实数与二次根式的基本概念

1、实数与二次根式的基本概念内容基本要求略高要求较高要求平方根、算 术平方根了解平方根及算术平方根的槪念，会用 根号表示非负数的平方根及算术平方 根会用平方运算求某些非负数的平 方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的 立方根会用立方根运算求某些数的立方 根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及 其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式 有意义的条件会运用二次根式的性质进行化 简，能根据二次根式的性质对代 数式做简单变型，在给定条件下， 确定字母的值二次根式的 化简和运算理解二次根式的加、减.乘.除运算法 則会进行二次根式的化简，会进行 二次根式的混合运算1. 平方根、立方根的有关槪

2、念以及其区别和联系；2. 能进行实数的运算3. 二次根式 G/>0）的内涵，77 （a > 0）是一个非负数；（苗）2=“（“no）； = a G/>0）>及其运用.4. 二次根式乘除法的规定及其运用.5. 二次根式的加城运算.S3模块一实数的概念及分类1. 实数的概念实数：有理数和无理数的统称.2. 实数的分类有理数、整数彳分数彳'正整数'0 负整数 '正分数 负分数有限小数或无限循环小数正无理数负无理数无限不循环小数4注意：（1）实数还可按正数，零，负数分类.S为整数）表示；奇数一般用加-1或2n+l（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数

3、一般用2n(7?为整数)表示.(3) 正数和零常称为非负数.(4) 带根号的数不一定是无理数，如蔚.【例1】下列实数学 -兀，3.14159, 78,-迈7, F中无理数有().A. 2个B. 3个C. 4个 D. 5个【难度】1星【解析】是不是有理数，要看化简之后的结果，所以无理数有-龙，渥.【答案】A【巩固】有下列说法：(1) 无理数就是开方开不尽的数：(2) 无理数是无限不循环小数；(3) 无理数包括正无理数.零.负无理数：(4) 无理数都可以用数轴上的点来表示其中正确的说法的个数是()A. 1B2C3D4【难度】1星【解析】略.【答案】C模块二数轴、相反数、倒数、绝对值数轴：规定了原点

4、、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.(1) 实数"的相反数是-0(2) 实数"和b互为相反数，则t/+/?=0.(3) 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数.倒数等于它本身的数是圭1(1) 实数"(卅0)的倒数是丄.a(2) "和b互为倒数，则ab=l.绝对值：(1) 绝对值的含狡与性质：i(a > 0)” = < 0(“ = 0)一< 0)(2) 几何意艾：实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离

5、.注意：实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分， 不能混淆.【例2】若直径为2个单位长度的圆上的点A从表示的的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一 点B,则B点表示的实数是()A. 2龙 B 4tt C >/5 + 2/r D >/5 + 4/r【难度】2星【解析】略.【答案】D【例3】>/3-2 + 75的相反数是【难度】1星【解析】一个数"的相反数是-“；同样一个式子A的相反式是-A【答案】-+ 2 y/5【例4】【难厦】计倒数是1星【解析】略.【答案】-4【例5】-腐+ 2的绝对值是【难度】1星【解析】关键是

6、判断原数（原式）的正负.【答案】75-2【巩固】【难度】2V5-76的相反数是倒数是:绝对值是【解析】略.【答案】模块三实数的大小比较1利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0, 0小于正数，负数小 于正数.2 利用绝对值比较大小两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.3 利用作差法比较大小设a> b是任意两实数，若a b>0,則"/?；若“一b = 0则a = b；若“一b<0则a vb4 利用作商法比较大小设心方是任意两同号实数，当e b都为负数时，若->1.则若上<1,则bh

7、【例6】 如果"是皿的整数部分，是JTT的小数部分，"一b=.【难度】2星【解析】9<15<16,3<皿<4,/=：3上=届一3,.0 = 3 （皿一3） = 6 皿【答案】6皿B.在5.0和5.5之间D.在6.0和6.5之间【巩固】估计炳的值在（）A.在4.5和5.0之间C.在5.5和6.0之间【难度】2星【解析】同上.【答案】B【巩固】已知“"为两个连续整数，且则=【难度】2星【解析】由已矢1可知"=3上=4.“ + ” = 7【答案】7【例7】若0<bvl则几b, E ；这四个数有下列关系()bA. b2< b&

