高考数学第一轮复习线性规划备考

1、线性规划问题【2021年高考会这样考】1 考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值或取值范围2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.【复习指导】1 .掌握确定平面区域的方法线定界、点定域.2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法图解法，注意线性规划问题与其他知识的综合.01净考基自主导学根底梳理1. 二元一次不等式表示的平面区域1一般地，直线I: ax+ by+ c= 0把直角坐标平面分成了三个局部： 直线I上的点x, y的坐标满足ax+ by+ c= 0; 直线I 一侧的平面区域内的点x, y的坐标满足ax+ by+ c0; 直线I另一侧的平面区域内的点x, y

2、的坐标满足ax+ by+ cv0.所以，只需在直线I的某一侧的平面区域内，任取一特殊点X0, y0,从ax0 + by。 + c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.2由于对直线Ax+ By + C = 0同一侧的所有点x, y,把它的坐标x, y代入Ax + By+ C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点X0, y0，由Ax0 + By0 + C的符号即可判断 Ax+ By + C 0表示直线Ax+ By + C = 0哪 一侧的平面区域.2. 线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x, y的

3、一次不等式或方程组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题助修撤烬一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，.经常采用.“直线定界，特殊点定域一的 方法.(1) 直线定界即假设不等式不含等号,.那么应把直线画成虚线；假设不等式含有等号，. 把直线画成实线.(2) .特殊点定域，.即在直线-Ax 土 By土 C亍.0.的某一侧取一个特殊点(x.，一 yo)作为测 试点代入不等式检验,.一假设满足不等式,那么表示的就是包括该点

4、的这一侧，否那么就 表示直线的另一侧.特别地，当C壬Q时，常把原点作为测试点；当一.C三0时， 常选点(1,0)或者.(0,1)作为测试点.一个步骤利用线性规划求最值.，.一般用图解法求解，其步骤是:(1) 在平面直角坐标系内作出可行域;(2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形;(3) 确定最优解：在可行域内平行移动冃.标函数变形后的直线， 从而确定最优解;.(4) 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值两个防范(1) 画出平面区域.防止失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.(2) 求二.元一次函数.z三ax 土 by(ab0).的最值，将函数一.z三ax土by转

5、化.为直线的斜. 截式.:y= |x 土 b，-通过求直线的截距 b的最值间接求出z的最值.要注意;当一.b 0时.，截距b取最大值时?z也取最大值；截距.，b取最小值时，.z.也取最小值；当b 0时，截距.b取最大值时，.z.取最小值；截距.|取最小值时，z取最大值. 双基自测1.(人教A版教材习题改编)如下图的平面区域(阴影局部)，用不等式表示为A. 2x y 30C. 2x y 30解析 将原点(0,0)代入2x y 3得2X 0 0 3= 3 0.答案 B2 以下各点中，不在x + y 10,即点(0,0)在x 2y+ 20的内部，在x+ y K 0的外部，x+ y 1?0,故所求二元

6、一次不等式组为x 2y+ 2 0.答案 A4. (2021安徽)设变量x, y满足|x|+ |y| 1,那么x+ 2y的最大值和最小值分别为().A. 1, 1B. 2, 2C. 1, 2D . 2, 1解析 法一 特殊值验证：当y= 1, x= 0时，x+ 2y= 2,排除A , C;当y= 1, x= 0 时，x+ 2y= 2,排除 D,应选 B.法二 直接求解：如图，先画出不等式xi+|yS 1表示的平面区域，易知当直线 x+ 2y= u经过点B , D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax= 2 , umin =2.答案 B5 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资

7、每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人， 请工人的约束条件是.50x+ 40y 0y 0,【例1】?2021湖北直线2x+ y 10= 0与不等式组表示的平x y 2,4x+ 3y 20面区域的公共点有.A. 0个 B . 1个 C . 2个 D .无数个审题视点准确画出不等式组所表示的平面区域，比拟直线2x + y 10 = 0与4x+ 3y 20= 0的斜率即可判断.解析 由不等式组画出平面区域如图阴影局部.直线 2x+ y 10= 0 恰过点 A5,0,且即直线2x+ y 10= 0与平面区域仅有一个公共点A(5,0).方法总结?答案 B

8、不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集因而是各个不等式所表示的平面区域的公共局部.0 x0,所表示的平面区域的面kx y+ 2 0).B. 3积为4,那么k的值为A. 1C. 1 或一3解析其中平面区域kx y+ 20是含有坐标原点的半平面.直线kx y+ 2= 0又过定点0,2，这样就可以根据平面区域的面积为 4,确定一个封闭的区域，作 出平面区域即可求解.平面区域如下图，根据区域面积为4,得A2,4，代入直线方程，得k= 1.答案 A考向二求线性目标函数的最值【例2】？2021广东平面直角坐标系xOy上的区域 D由不等式组0 x2,y2,给定.假设Mx, y为D上的动

