2015高中数学必试部分的重要知识点(30页)

1、2015高中数学重要(必试)(带号部分为理解难点)基本数据和公式：111213141516171819121144169196225256289324361152535455565758595225625122520253025422556257225902523456789108276412521634351272916326412825651210241.4141.73222.2362.4492.6462.82833.162常用勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41； 11，60，61e2.71828 (无理数) o3.14 (无理数)lg20.3010

2、lg30.4771黄金分割比：平方差公式：x2y2(xy)(xy)完全平方和（差）公式：(xy)2x22xyy2三数和平方公式：(xyz)2x2y2z22xy2xz2yz立方和（差）公式： 完全立方和（差）公式： 比例性质：(确保分母不为0)常见的角及其范围：张角(视角)： (0，o)俯角、仰角：水平方向向下或向上与视线成的角， (0，)方位角：正北方向顺时针方向转过的角，一般用于海面上的测量与计算，0，2o)方向角：如北偏东40°(也可说是东偏北50°)等坡度：路面或山坡与水平线成的角，(0，) 直线的倾斜角：0，o)异面直线所成的角：(0， 斜线与平面所成的角：(0，)

3、直线与平面所成的角：0， 二面角：0，o直线的倾斜角a0，o) 平面向量夹角的取值范围：0ho三角形的“心”名称定义（概念）图形性质位置个数重心三条中线的交点ABCDEFG内部1个外心外接圆圆心三条中垂线的交点AFBDCEOOAOBOC(到三顶点等距离) 内部(锐角三角形)斜边中点(直角三角形)外部(钝角三角形)1个内心内切圆圆心三条角平分线的交点ABFCDIEIDIEIF(到三边等距离)内部1个垂心三条高的交点ABCDEHFAHBCBHACCHAB内部(锐角三角形)直角顶点(直角三角形)外部(钝角三角形)1个旁心旁切圆圆心到三边(直线)等距离外部3个当ABC为正三角形时，重心，外心，内心，垂

4、心四“心”合一，此时称为中心，正多边形都有唯一的中心特殊多边形：ABCDEFAFBFCFDFABCDEFMNABCDFFE(1)E、F分别是正方形ABCD两边BC、AB中点，则AEDF(2)E、F分别是矩形ABCD两边BC、AD中点，BCAB (正方体的对角面就是这样的矩形)，则AEBD，CFBD且M、N三等分BD(3)由两个等边三角形拼成的菱形：ACAB(4)边长为a的正六边形，则AEAB，AEa，集合：1集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性2注意区分集合中元素的形式，一定要抓住集合中的代表元素如： xxylgx指函数ylgx的定义域(0，)； yxylgx指函数ylgx的值域R；

5、(x，y)xylgx指函数ylgx图象上所有点的集合 特别要注意括号中的附加条件，如xZ，xN等【问题】(1)设集合Mxxy3，集合Nyxy(x1)2，xM，则MN (2)Mx(1，2)(3，4)，R，Nx(2，3)(4，5)，R，则MN (3)设全集U(x，y)xx、yR，M(x，y)x1，N(x，y)xyx1，则ÚU(MN) 答案：(1) 0，1 (2) (2，2) (3) (2，3)3集合a1，a2，an的子集个数为 真子集个数为；非空子集个数为；非空真子集个数为4ABABAABB (AB时别忘了AÆ 的情况)【问题】(1)满足1，2GMÍ1，2，3，4，5

6、的集合M有 个 (2)Axxx23x40，Bxxax10，ABB，则a (3)Axxax22x10，如果ARÆ，求a的取值范围 答案： (1) 7 (2) 0，1， (3) a0 5德摩根公式： ÚU(AB)(ÚUA)(ÚUB) ÚU(AB)(ÚUA)(ÚUB)逻辑：原命题：AB 逆命题：BA否命题：¬ A¬B 逆否命题：¬ B¬A1四种命题：注：原命题与其逆否命题是等价命题 (否命题与逆命题也是等价命题)， 对于一个命题直接研究有困难时，可转为研究其等价命题来得到结果2若AB，则 A

7、是B的充分条件 B是A的必要条件 B的充分条件是A A的必要条件是B注：1°四种说法实质是一回事 2°要回答“甲的充分条件是 ? ”，实质是要考察“?甲”3复合命题真假的判断：p与非p 一真一假p且q 同真才真 (有假即假)p或q 同假才假 (有真即真)pq为假，pq为真p与q一真一假3命题的否定(1)全称命题的否定是存在性命题，全称命题“xM，p(x)”的否定形式为“xM，p(x)”存在性命题的否定是全称命题，存在性命题“xM， p(x)”的否定形式为“xM，p(x)”4命题的否定：只否定结论 原命题的否命题：既否定条件又否定结论5复合命题的否定：p且q 的否定： p或q

8、p或q 的否定： p且q 函数：1求函数定义域的常用方法：由解析式有意义的条件列不等式 分式分母不为0；偶次根式被开方数非负；对数式真数为正；对数式、指数式底数为正且不为1 2求函数值域的常用方法： 直接法(常结合图象，利用函数单调性求，如求二次函数值域，对于三次函数一般要求导) 逆求法(如求一次分式函数y，xm，n；y；y；y等的值域) 练习：求y的值域 法一：cosx，xx1 法二：y2 y，判别式法(主要用于求二次分式函数y的值域) 换元法 利用单调性 (必须能作出函数的草图)3求函数解析式的常用方法： 凑配法：如已知f(x)x2，求f(x) f(x)x22 (xxx2) 换元法：如已知

9、f(1)1，求f(x) f(x)x22x (x1) 替换法：如已知f(x)，求f(x) f(x) 待定系数法：如f(x)为一次函数，ff(x)9x7，求f(x) f(x)3x或f(x)3x如f(x)为二次函数，f(x1)f(x1)2x24x，求f(x) f(x)x22x1 图象法：如f(x)与y2x24x1(x2)关于x2对称，求f(x) f(x)2x212x17(x2)注：求函数解析式时一般应求出其定义域4已知fg(x)，xA，求f(x)的定义域：即求g(x)在xA的值域 已知f(x)，xA，求fg(x)的定义域：即解不等式：g(x)A 练习：已知f(2x)的定义域为(1，4，则f(x)的定

10、义域为 (2，16已知f(x)的定义域为1，3)，则f()的定义域为 (，2已知f(1)的定义域为4，16)，则f(x5)的定义域为 2，0)5判断函数奇偶性的方法：(一)利用定义 (二)利用图象 (三)利用结论? 0? 1注：利用定义既可直接考察f(x)与f(x)的关系，也可考察：f(x)±f(x) 或6 f(x) 任何一个定义域关于原点对称的函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和7定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件若奇函数f(x)在x0处有定义，则必有f(0)0偶函数f(x)必有f(x)f(x)f(xxx)奇函数×奇函数偶函数，奇函数×偶函数奇函数

11、8常见的奇函数： y， y，y，y， y， y函数y总是非奇非偶函数9复合函数yfg(x)的性质：(1)奇偶性： (f与g中有一个为偶，则y为偶) 若f奇g奇，则y奇； 若f奇g偶，则y偶； 若f偶g奇，则y偶； 若f偶g偶，则y偶(2)单调性 (内外层单调性一致则增，相异则减：同增异减)【问题】(1)ylog3(x22x3)的增区间为 (2)y的增区间为 (3)y的减区间为 (4)定义在(2，2)上的奇函数f(x)是减函数，且f(m1)f(2m1)0，则m 答案：(1) (3，) (2) 5，2 (3) (ko，ko kZ (4) (，)10函数的三种基本变换 平移变换左右平移：yf(x)

12、yf(x1)上下平移：yf(x) yf(x)1将直线y3xa先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，还会回到原来的位置吗?不会 伸缩变换： 左右伸缩：yf(x) yf(2x) 上下伸缩：yf(x) y2f(x)注：水平方向上的变换似乎总与习惯“相反”，关键是弄清：x? 对称变换： yf(x)yf(x) (x，y)(x，y) yf(x)yf(x) (x，y)(x，y) yf(x)xf(y) (x，y)(y，x) yf(x)yf(x) (x，y)(x，y) yf(x)xf(y) (x，y)(y，x) 注：对于曲线的对称变换，可借助点的对称变换来理解和掌握11函数yf(x)向右平移a个单位，再向上平