8、lt; yfh <-B b2< >/b < - < bbbC. -<yb<b<b2D. 4b <-< b2<hhb【难度】1星【解析】釆用特殊值法，此题可令h = L4【答案】A【巩固】4府、>/226 , 15三个数的大小关系是()A. 4甬 < 15< >/226B >/226 < 15< 4>/14C 4>/14 < x/226 < 15D. >/226 < 414 < 15【难度】2星【解析】利用平方法比较大小，(4陌)2 = 224,

9、(>/226)2 = 226 , 152 =225 224<225<226,/.414 <15< 226 【答案】A模块四实数的运算1 运算律加法交换律a+b=b+a 加法结合律(a + h) + c = a + (b + c) 乘法交换律ab=ba乘法纟吉合律(ab)c = a(bc)分配律a (b+c) =ub+ac注意：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.2.混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除.最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.【例8】 化简：(1) |2-75|-|>/5-1|(2)|V10-3| + |V10-4(3)

10、 -闷-呦+师-网+ TT-xWl|【难度】1星【解析】(1) |2->/5|-|>/5-1| =>/5-2-(>/5-1) = 75-2-75 + 1 = -1；(2) |V10-3| + |V10-4| =710-3 + 4-710 = 1 ：（3）|1-竭+"-御+越-网+= V?-i+V5->/5+V5->/5STT=I-i = 2x/535-i【答案】（1） 一1： （2） 1：（3） 2x/503-l 【例9】已知等腰三角形一边长为-一边长b,且（加-/厅+|9-戻| = 0.求它的周长. 【难度】2星【解析】心b为三角形的边长，“&g

11、t;0">0.又 （2" 疔+|9 冈=0，.2“一" = 0,9 宀0, .b = 3,a = |,故三角形的三边长为=3,3或-.-3 （舍去），2 2 2故三角形的周长为二+ 3 + 3 = 7丄2 2【答案】7丄2模块五近似数、有效数字和科学记数法1. 近似数：将一个数四舍五入所得到的数.2. 有效数字：一个近似数从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.3. 科学记数法：把一个数表示成“X10”的形式，其中1 <|u|<10ji为整数.注意：用科学计数法表示的数t/xl0其有效数字只与a有关，就

12、是a的有效数字；精确度却和a、10"有 关，是a的精确厦乘10”所得的结果如4.30x10s有三个有效数字，分别是4,3,0; 4.30精确到0.01, 0.01 xlO6 = 10000,故4.30xlO5 精确到千位.【例10】我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 575 306 用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）A. 66.6xlO7 B OGGGxlO"C 6.66x10"D 6.66xlO7【难度】1星【解析】略【答案】C【例11】指出下列各近似值精确到哪一位：（1） 56.3： （2） 5

13、.630: （3）5.63xlO6； （4）5.630万【难度】1星【解析】略【答案】（1）十分位：（2）千分位：（3）万位；（4）十位.【例12】指出下列近似数有几个有效数字：（1）0.319:（2） 0.0170: （3）4.46万：（4）5.29x10s【难度】1星【解析】略【答案】（1）3个：（2）3个：（3） 3个；（4） 3个.模块六平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于匕 那么这个数叫做“的平方根.记作±77,正数有两个平方根，负数没 有平方根，o的平方根是0.算术平方根：正数“的正平方根，记作苗;0的算术平方根为0.立方根：如果一个数的立方等于匕 那么

14、这个数叫做“的立方根，记作帖，正数有一个正的立方根，负数 有一个负的立方根，0的立方根是0注意：（1）当被开方数扩大（或缩小）用倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）倍（n0）.（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若n0 , 5!'） （y/a）2 = a :不管a为何值，总有=|“1= "）一0）（3）若一个非负数a介于另外两个非负数q、之间，即0时，它的算术平方根也介于曲、扳 之间，即：00応亦页利用这个结论我们可以来估算一个非负数的 算术平方根的大致范围.【例13】 网的平方根是（）A. 81 B ±3C 3D 一3【难度】2星【解析】略【答案】B【