9、点，点A的坐标为2, 1那么z=x 2yOM O只的最大值为.A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4,2审题视点作出平行域D ,然后解出目标函数z的表达式，用截距法求z的最大 值.1RK=J2 解析 画出区域D，如图中阴影局部所示，而z= OlM O只=2x+ y,：y=、2x+ z,令Io： y= 2x,将Io平移到过点(2, 2)时，截距z有最大值，故zmax=,2X 2 + 2 = 4.答案 B丄心 求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0,将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解.x+ 2y 30,假设目标函数z= ax+ y(其y 1

10、 0)仅在点(3,0)处取得最大值，那么a的取值范围是()yO(35x- Xy =z解析 画出X、满足条件的可行域如下图，要使目标函数z= ax+ y仅在点(3,0) 处取得最大值，那么直线y= ax+ z的斜率应小于直线x+ 2y 3= 0的斜率，即1 1av 2，-a 2-答案 D考向三求非线性目标函数的最值x 4y+ 3 0,【例3 ?变量x、y满足3x+ 5y 25 1.(1) 设z=-，求z的最小值；x(2) 设z= x2 + y2，求z的取值范围.审题视点利用目标函数所表示的几何意义求解.x 4y+ 3 0，解 由约束条件 3x+ 5y 25 1.作出(x，y)的可行域如下图.解得

11、A 1,百解得 C(1,1).解得 B(5,2).由X，3x+ 5y 25= 0，由 x=勺，x 4y+ 3= 0，x 4y+ 3= 0， 由 3x+ 5y 25= 0， (1)Vz= y=0. z的值即是可行域中的点与原点 O连线的斜率.观察图形可知x x 0(2)z= x2 + y2的几何意义是可行域上的点到原点 0的距离的平方.结合图形可知, 可行域上的点到原点的距离中，dmi n = |0C|= 2 ,dmax= |OB|=V29.2 z 0，【训练3】如果点P在平面区域x+ y 2 0-1C. 2 2- 1 1解析13如图，当p取点o, 2 , Q取点0, 1时，PQI有最小值为2.

12、答案 a考向四线性规划的实际应用【例4】？某企业生产A, B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力个煤吨电千瓦A产品394B产品1045生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？审题视点题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润，这个利润是由两种产品的利润所决定的，因此 A，B两种产品的生产数量决定着该企 业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出A，B两种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函

13、数.解 设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得3x+ 10y 300，9x+ 4y 360，4x+ 5y0，y0.耳+5=20070目标函数为z= 7x+ 12y.作出可行域，如图阴影所示.当直线7x+ 12y= 0向右上方平行移动时，经过 M(20,24)时z取最大值.该企业生产A, B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润.心 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题.【训练4】(2021四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量 为10

14、吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往 A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一 次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆 乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理方案当天派用两 类卡车的车辆数，可得最大利润 z=().A. 4 650元B. 4 700元C. 4 900元D . 5 000元77Q解析 设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z= 450x+ 350y，x+ y 12,2x + y72,作出相应的平面区域，z= 450x0 x 8,0 y 7,x+ y= 12,+ 350y= 50(9x+ 7y

15、),在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元.2x+ y= 19答案 CUli KAOTlZHUAIMXdANlgTLJPO考示名师*f-3E03血考题专项突破难点突破16高考中线性规划问题近几年新课标高考对线性规划问题的考查主要是以选择题或填空题的形式出现， 线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得， 所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代 入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值.x+ 2y 5 0,【例如11 ? 2021山东设变量x, y满足约束条件 x y 2 0,数z= 2x+ 3y+ 1的最大值为.)分别求出两两直谍的仝屛代、目标网致藤证 即可电!5 -i - io：由_ 2 =八得即心=5JC = 0 ,j =】Q选幵*- n ar w aw ra ik * * waI这种解医减少了柞圈的时间体現了粽殊与j 二股理救奎冬理一x+ 3y 3?0,【例如2】? (2021浙江)假设实数x, y满足不等式组 2x-y-3 0,且 z=x+y的最大值为9,那么实数m等于.B. 1 C. 1 D. 2刚好是例如1的一个逆向问题，仍可以利用边 界点来处埋咄目标函数乂= = + $的畐大偵是J易知当目: