逆矩阵的Jordan标准形的计算方法

1、逆矩阵的Jordan标准形的计算方法 周永安秦建国，王力 (郑州轻工业学院数学与信息科学系，郑州，450002.中国) 摘更 方阵A的Jordan标准形是与A相似的矩阵中最简爪的矩阵。木文以A = PJAP为基础.求得了与 A1相似的丿7的表达式，求得r J ；的Jordan分解式.还给出了对J；进行相似变换将其变成其Jordan标 准形的相似变换矩阵Q的优雅表示。 关键词逆矩阵/相似矩阵/Jordan标准形 Calculation Method for the Jordan Canonical form of An Inverse Matrix Yongan ZHOU, Jian-guo Q

2、IN. Li WANG (Department of mathemat i cs and information science, Zhengzhou Uni versity of Light Industry, Zhengzhou.450002, China ) Abstract Jordan canonical form of square matrix A is the most simplest matrix similar to A Based on the result that A = PJA = PJA AP P 1 1, J, J which is similar to A

3、A 1 1 and the Jordan decomposition formula of J J x x are found, as well as the graceful expression of the similar transformation matrix Q turning 丿 , to its Jordan canonical form is also obtained Keywords inverse matrix , similar matrix, Jordan canonical form 1引言与概念 矩阵已成为各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工

4、具. 而与方阵A相似的矩阵中，A的Jordan标准形是最简单的.它堪称A的一张名片， 因为A的行列式， 谱，A的特征值的代数重数与儿何重数及其指标，A的最小多项式 等A的固有的属性都可以从方阵A的Jordan标准形上一眼看出. 文1给出了方阵A有Jordan分解的结论，文2从新的角度研究了 A的Jordan分解 A = PJPJA APPX X (其中J JA A是A的Jordan标准形)，文3将这一结果推广至四元数矩阵，本 文以已知结果A有Jordan分解A = PJAP1出发， 研究丿： 的求法及其表达方式， 给出 丿：的Jordan分解式，使得我们可以直接得到丿：的Jordan分解式；还

5、将给出对丿： 进行相似变换并将其变成其Jordan标准形的相似变换矩阵Q的优雅表示.本文仅研究 可逆矩阵的悄形，并以I”与E”分别表示n阶单位矩阵与n阶上位移矩阵. 2相关概念及性质 定义1称形如 人=礼+码 (久为复数) 的m m阶方阵为Jordan块，其中为m阶上位移矩阵. 定义2设A = (a(a几“为刀阶方阵，B B = = (/?. )ZMXMJ为加阶方阵，则称(n+m)(n+m)阶方阵 C C = = (十为A与B的直和，记作A8,其中 a a i,jni,jn =瓜 z? +1 /, j n +j n + . (2) 0 其他的订 定义3若矩阵J是若干个Jordan块的直和： J

6、 J十J J叫. (3) 其中n n = = +m+m2 2 + - + “.，则称n阶方阵J为Jordan矩阵.与矩阵A相似的Jordan 矩阵称为矩阵A的Jordan标准形. 3逆矩阵的Jordan标准形 3. 1逆矩阵的Jordan标准形 众所周知，对于n阶矩阵A,若64) = 不兀加禺，人依次有代数 重数4如也及几何重数迅时,存在n阶可逆矩阵P,使 hAP吩仏，丿叫(人)，仏0s),丿叫) 其中 儿(入)= AUj+EAUj+E , Q = i2eJ = 12M) 定理1：设(4)为已知，则 pTp = diagdiag j j- -l lhAhA，广叫，广叫，厂，厂.2，,广”M 其

7、中 “ =/ -L-E + 丄 2 + + （_1）叫戶_!_叫戶 ,n,nijij 2 如丿 兄2 ,n,nijij 兄3 叫 7 &叫m mu u （5） 证明：由(4)式，得 经过计算,可得下述Toeplitz矩阵: -1 叫J 1 V 1 1 A 二+叫+EJEJ + +（_1）- Ay /Lj/Lj /Lj （6） 定理2 对于扁，存在2门阶的可逆矩 Q Q議兀:Q Q叫=土 I I叫+ E叫 j j, , a a = = 1,2,$ j = 1,2,斤） (a)对于形如(6)式的矩阵，取Q叫为如下形式 Q Q叫=k，-為2 2，為2 +九，(-1严您/%2 + 4.严沪叫3

8、 + 证明 厂2 ?2则厂2 厂2几 (8) 其中Q Qttl/ttl/的第k (k = 2,3,“丿)列为 勺是第i个维的单位坐标列向量. 直接计算可知, 兄 /叫j j + + E E叫j j , , (f = 12 - - ,s,j =,s,j = 1,2,/；) (b)利用(8)式，有n阶可逆矩阵 Q Q=也蚣。”|.1 Q Q叫.2.2 QngQngy y Q Q叫.1.1，Q Q叫丄，、 使A 的Jordan标准形为 QPAPQ=diagQPAPQ=diag厶厶，,人, 其中，J J： =diag=diag - -I,I, 是7;个阶数分别是“ ，叫且以 (9) 为主对角线 上的元素的Jordan块作成的的子Jordan矩阵,/ = 1,2,-,5 3.2 例设J3=2I3 + E3, 0由定理1, 试求定理2中的Q，使Q3J3Q3 =丄h+E. 解按定理2 。3=竹久6 23e +24e3 Q?J；Q = i3+E3 参考文献 1 陈公宁.矩阵理论与应用M.北京:科学出版社,2007.08, 25-26. 2 王 英.若而当标准形问题新探J湖南理工学院学报(自然科学版),2007. 20(1): 17-19. 3 陈龙玄，侯仁民，王亮涛.四元数矩阵的 Jordan 标准形J.应用数学和力学，1996, 17