3的等差数列；二=3n-2,an=a3n-2ar? n? 例7.在数列an中，已知a仁2,an+1=2an求数列an的通项公式。an+1解：由a1=2,an+1=2an可知，对n N，anQ两边取倒数得an+1? 1? 11? 111111?-1= -1-1a=1,，即，又。数列 -1=-=+? 1?a n+12 aaa2an+122an?

7、 n? n?11? 1? 11-1=- ?是首项为-,公比为的等比数列，二an2? 2? 222n。二 an=n 2-1小结：递推公式满足an+仁n-1?1?=- ?，? 2? n? 1?an型，取倒数，构造数列 ?，使其为等差数列。pan+1? an?递推公式满足an+1 = 比数列。巩固案：？1?banan+X?，使其为等型或an+1=型，构造数列？ can+dpan+c? an?1、已知数列an满足a1=1，an+1= 2an+1,求数列an的通项公式。 解：an+1=2an+1(n N),二 an+1+1=2(an+1), * an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。二an

8、+1=2n.,即an=2n-1(n N*)。2、已知数列an中，a1=1, an+仁解：在an+1=11an+()n+1，求数列an的通项公式。2211an+()n+1两边乘以2n+1 得：2n+1?an+仁(2n?an)+1 22+1,所以令 bn=2n?an 则 bn+1-bn=1,解之得：bn=b1+ n-仁n- an=bnn11n+-。=nnn 2221an-1+2n-1，求数列an的通项公式。211111 解：设 an+An+B=an-1+A(n-1)+B , an=an-1-An-A-B 222223、已知 a1=1, 当n2时，an=? 1-A=2? A=-41?2： ?解得：？

9、 a1=3：an-4n+6是以 3 为首项，为公2? B=6?-1A-1B=-1? 22比的等比数列； an-4n+6=3 ()12n-1 an=3+4n-6。2n-14、 已知数列an满足an+仁2an+3? 5n, a仁6,求数列an的通项公式。解：设 an+1+x? 5n+1=2(an+x? 5n).,比较系数得，an+1-5n+仁2(an-5n),则数列an-5n 是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，贝U an-5n=2n-1,故an=2n-1+5n。5、已知数列an满足an+1=2an+3n2+4n+5, a1=1，求数列an的通项公式。 解：设 an+1+x(n+1)2

10、+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z),比较系数得，an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18),故数列an+3n2+10n+18为以 a1+3? 12+10? 1+18=1+3仁32为首项，以2为公比的等比数列，因此 an+3n2+10n+18=32? 2n-1,则 an=2n+4-3n2-10n-18。6、 已知数列an满足an+仁3an+2? 3n+1, a仁3,求数列an的通项公式。 注：若an+1=3an+2? 3n+1,中不含常数a=31时，则直接构造等差数列即可，但含常 数1时则需累加。解：an+1= 3an+2? 3n+1 两边除以

11、 3n+1,得 an+1an21,则=+3n+13n33n+1an+1an21,故-=+n+1 nn+13333ananan-1a n-1a n-2a n-2a n-3a2a1a1=(-)+(-)+(-)+ +(-)+3 n3nan-1a n-13 n-23 n-23 n-332313 212121213=(+n)+(+n-1)+(+n-2)+ +(+2)+3333333332( n-1)11111=+( n+n+n-1+ n-2+ +2)+13333331n-1(1-3)an2(n-1)n2n 11 因此 n=，则 +1=+-n331-3322?3211an=? n? 3n+? 3n-. 3

12、227、 已知数列an满足an+仁3an+5? 2n+4, a1=1，求数列an的通项公式。 解： 设.an+1+x? 2n+1+y=3(an+x? 2n+y),比较系数得，an+1+5? 2n+1+2=3(an+5? 2n+2),故数列an+5? 2n+2是以a1+5? 21+2=1+12=13为首项，以3为公比的等比数列，因此 an=13? 3n-1-5?2n-2。8、已知数列an中，其中a1=1，且当n2寸，an= an-1,求数列an的通项2an- 1+1公式。解：将an=an-1111两边取倒数得：-=2，这说明是一个等差数列，2an-1+1anan- 1an首项是111。=1,公差为 2,所以=1+(n-1)? 2=2n-1,即卩 an=2n-1a1an9.已知数列 an+1=an 2an+1 n,a仁1,求数列an的通项公式。 解：1an+1=1+2n,即 bn+仁bn+2n,则 an21-2 n-1bn=b1+=1-2+2n=2n-11-2() an=1。n2-12n+1 an 10.数列an中，an+1= n+1, a仁2,求数列an的通项公式。2+an2n+1+an1111=