应用统计学--参数假设检验精

1、第7章单个总体的假设检验本章教学目标 了解和掌握统计推断中的另一个基本问题：参 假设检验及其在经济管理中的应用；掌握运用Excel的“数据分析”及其统计函数 功能求解假设检验问题。本章主要内容:§7.1案例介绍§7.2假设检验的基本原理§7.3单个正态总体均值的检验I §7.4单个正态总体方差的检验 本章重点：假设检验中不可避免的两类错误及其 应用Excel"数据分析”功能的使用及其运行输出结 果分析。难点：假设检验中不可避免的两类错误及其应用。§7.1案例介绍【案例2】机床加工精度是否符合要求?【案例1】新工艺是否有效?某厂生产的一

2、种钢丝的平均抗拉强度为10560(kg/cm2)o现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取1()根， 测得抗拉强度为：10512, 10623, 10668, 10554, 1077610707,10557,10581,10666,10670求得新钢丝的平均抗拉强度为10631.4(kg/cm2)o 是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝, 即新工艺有效的结论？某台加工缸套外径的机床，正常状态下所 加工缸套外径的标准差应不超过0.02 mmo检验人员从加工的缸套中随机抽取9个， 测得外径的样本标准差为5 = 0.03 mmo问：该机床的加工精度是否符合要求？§7.2假设检验的原理

3、一、实际推断原理假设检验的理论是小概率原理，又称为实际推断原 理，其具体内容是：小概率事件在一次试验中是 几乎不可能发生的。二、假设检验推理的思想方法假设检验推理的思想方法是某种带有概率性质的反 证法。三、基本原理和步骤例1：统计资料表明，某电子元件的寿命 XN（“o，c2）,其 中“0己知，b2未知。现釆用了新工艺生产，测得新工艺生产的72个元件寿命为", 兀2,Xn°问：新工艺生产的元件期望寿命“是否比原工艺的元件期望寿命 “0有显著提咼？此问题要推断的是：是否“ >“）？这可用假设检验的方法解决，步骤如下：1 提出一个希望推翻的假设，称为原假设，记为本例中2.按

4、希望出现的结果提出一个与原假设对立的假设, 称为备择假设，记为円一本例中H卩 A> A)3.构造一个能用来检验原假设H.的统订量 本例中，要检验的是总体均值“，而乂是“的优良估计，故应使用乂来构造检验“的统计量。当为真时，统计量t4给定一个小概率Q称为显著性水平显著性水平&是当为真时，拒绝的概率 (即犯“弃真”错误的概率)。也即当检验结果拒绝片。时, 不犯错误的概率为1-cr,从而可以有的可信度接受 备择假设Hr5 确定要拒绝时统计量的取值范围，称为拒绝域, 拒绝域的边界点称为临界值。本例中，由于右边检验)，而当为真时, 有P t <ta ( n-1 ) = 1-a可知当统

5、计量t >ra(/7-1)时，就可以有的把握判定 Ho不真(犯错误的概率仅为a )，故此时应拒绝H。从而拒绝域为r >rjn-l),临界值为ta(n-1)o6计算统计量t的值，并作出检验结论本例中，若计算结果为/ >乙（介1）,则拒绝H。， 接受H,即在水平a下，认为“显著高于如。若t<ta（nA）,就不能拒绝/。，即认为“并不显 著高于“）。当拒绝耳）时，说明在给定的水平力下，“和“） 间存在显著差异。这就是称力为显著性水平的原因。二.检验中可能犯的两类错误设/为检验原假设H（）所用的统计量，4（小）为检 验的临界值，由显著性水平ex的定义（右边检验）P t >

6、ta（n-1） I H° 为真= a可知检验中可能出现以下两类判断错误： 第一类错误当为真时拒绝H。的错误，即“至直”错误，犯此类错误的概率为力。 第二类错误一一当H（）不真时接受H°的错误,即“她T错误，记犯该类错误的概率为0,即 P t<t 1） I Ho 不真 =0由于Ho不真时与为真时，统计量/的分布是 不同的，故毋1处#Result Possibilitiet结里的名袖口r台匕Ho:无辜无辜"有罪判决Correct冇菲Error实际情况决策Error拒绝«Correct实际情况Ho真Ho假两类错误的关系Ho： "=“oH： /=

7、/|° 皿1)由图可知，减少a会增大0,反之也然。在样本容量料不变时，不可能同时减小犯两类错误的概率。 应着重控制犯哪类错误的概率，这应由问题的实际背景决定。当第一类错误造成的损失大时,就应控制犯第一类错误的概上#a (通常取 0.05, 0.01 等);反之，当第二类错误造成的损失大时，就应控制犯第二类错i 的概率0。要同时减小须犯两类错误的概率，必须增大样本容量Ho13§ 7.3单个总体均值的检验设XN（dq2）, b2未知，X,X,，X”为总体 X的样本，给定水平原假设为Ho： “=他（&为某一给定值）当为真时，统计量1.码：X _应S / yfnt (n -

8、1)（双边检验） 当Ho为真时,由 卩卜。2（介1）0三切2（， 可得：若（"“"I） 就拒绝H。，接受Hi； 否则接受1- af/U)、1； aKi-tn-1) °tn-1)当Ho为真时，由P t<ta(n-i) =-a可得：若 r > ta( n- )就拒绝Ho，接受Hl； 否则就认为“并不显著高于o3Hi： “v坤(左边检验)由 P =-a可得：/ (V -ta ( 72-1 ) 就拒绝Ho，接受H；左边检验的拒绝域否则就认为A并不显著小于他。15案例1 检验新工艺的效果某厂生产的一种钢丝抗拉强度服从均值为 lO56O(kg/cm2)的正态分布,