13、移b个单位，则得函数yf(xa)b方程f(x，y)0表示的图象向右平移a个单位，再向上平移b个单位，则得方程f(xa，yb)012(1)若f(x)f(x)，说明一个函数yf(x)具有图象关于y轴对称的性质而yf(x)和yf(x)，则说明这两个函数具有图象关于y轴对称的联系(2)若f(1x)f(1x)，说明一个函数yf(x)具有图象关于直线x1对称的性质而yf(1x)和yf(1x)，则说明这两个函数具有图象关于y轴对称的联系13(1) f(x)f(x2a)f(xa)f(xa)f(x)关于xa对称f(xa)关于x0对称f(xa)是偶函数f(x)xx0xaf(x+a)左移af(x)x(a,0)f(x

14、+a)左移a(0,0) 若f(xa)f(xb)，则f(x)关于x对称【一个函数和一半】函数f(xa)与f(xb)关于x对称【两个函数列方程】(2) f(x)f(x2a)f(xa)f(xa)f(x)关于(a，0)对称f(xa)关于(0，0)对称f(xa)是奇函数 若f(xa)f(xb)，则f(x)关于(，0)对称【一个函数和一半】函数f(xa)与f(xb)关于(，0)对称【两个函数列方程】 若f(2ax)f(x)2b，则f(x)关于(a，b)对称14若f(xa)f(x)，则f(x)是以|a|为周期的周期函数；若f(xa)f(xb)，则f(x)是以|ab|为周期的周期函数；若f(xa)f(x)，则

15、f(x)是以2|a|为周期的周期函数；若f(xa)，则f(x)是以2|a|为周期的周期函数；若f(xa)，则f(x)是以2|a|为周期的周期函数； 若函数f(x)关于直线xa，xb对称，则f(x)是以2|ab|为周期的周期函数； 若函数f(x)关于点(a，0)，(b，0)对称，则f(x)是以2|ab|为周期的周期函数；若函数f(x)关于直线xa和点(b，0)对称，则f(x)是以4|ab|为周期的周期函数15能正确、迅速地作出下列重要函数的草图： y：是以为顶点，且在x轴上方的半支抛物线(a的符号决定开口方向) y：是x轴上方的半个圆(将解析式变形可得圆心、半径)推广：y (均指在x轴上方的部分

16、) y：是以(，)为中心，x，y为渐近线的双曲线x2yO1xyO1 对勾函数yx：增区间为：(，1和1，) 减区间为：1，0)和(0，1 yx：在(，0)和(0，)上均为增函数一般地：对勾函数yax (a、b0)的 增区间为：(，和，)；减区间为：，0)和(0，函数yax (a、b0)只有增区间：(，0)和(0，) y|axb|：“V”字形图 y|axb|±|cxd|：用“四点法”作(1)解不等式：x2xxx2x3x410 x y753223.51.5(2)作函数yx2xxx2x3x的图象(3)不等式x2xxx2x3xa的解集为R，则a(，)； 不等式x2xxx2x3xa的解集为R，

17、则a(，； 不等式x2xxx2x3xa的解集为Æ，则a(，；O x yO x yO x yyf(x)y|f(x)|yf(|x|)16已知yf(x)的图象，能作出y|f(x)|和yf(|x|)的图象17已知ab，能作下列函数的图象：y(xa)xxbx yxxax(xb) y yabxabxabxabxxxa>0有极值（b23ac）a>0无极值（b23ac）xxa0有极值（b23ac）a0无极值（b23ac）18熟练掌握三次函数的图象特征：19 正分数指数幂： (a0，m、nN*，且n1)负分数指数幂： (a0，m、nN*，且n1)20对数运算法则： 换底公式： 特例： 重要

18、恒等式：（N0） （NR）21能判断同一坐标系中几个指数函数(或对数函数)的底数的大小关系：只要作直线x1(或y1)即可O x yy11y4y2y31O x yy1y4y2y311如上图，同一坐标系中有：y3x y5x y0.3x y0.7x的图象，则曲线y1，y2，y3，y4对应的函数依次是：如上图，同一坐标系中有：y1logax y2logbx y3logcx y4logdx的图象，则a，b，c，d的大小关系是：b>a>1>d>c>022幂函数的图象：必过(1，1)，在第一象限中， 时单调递增，时单调递减 偶函数在第二象限中有图象，奇函数在第三象限中有图象，第