15、例14】若加-4与3加-1是同一个正数的平方根,则加为（）A. 一3B 1C. 一1D. 一3或 1【难度】2星【解析】由于一个正数的平方根有两个.且互为相反数，由此即可得到2口与3加1相等或互为相反数, 然后列方程即可解决问题./加-4与3“?-1是同一个正数的平方根，2w4 = 3？一 1 或 2加一4 = 一（3加一1）,解得:m = 3 , 或加=1故选D.【答案】D【巩固】若7772=2,贝iJ（2x + 5）的平方根是:若77 = 5,则兀=【难度】2星【解析】考察的是数的开方【答案】±3： ±5.【例15】一个自然数的算术平方根为心则和这个自然数相邻的下一个自

16、然数是（）A. d + 1B. +1C a2 + 2D J a，+1【难度】2星【解析】首先根据算术平方根的定狡求出自然数，然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数. 一个自然数的算术平方根为匕.这个自然数是和这个自然数相邻的下一个自然数是/+1故选B.【答案】B【巩固】设a是整数，则使面为最小正有理数的a的值是【难度】3星【解析v2012 = 2x2x503./_6/ = 503 【答案】503 【例16】若1.815848 = 1.22,则引-1815848=_【难度】2星【解析】略【答案】一 122【例17】已知a-2的平方根是±2，2a+h + 7的立方根是3,求a2 +b2

17、的算数平方根.【难度】2星【解析】."-2 = (±2几"=6;加+ /? + 7 = 3'且“ =6, /.Z? = 8 ,/.+82 = Jio6 = 10 【答案】10【巩固】已知A = ,fty/n-m + 3是川-加+3的算术平方根，B = nm + 7n是?+7的立方根，求B+A的平 方根.【难度】2星【解析】由題可知一： = 解得"'竽，A =帖=0, B = </6 + 7x3 = /27=3, /. ±/o + 3 = ±>/3 加一 2川 + 3 = 3,: = 3» 

18、7;【答案】±75.【巩固】已知疔=“，r =/7(y<0),且J(4“-/»2 =8 3>4“), 3(“ + b)'=18,求小的值.【难度2【解析】yl(4ci-b)2 = &曲一用=& b > 4a,二 一 4" = 8 ;5C#(a + » = 1 &a + 方=18 ,济军彳寻a = 2,b = 6x = &y = -4,«xy = 32 【答案】32【例18】2；：a + |b+1| = 2亦- & -1 -1 ,求“ + 2Z?3c 的值.【难度】2星解析】原式可

19、变为(a - 2-Ja + 1) + |方+1| + &-1 = 0 ,.(需一 1)，+ ” +1| + &- =0,/.n = Lb = -Lc = 1.t/ + 2/?-3c = l + 2(-I)-3xl=-4 【答案】-4【例19】已知数皿的小数部分是b,求戸+12戻+37戻+弘-20.【难度】3星【解析】本題釆用了整体代入的数学思想./9<14<16, 3<714<4,.>/14 的整数部分为 3,小数部分为=府一 3, /. 714 = 3 + ,左右平方可得14 = 9+6b+, 戻=5-6庆Z/+12Z/+37 戾+砂一20=(5

20、 - 6b)2 +12b(5 - 6b) + 37/?2 + 6/? - 20=25 + 36b2- 60b + 60b 一 12b2 + 31b2 + 6b - 20= 25 + Z/+6b-20= 25 + 5-6/? + 6/?-20=10【答案】10模块七二次根式的基本概念及化简二次根式概念(“ > 0)("< 0)二次根式的概念：形如心(t/>0)的式子叫做二次根式.二次根式的基本性质：需二0 (> 0 )双莹非负性；(2)(苗)'="(t/ > 0 ):J?" = p/| = <【例20】设尸込寻吾二1.求使

21、y有意义的x的取值范围.【难度】2星【解析】对二次根式定艾的考察2-x>02x +1 > 0解得-丄W2.2【巩固】当兀时，畧有意义.【难度】2星7 r【解析】对二次根式定艾的考察，通过观察可以发現a-2-2x + 3 = (a-1)2 + 2>2>0.要使广20,；r-2x + 32-x>0H卩可，/.a<2【答案】x<2【例21】 后韦+ 77右=庞-2011+>/2011-7在实数范用成立，那么2宀的值是多少？【难度】2星【解析】此題是对需(f/>0)的考察.由题可矢，z-201in0.2011-zn0,.z = 2011, >

22、/57K+77=O , .2x-6 = 0,y + 2 = 0,/.x = 3,y = -2 .2刊=20111=201 = 2011 【答案】2011【巩固】若川适合关系式J3x + 5y 一 2 一？ +(2x + 3'一m = Jx 一 199 + Jl99一 x一 y »试确泄加的值.【难度】3星【解析】此题依然是对苗(t/>o)的考察，但是如果能观察出x-199 + y与199-x-y互为相反数此题13会更直接.vx-199 + y >0J99 x y >0,.*. 199 x -y = 0,/.x +y = 199 ,/. J3x + 5y-2-

23、i +(2x + 3y -m = 0 ,3x + 5y-2-加=02x + 3y 加=0解得x = 2m - 6 y = 4 加.x+y = 2加一6 + 4 加=？一2, /.w 2= 199 ./? = 201. 【答案】201总结：在遇见苗一定要注意題目本身隐含的条件a>09且>0,也就是说苗具有双重非负性.【例22】化简：J4爪-4“ + 1-小-加+ /2【难度】2星【解析】本题考察的是屁=|“|,去绝对值时，一定要注意“的正负. 也厂 4a71 _= /（2z/-17 _ & 吋=|2“_1|_|1_几丄 W a W1 , /.原式=2a 1 （1“）=加1 1

24、+a = 3a 2 .2【答案】3“一2巩固i0<x<l<y<2,贝'J yjx2 + y2 -Zxy+ 4x-4y + 4 - yj-2x+x2 - yjy2 -4y +4 =【难度】3星【解析】0<x<l<y <2 9 .原 式=l(x y)2 +4(xy) + 2" J(y_2)，=J(x-y + 2)2 - J(l-x)2 - J(y_2)，= |a->' + 2|-|1-a-|-|>'-2|=x _ y + 2 _ (1 _ X)_ (2 - y)= x-y + 2-l + x-2+y= 2

25、x + l【答案】2x + l总结：在遇见 Q 时，一定要先化简成问，而不是直接化简成匕 因为去绝对值吋，“的正负不同结果是 不同的.二次根式的乘除最简二次根式：二次根式衙（67>0）中的d称为被开方数.满足下面条件的二次根式我们称为罠简二次根式:被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式.二次根式的乘法法则:二次根式的除法法则:yfa = 4 ( 6/ > 0 /?>0 )=耳(“AO, b>0 )a、b都非负.否則不成立,利用这两个法则时注意a、b的取

26、值范围，对于=亦丽 如斤"?可H 斤方斤亦【例23】已知xy>0,化简二次根式的正确结果为（）A y/yB ypyC 一 J7D -【难度】2星【解析】解題的关靈是确定被开放式字母的符号.由題可知十>0,且一,又厂>0, /.x<0,原心丄F = _F【答案】DA'【巩固】化简二次根式“的结果是.【难度】2星【解析】解題的关靈是确定被开放式字母的符号.【答案Ja 2【例化简卜存需所得的结果是（A.C.【难度】3星B.D.1丄丄n I + /1n l + /i【解析】原式彳计-和需彳计-2x乎诂+詁厂和+卜£） +、占【答案】C【巩固计算720

27、09x2010x2011x2012 + 1 -20102的结果是【难度】3星【解析】解本题时注意完全平方公式的应用.原式=72009 x(200 + 0 x (2009 + 2) x (2009 + 3) + 1 -20102 =2009 x (2009 + 3)(2009 +1)(2009 + 2)J +1 -2O1O2 =/(20092 + 2009 x 3) x (20092 + 2009 x 3 + 2) +1 -20102 =7(20092 + 2009 x 3)2 + 2 x (20092 + 2009 x 3) +1 -20102 =7(20092 + 2009 x 3+1)2

28、- 20102= 20092+2009x3 + 1 一 2010= 20092 - 2010,+6027 + 1= -4019 + 6028= 2009【答案】2009(1)U-3)°-(l)-2-(-l)3-(3) (4 + 3>/5?【难度】2星【例25】计算(2) (2忑_3冋(2返+3近)(4) (x/5-x/2)2x(>/5 4-x/2)2解析】(1)(打一3)。一(丄尸一(_1尸_(仝)2 = 1_4+1_丄=一2丄:2 2 2 2(2) (273 - 3V?)(2x/3 + 3>/2) = (2a/3)2 -(3>/2)2 = 12-18 = -

29、6 :(3) (4 + 3苗尸=16 + 45 + 245 = 61 + 2475 :(4) (亦-迈)(辰外=“-血(苗+向2=(5一2)2=9 . 【答案】(1) 一2丄；(2) -6： (3) 61 + 24J5; (4) 9.2同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化.互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式. sla+>/b与 奶一心互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0【例26】若最简根式心咄

30、2加+ 5-27和、/加+加-6是同类二次根式,则加= n=【难度】2星【解析】判斷是同类二次根式首先必须是置简二次根式，然后被开方数完全相同即可.9加一 2 + 1 = 2“ y Hl = 9由題可知4,解得?2m + 5n -27 = m + 2n-6n = 4» »【答案】9 ,4【例27】方程庞+“=>/5丽的整数解有组.【难度】3星【解析】、/! 顾T为同类二次根式，72012=27503,原方程为 Q 肩=2 应,/.设 J7 =加J5O3,*= J5O3 (inji 为 0 或正整数)，:.m+n = 2 , /.；n = 0,L2 【答案】3【例28】

31、当"匸一时，代数式 + 的值是V3-2加一 22-w【难度】1星【解析】£ +丄=出-丄=口“ + 2,m-22 一加 m - 2m_2 m - 2m = = (V3 + 2) = ->/5 - 2 9 原式=-2 + 2 = >/3 V3-2【答案】-75【练习1若加=局-4,则估计加的取值范围【难度】2星【解析】 736 < 740 < >/49, Z. 6<740<7,/.2<740-4<32【答案】2<40-4<3【练习2阅读下而数学领域的滑稽短剧，你觉得结果2=3荒谬吗?找出它们错误的根源吗? 第一

32、幕：4-10 = 9-15第二幕：等式两边同时加6丄,4-10 + 6丄= 9-15 + 6丄444第三幕：上式变形，得2利用上而所提供的解法，请化简：-2x2x| + (|)2=32-2x3x| + (|)2第四幕：利用a2-2ab + b2=(a-b) 得到：(2-|)2 =(3-|)2第五幕：两边开平方，得2- = 3-2 2第六幕：两边加上丄，得到等式2 = 3!2【难度】2星【解析】荒谬.第五幕时出了错误.开方时，没有分类讨论.第五幕：两边开平方，得2- = 3-(舍去)或2-=一32 2 2 2第六幕：移项得，2 + 3 = 2x-,即5 = 52【答案】荒谬.第五幕吋出了错误.开

33、方吋，没有分类讨论.【练习3】=逅三7三11,求n, b的值.a 一 1【难度】2星【解析】考察二次根式非负性.【答案】“ =1"=一丄2【练习4】阅读下列解题过程：1、1_1 X(>/5 +>/4)_y/5+y/4_ 斥 C" 芹蔚广(屈一苗厂7- 一7(2)1_1x(点-屈>/6+ 75 "(76 + 75)x(76-75)请回答下列问题:(1) 观察上而解题过程，请直接写出的结果为1 1172010 + 011yjn + M + 11【难度】2星【解析】对原式的每一项进行分母有理化,原式=血一 1+75 一血+阿TT - 75丽=75而T-1.【答案】(1)VJ77T-丽；(2)V20TT-1【练习5】当“为整数时，i正明曲 +1)(“ + 2)(“ + 3) +1是一个整数. 【难度】3星解析+1)( + 2)(