9、现采用新工艺生 产了一种新钢丝，随机抽取10根测得抗拉强 度为：10512, 10623, 1066& 10554, 1077610707, 10557, 10581, 10666, 10670问在显著性水平4=0.05下，新钢丝的平均 抗拉强度比原钢丝是否有显著提高？案例1解答:设新钢丝的平均抗拉强度为“，未知，故使用 /检验。由题意，本案例为右边检验问题，H（）: “ =“（），H、： p >ZA）由所给样本数据，可求得:x = 1063L4, S = 81,n =10, ol =0.05, ZO（）5（9）=1.8331S/亦=1063 14-10560 =2787581/

10、V10T t =2.78751） =/005（9） =1.8331故拒绝/（）,即在水平（X =0.05下，“显著高于“）。说明新工艺对提高钢丝绳的抗拉强度是有显著效果的。17在案例1中，若取Q = 001,问结论如何?【解】血（9） = 2.8214,f =2.7875 Vi。01（9） = 2.8214故不能拒绝H。即在水平a = 0.01下，新钢 丝平均抗拉强度并无显著提高。通常，在6 =0.05下拒绝H。，则称检验结 果为一般显著的；若111 a =0.01卜拒绝/（）,则称检验结果为咼 度显著的；若在6Z =0.001下拒绝Ho，则称检验结果为 极高度显著的。课堂练习3一台自动包装奶

11、粉的包装机，其额定标准为每袋 净重0.5 kgo某天开工时，随机抽取了 10袋产品， 称得其净重为：0.497, 0.506, 0.509, ().508, 0.4970.510, 0.506, 0.495, 0.502, 0.507(1) 在水平a=0.20下，检验该天包装机的重量设 定是否正确？(无= 0.5037 , S= 0.0()554 )(2) 在本题的检验问题中，为什么要将力取得较大?19§ 7.4大样本单个总体比例的检验P-P.设总体成数为P,则当斤卩和/i(l-P)都大于5时，样本成数p近似服从均值为P,方差为P(l-P)/n的正态分布。从而当原假设Ho： P =

12、P.为真时，统计量统计量拒绝域7p_匕Woizi>z“7 *凤(1-匕)/九P>Poz>zap<p°Z<-Za2(0, 1)与前面分析完全类似地，可得如下检验方法:【案例5】某一系列电视剧是否获得成功如果能够证明某一系列电视剧在播出的头13周其观众的 收视率超过了25%,则可以断定它获得了成功。假定由 400个家庭组成的样本中，有112个家庭在头13周看过了 某系列电视剧。在的显著性水平下，检验这部. 系列电视剧是否获得了成功。解：由题意，H（）： P = P°=25%, H、： P>25%9样本比例 p = 112/400 = 0.28

13、f0.28-0.250.25(1-0.25)/40013856 < Zo01 32621§ 7. 5单个总体方差的检验*检验）设Ho： a2= a02 （久?为某一给定值） 则当耳）为真时，统计量2_（一 1）S?龙=才-1）与前面分析完全类似地，可得如下检验方法:统计量H1拒绝域2(«-1)52Z =2CT?的 2龙2>加/2(料_1) 或 /y 2® _i)b2>%2Z2>Za(«-l)b2v%2/vz1)22卡方检验的拒绝域/Xa/22623【案例2】机床加工精度问题某台加工缸套外径的机床，正常状态下所加工缸套外 径的标准差

14、应不超过0.02 mm,现从所生产的缸套中随 机抽取了 9个，测得外径的样本标准差为S = 0.03 mmo 问：在水平a =0.05下，该机床加工精度是否符合要求？解：由题意，a0= 0.02, H（）： a2=a（f,: a2>a（f2(n-)S28x0.0320.022=18> 龙： 一 1)= Zo.o5 =15507故拒绝耳），即该机床加工精度已显著下降。 应立即停工检修，否则废品率会大大增加。课堂练习4一台奶粉自动包装的包装精度指标为标准差= 0.005 (kg)某天开工时，随机抽检了 1()袋产品，测得其样本 乐准差为S = 0.00554 (kg)(1) 在水平*=

15、0.25下，检验该天包装机的包装精 变是否符合要求。(2) 在本检验问题中，为什么要将力取得较大？统计意义上的显著和实际的显著有时，由于非常大的样本容量，你很有可能会得出统计意 义上的显著性但实际中的显著性却很小。比如，假设在全 国性的关于高档次的商业电视市场推广活动之前，你知道 人们对你的品牌认知度是0.3。在活动结束之后，根据对 20,000人的调查显示有6,168人认识你的品牌。单边检验希 望能证明现在的认知比例是大于0.3,而旷值结果为0.0047, 正确的统计结论是品牌名字消费者的比例现在取得了显著 性改变，而在实际上这个增长重要吗？总体比例现在的估 计值在6,168/2,0000=0.3084,或是30.84%o这个增长量只 比假设检验值30%多了 1%。在市场推广活动中的高额费用 产生的结果是否对品牌认知度有意义呢？现实中的低于1 %的市场认知度的微小增长与高成本的市场活动费用相比， 你应该认为这次市场活动是不成功的。如果品牌知名度提 高了 20%,你就能得出活动是非常成功的。单个总体的假设检验小结原假设条件檢验用统计量备择假设拒绝域单个总依，己知I