平行线分线段成比例培优

1、4.2平行线分线段成比例所得的线段的比0如下图，如果h / l2 / I3,则BCEFABDEABACDF ACDF DE知识梳理 平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理：三条截两条直线,1 21 3C2.平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段的比.如图，在三角形中，如果 DE / BC，则匹 生AB AC3.平行的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）DEBC，所得的对应线段成比例，那么这ADAEDE条直线于三角形的第三边。如上图，如果有仝匕少竺，那么ABACBC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推

2、论基本应用【例1】如图，DE / BC，且DB AE,若AB 5, AC 10,求AE的长。DE / BC。例 2】如图，已知AB/EF / /CD，若 ABa , CDb, EFc，求证:1 1 c a【巩固】如图，AB BD , CDBD，垂足分别为BD , AC 和BD相交于点E , EFBD，垂足为F 证明:1AB1CD1EF【巩固】如图，找出Sabd、Sbed、SBCD之间的关系，并证明你的结论【例3】如图，在梯形 ABCD中，AB / CD ,EF / CD 交 AD , BC 于 E , F，求 EF 的长。AB 12, CD9，过对角线交点B【巩固】（上海市数学竞赛题） 如图，

3、在梯形ABCD中，AD / BC , AD 的中点，AF交BE于P , CE交DF于Q，求PQ的长。a , BC b, E , F 分另U是 AD , BCF若Dn、En分别是Dn-iB 巳-iC的中点，贝U D.En 专题二、定理及推论与中点有关的问题（1）如图（1），在 ABC中，M是AC的中点,E是AB上一点，且AE AB，4连接EM并延长，交BC的延长线于D，则（2）如图（2），已知 冲 EF AF 则FC Fd的值为（ 例4、如图，在ABC(1 )当圧AC（3）试猜想-时,2AEAC【例4】如图,BC而1:3，32ABC 中，AE: EB5 ）A.B.1 2 C.2D为BC边的中点，

4、E为AC边上的任意一点，BE交也的值；AD时竺的值，并证明你的猜想ADD.2中,AD是ABC的中线,BD : DC 2:1，AD 与 CE 相交于(2)当1、丄时，求-A0AC 3 4AD点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.AFFCAF（2）由（1）知，当E是AD中点时，竺FC（1）如果E是AD的中点，求证:1 ；21 ae不重合），成立，若E是AD上任意一点（E与A、D2 EDDCA上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线,上的一点，且 BE AC，延长 BE交AC于F。求证： AF EF。【例5】（宁

5、德市中考题）如图， ABC中，d为BC边的中点，延长AD至E， 延长AB交CE的延长线于P。若AD 2DE，求证:AP 3AB。A【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图，ABC中，卄1右D，巳分别是AB，AC的中点，贝U D1E1a ；2若D2、E2分别是DR EQ的中点，贝U D2E2 37若D3、E3分别是D2B E2C的中点，贝y D3E3a a a ；旦a -a ；2 24专题三、利用平行线转化比例【巩固】已知，如图，四边形 ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD IIEF ,【例6】如图，在四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O， 与AB、DC、BC、AD及AC的延长线

6、分别相交于点 M、 求证：PM PN PR PSAC的延长线交 EF于G .求证：EG GF .【例7】已知:P为ABC的中位线MN上任意一点,BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：竺1DC EB【例8】在 ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证： BG:GH:HM 5:3:2【例9】如图，M、N为 ABC边BC上的两点，且满足 BM MN NC，一条 平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF 3DE .【例10】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB/CD , M是AB的中点，分

7、别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E , DB与MC交于F .在梯形 ABCD中，AD / BC ,EF / BC，且梯形 AEFD与梯形EBCF的周长相(1)求证：EF / /CD(2 )若 AB a, CD b，求 EF 的长.【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图,AD 3, BC 9 , AB 6, CD 4，若 等，求EF的长。【例11】（山东省竞赛题）如图， YABCD的对角线相交于点0 ,在AB的延长线上任取一点 E，连接0E交BC于点F ,若AB a , AD c, BE b,求BF的值。【例12】已知等腰直角 ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE CD，过e、D分别作AE的垂线，交斜边 AB于L , K 求证：BL LK 家庭作业【习题1】如已知 DE / AB , 0A2OC 0E，求证:AD / BC .C【习