19、四象限中必无图象23二次函数：yax2bxc (a0) (一般式) 对称轴为x，顶点为(，) ya(xm)2n (顶点式) 对称轴为xm，顶点为(m，n) ya(xx1)(xx2) (两点式) 对称轴为x 二次函数在闭区间上的最值必在区间端点或顶点处取得解二次函数问题的一般思路：转化作图列式求解研究二次函数的重要工具：开口方向；判别式符号；对称轴位置；区间端点函数值符号韦达定理(x1x2，x1x2)；判别式定理：求根公式：；弦长公式：|AB|24二次函数yax2bxc (a0)根与系数的关系：(x1，x2为ax2bxc0的两根)有且只有一根在(k1，k2)中 x y x y x y x y x

20、 ykx1，x2(，k)kkkk2kk2x1，x2(k，)x1kx2k1x1x2k2 f(k)<0 f(k1)f(k2)0注：二次函数根与系数的关系关键在于理解，这里仅仅就a0的情况作了考虑 对于区间是闭区间或半开半闭区间的情况，一般可先考察开区间的情况， 再考察根取区间端点的情况25关于一元二次方程根与系数的有关结论： 若a、 b是方程ax2bxc=0 (a c0)的两根， 则、是方程cx2bxa=0 的两根， a、b是方程ax2bxc=0 的两根， 、是方程cx2bxa=0 的两根26函数ylog k (ax2bxc)定义域为R，则二次函数f(x)ax2bxc的0且a0 函数ylog

21、 k (ax2bxc)值域为R，则二次函数f(x)ax2bxc的0且a0 注：这里f(x)ax2bxc可能不是二次函数，故应对a的取值进行讨论27求解抽象函数问题的常用方法：(1)借鉴模型函数进行类比探究(抽象函数具体化，只适合填空题)： f(xy)f(x)f(y) 正比例函数型：f(x)kx(k0) f(xy)f(x)f(y)，f() 幂函数型：f(x) f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)÷f(y) 指数函数型：f(x)ax f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y) 对数函数型：f(x)logax(2)利用赋值法进行逻辑探究(如令x0或1，求出f(0)或f(1

22、)、令yx或yx等)【问题】(1)若x、yR时恒有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是 (2)若f(x)的定义域为R，对任意x，yR，都有f()f(x)f(y)，且x1时f(x)0，f()1 求证f(x)在R上是减函数； 解不等式：f(x)f(5x)2答案：(1)奇函数 (2) (0，1)4，5f(x)af(x)a28不等式恒成立，能成立，恰成立问题：(1)恒成立问题：af(x)恒成立af(x)max； af(x)恒成立af(x)min；(2)能成立问题(有解问题)：af(x)有解af(x)min；af(x)有解af(x)max (3)恰成立问题：不等式f(x)a在区间A上恰成立不

23、等式f(x)a的解集为A【问题】(1) (a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，求a的取值范围(2)已知不等式2x1a23a1对一切1a2时恒成立，则x (3)已知不等式2x1a23a1对一切2x5时恒成立，则a 答案：(1)2a2 (2)(4，) (3)，29已知函数，此类问题的四种类型：f(x1)xg(x2) 导数：1常见函数的导数：() () () (sinx)cosx (cosx)sinx () (lnx) ()lna (logax) 2导数的运算法则：若f(x)、g(x)有导数，则 f(x)g(x)f(x)g(x) c·f(x)c·f (x) f(x)

24、83;g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 3复合函数的求导法则：若yf(u)，ug(x)，则·4函数的单调性：若0，则yf(x)在这个区间上单调递增若0，则yf(x)在这个区间上单调递减注：f(x) 0 (特例：f(x)x3) f(x)0不等式：1基本不等式：a、b、cR时， (a=b时等号成立)推广到三个数： (a=b=c时等号成立) 注：灵活选用公式：ab， ab2利用基本不等式求最值(取值范围)的常见题型：(1)已知mxnyp，求最值（1的代换）(2)已知p，求axby最值（1的代换）(3)已知axybxcyd0，求mxny最值（消元）3用图象法解无理不等式的常见题型：

25、4绝对值不等式基本题型及解题思路(脱绝对值)： |f (x)|g(x)| f 2(x)g2 (x) |f (x)|g(x) g(x)f (x)g(x) |f (x)|g(x) f (x)g (x)或f (x)g(x)g1(x)|f (x)|g2(x) g1(x)f (x)g2(x) 或g2(x)f (x)g1(x) 主要解法：(一)转化法 (二)图象法 (三)换元法5连不等式：af(x)bf(x)af(x)b06线性规划中的问题：ykxb表示直线ykxb上方部分c1axbyc2表示两平行直线之间的部分(a1xb1yc1)( a2xb2yc2)0表示两条相交直线形成的一组对顶角的部分(axbyc

26、1)( axbyc2)0表示两条平行直线之外的部分点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线axbyc0异侧，则(ax1by1c)( ax2by2c)0larPOaxy三角函数：1弧长公式：la·r扇形面积公式：，其中a为弧度制角P是半径为r的圆上一点，xOPa，则P(rcosa，rsina)2重要三角公式：同角关系：诱导公式： sin(oa)sina，sin(oa)sina两角和与差的三角公式： cos(ab)cosacosbsinasinb sin(ab)sinacosbcosasinb tan(ab)二倍角公式：sin2a2sinacosa cos2acos2asin2a2co

27、s2a112sin2a tan2a降幂公式: cos2a=，sin2a=辅助角公式：asinx±bcosx=sin(x±)(其中a、b>0，是锐角且tan=)注: sinacosasin(a) sinacosa2sin(a) sinacosa2sin(a)sin15°cos75° cos15°sin75°tan15°2 tan75°2 tan 3求函数f(x)=sin(x)的单调区间或解sin(x)a时只需将x作整体处理(务必使0)函数f(x)=sin(x)的一条对称轴为，则有函数f(x)=sin(x)的一个

28、对称中心为，则有4求三角函数最值常见题型及解题思路: (1) y=asinxb 利用sinx的有界性(要分a0和a0考虑) (2) (一)逆求法: |sinx|=|f(y)|1 (二)分离常数法 练习：求函数y的值域(0x) y(1，106 (3) (一)数形结合法 (视为两点连线斜率) (二) 逆求法 (x有限制范围时一般不用此法) （4） y=a(sinx±cosx)bsinxcosxc 换元法，令sinx±cosx =t，然后将y表为t的二次函数 练习：求函数y(3sinx)(3cosx)的值域(x) y8，10) (5) y=asin2xbsinxc 换元法，令si

29、nx=t1，1，则y=at2btc，t1，1 练习：求函数ycos2x2sinx3的值域(x) y，15三角形中的三边关系: |bc|abc 三角关系: ABC=o， (0A、B、Co) sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，tanAtan(BC) 面积公式: SabsinCah(abc)r (r为内切圆半径) 正弦定理 (外接圆直径)余弦定理 a2b2c22bccosA cosARt的性质: 1°勾股定理 2°内切圆半径 r =6ABC中的常见结论:(1) 若A为最小角，则0°<A60° 若A为最大角，则60°A180

30、6;(2) 若A、B、C成等差数列，则B=60°(3) AB是sinAsinB的充要条件A=B是sin2A=sin2B的充分不必要条件(sin2A=sin2BA=B或AB90°，即C90°)ABcosAcosB ABcos2Acos2B (4) 若ABC是Rt，a，b，c成等差数列，则a:b:c=5:4:3或3:4:5(5)tanAtanBtanCtanAtanBtanC，tantantantantantan17射影定理（1）直角三角形中的射影定理BACDab（2）一般三角形中的射影定理BACD 8角平分线定理内角平分线定理外角平分线定理ABDCAD平分BAC，则

31、AD平分BAC的外角，则ABCD9ABC中，已知A和对边BC，则点A的轨迹是圆弧， 当点A位于点D时，ABC的面积最大，周长也最大10ABC中，已知A和一条夹边AC，则当absinA或ab时，三角形恰有一解；当bsinAab时，三角形有两解平面向量：1平面向量的平行定理：与共线()存在唯一实数k使k x1y2x2y10 (坐标表示)平面向量基本定理：、不共线，则任意向量mn (、为一组基底)2向量的数量积：·xxxxcoshx1x2y1y2 (平面向量夹角的取值范围：0ho)注：1° cosh 2° 2·xx2 3° ·0x1x2y1

32、y20 4° xxxx xxxx()·()0向量成锐角 向量成钝角 单位向量：模为1的向量 为单位向量与BAC的平分线平行，若P在BAC的平分线上，则3已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点(x1，y1)按向量(m，n)平移后为点(x2，y2)，则x2x1m，y2y1n 函数yf(x)按向量(m，n)平移后为函数yf(xm)n4重要结论： 1° D 为BC中点，则D、E分别为BC的两个三等分点，则，ABCGA0B0C0OCBAABCDEABCDABCG 2° 若、不共线，mn，则mn1A、B、C三点共线3° G为ABC重心， 234 G为

33、A0B0C0重心，其中2，3，4数列：1Ap有关概念和性质：判定方法：(一)(常数) (n2，nN*) (二)(n3，nN*)通项公式：a na1(n1)dam(nm)d 变形应用：d求和公式：Snna1dn若nmpq，则a na ma pa q 特例：1°若mm2p，则a na m2a p； 2°a1a2 n12a nAp中依次每k项之和仍成Ap，且其公差为k2d (d为原Ap的公差)S2n1(2n1)a n 变形：a n (公差为k) (公差为2A) 成等差数列n为偶数时 S偶S奇·d n为奇数时 (其中a中 即 )2Gp有关概念和性质：判定方法：(一)(常数

34、) (n2，nN*) (二) (n3，nN*)通项公式：a na1·qn1am·qnm 变形应用：q求和公式：Sn 运用Gp求和公式时千万要注意是否q=1若nmpq，则a n·a ma p·a q 特例：1°若mm2p，则a n·a ma p2； 2°a1·a2 n1a n2依次每k项之和仍成Gp，且其公比为q k (q为原Gp的公比)a nk·q n (q为公比) Snk·ank (a为公比，a1) Snk·a nb (k0，1)3a n 注：若a1适合a n (n2)，则分段式可合

35、并成统一表达式 练习：数列a n前n项和Sn3n25n4，则a n数列a n前n项和Sn2，则a n注：若数列a n前n项和，C0，则数列a n从第2项起成AP若数列a n前n项和，BA，则数列a n从第2项起成GP4利用递推关系式求数列通项的常见题型和方法： (1) a n1a nf(n) 累加法 (2) a n1a n·f(n) 累积法 (3) a n1c·a nd 待定系数法：a n1c(a n) 练习：已知数列a n满足：a11，an12an3，则an3已知数列a n满足：a12，an2an130，则an3·1 (4) a n1c·a nd

36、83;pn 两边同除以pn后可转化为题型(3) 5数列求和常用方法：(1) 拆项求和：拆成Ap或Gp求和或利用基本公式求和(2) 裂项相消：裂成正负两项，使其能前后相消(多用于分式求和)(3) 错位相减：用于等差比数列求和 (4) 分类讨论：用于通项按奇偶分类表达的情况6月息为p%，则年息为(1p%)121 本金a元存入银行n年后(年息为p%)，则本息共计(按复利计)：a(1p%)n每年年初向银行存入相同款额a元，则到第n年年底本息(按年息p%的复利计)共： a(1p%)na(1p%)n1a (1p%)立体几何：1证明线面平行的方法：（一）判定定理 （二）面面平行的基本性质证明面面平行的方法：

37、（一）判定定理 （二）同垂直于一直线的两平面互相平行面面平行的性质：(1)ab，aaab (基本性质) (2)性质定理 (3)ab，la lb (4)夹在平行平面之间的平行线段相等面面垂直的性质：性质定理： 线线平行判定定理3线面平行面面平行性质定理3判定定理5性质定理32平行关系图：( 中数字为条件个数)a，b异面，aa，ab，ba，bbaba，b异面，ab，ba，aa，bbab线线垂直线面垂直面面垂直线线平行判定定理5定义性质定理2定理3判定定理2性质定理4定理3直二面角定义定理33垂直关系图：( 中数字为条件个数)ahbPOABhbPOABa4重要模型及结论：（1） cosa·

38、cosbcosh直线与平面所成的角是直线与平面内任一直线所成的角中的最小值POHABaEFP为AOB所在平面a外一点，H为P在a上的射影，POAPOBOH为AOB的平分线P到OA、OB的距离相等OH为AOB的平分线面POA、面POB与底面成等角OH为AOB的平分线5棱柱：将一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体 性质：两个底面平行且全等，侧面是平行四边形 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱正棱柱直棱柱棱柱正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱棱锥：棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体性质：侧面为有公共顶点的三角形 正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面

39、的射影是底面正多边形中心的棱锥棱台：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与棱锥底面之间的几何体正棱台：用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥，截面与正棱锥底面之间的几何体6长方体的性质及结论：(1)一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为a、b、c，则cos2a cos2bcos2c1(2)一条对角线与过同一顶点的三个面所成的角分别为a、b、c，则cos2a cos2bcos2c2(3)若长方体内接于球，则长方体的对角线长等于球的直径(4)若长方体的三度a、b、c满足abc，则在长方体表面从A到C1的最短距离为7圆柱：将矩形绕一边所在直线旋转一周形成的几何体圆锥：将直角三角形绕一条直角边所在直线旋

40、转一周形成的几何体圆台：将直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的几何体球：将半圆绕直径所在的直线旋转一周形成的几何体8 (大圆面积的4倍) 9求点P到平面ABC的距离的方法：(一) 直接法：找到P在平面ABC上的射影H，求PH的长度；(二)转移法：PQ平面ABC，求Q到平面ABC的距离Q是PD的中点，D平面ABC，则Q到平面ABC的距离的两倍即为所求(二) 体积转化法：10求三棱锥ABCD体积的方法：(一) 直接法：(二)体积转化法： (其中D，E，F，G为三棱柱六个顶点中不共面的四个)11有关圆锥的一组结论（1） 轴截面顶角是圆锥两母线间夹角的最大值 （注：这里两母线间的夹角也包括

41、钝角）（2） 设圆锥轴截面顶角为a，母线长为l，过圆锥顶点的截面面积为S，则：当a时， 此时的截面三角形的两腰(是两条母线)互相垂直当a时，sina 此时的截面即轴截面 （3） 圆锥侧面展开图扇形圆心角h等边圆锥(轴截面为正三角形的圆锥)的侧面展开图扇形圆心角为o12三棱锥PABC顶点P在底面ABC的射影为O，O是ABC的 “心”图形条件名称备注ABDCPFOEABCOPPAPBPC(顶点到底面三顶点等距离)PAOPBOPCO(三侧棱与底面成等角)外心两个条件实质一样用到：线面角P到ABC三边距离相等，且O在ABC内部三侧面与底面所成二面角相等，且O在ABC内部内心两个条件实质一样必须强调O在

42、ABC内部，否则可能为旁心用到：线面垂直、二面角ABCOPPABC，PBACPA、PB、PC两两垂直垂心两个条件实质不一样条件进一步可推得PCAB 用到：线面垂直13正三角形和正四面体中的结论：边长为a的正三角形的高为h，内切圆半径为h，外接圆半径为h棱长为a的正四面体高h，体积为，内切球半径为h，外接球半径为h解析几何：akOo1直线的倾斜角a0，o)与斜率k的关系：ktana 斜率公式：k直线l的方向向量为，则2若l1 ：a1 xb1yc1 0（或yk1xb1 ）， l2：a2 xb2yc20（或yk2xb2 ） 则 l1 与l2相交 l1 l2 l1 与l2重合 注：l1 l2的充要条件是k1 k21或l1 、l2中一个为0，一个不存在k1 k21是 l1 l2的充分条件3已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：xABx AB中点为点P到直线AxByC0的距离公式为两平行直线AxByC10和AxByC20间的距离公式为4对称问题(1)点A(x1，y1) 关于点B(x2，y2)对称的点C 的坐标为(2x2x1，2y2y1)(2)点A关于直线l对称的点为B，则 点A(x0，y0) 关于直线l：y