系统状态变量分析

1、章节第十二章系统的状态变量分析1-2节日期教学目的掌握用信号流图表示系统的方法；系统模拟教学重点用信号流图表示系统的方法教学难点用信号流图表示系统的方法教学方法讲授教学内容系统的信号流图表示这部分内容为本书第十一章第六节。用信号流图表示的系统模型简明清楚，系统函数计算过程简单。在反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设评等方而得到广泛应用。此外，借助信号流图研究系统状态空间分析也显示了许多优点。（一）概述利用方框图组合分析线性系统的方法可使求解过程简化C在结论部分已经利用一些基本运算单元，包括相加、倍乘和积分构成连续系统的模型，这种方法也成为线性系统的仿真（simulation

2、,也成为模拟当系统复杂时就需要用多个方框图来表示，为简化方框图，可采用一种简单的方法，即系统的信号流图。用一条有方向的线段代替子系统方框，线段的两端点（节点）表示该子系统的输入、输出信号，箭头的指向是信号的传输方向，而将系统函数直接写在箭头旁边，加法符号用节点代替，两条有向线段指向一点就表示相加，若是相减则将减号移至子系统的系统函数之前。这样构成的图形称为系统的信号流图，简称信流图。如图12-l（a）所示反馈系统的方框图可以用图12-l（b）所示的信号流图来表示。关于反馈系统的内容见P257。基本内容有：F厂、厂丫（“1、反馈系统中正向通路、反馈通路、误差信号的概念：5P一斗.口"2

3、、反馈系统的系统函数：-3、正（再生）反馈与负（非再生）反馈概念：|“式5）14、开环系统与闭环系统：（。）5、引入反馈可以使不稳定系统变为稳定系统；,AA°A6利用反馈系统产生自激震荡以及利用根轨迹法分析系统.'（二）信号流图中的一些术语<1、结点：表示系统中变量或信号的点。2、转移函数：两个节点之间的增益。图3、支路：连接两个汽点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。4、输入结点（源点）：只有愉出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。5、输出结点（阱点）：只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。6、混合结点：即有输入支路又有输出支路的结点。7、通

4、路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。8、开通路：通路与任意结点相交不多于一次，9、闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它结点相交不多于一次，闭通路又称环路。10、环路增益：环路中各支路转移函数的乘积.11、不接触环路：两环路之间没右在何八共巧占八12、而向窟路:从输入节点（源点）到愉出节点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。13、前向通路增益：前向通路中,各支路转移函数的乘积。例121将图12-2（a）所示的方框图改画为信号流图的形式。解：信号流图如图12-2（b）所示,（三）信号流图的性质在运用信号流图时必须遵循流图的以下性质

5、：（1）支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（2）结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。（3）具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位传输的支路，可以把它变成只有输入的输出结点来处理。（4）给定系统，信号流图形式并不是唯一的。而可以画出不同的流图。（四）信号流图的代数运算信号流图可以按一定的代数运算规则进行简化，常用的规则有：（1）只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。图12-3信号流图代数运算规则（2）串联支路的总增益，等于所有各支路增益的乘积，因而串联支路可以简化合并为单一支路。（3）通过并联相加可以把

6、并联支路合并为单一支路.（4）混合结点可以按图12-3（a）方式消掉。（5）环路可以按图12-3（b）方式消掉。利用这些信号流图的代数运算，就可以把一个复杂的流图加以简化，使之只剩下一个源点和一个阱点，从而确定系统的转移函数。（五）信号流图的梅森增益公式利用梅森增益公式可以根据流图方便的求得输入与输出间的转移函数。梅森公式的形式为："挣A式中A称为流图的特征行列式。=1一（所有不同环路的增益之和）+（每两个互不接触环路增益乘积之和）-（每三个互不接触环路增益乘积之和）+-=1-Z4+£LbL-3fab<d.ejk表示由源点到阱点之间第条前向通路的标号。gk表示由源点到

7、阱点之间第k条前向通路的增益。A,称为对于第k条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与第k条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。例12-2用梅森公式求图12-2（b）所示系统的转移函数。解：为求流图的特征行列式A,先求环路：k=（X|fX2.X1）=2G2&=（Xa-X4-乂3）=-"3G3Li=（X4YX4）=-/74G4L4=（X1.X?.X3.X4.y.X1）=-HH3H4Gl其中，两两不接触环路为4，人和右，乙3,因此：=1+（H2G2+H3G3+H4GA+HH3H4GJ+（H2G2Hfii+H2G2HAG4）前向通路只有一条，所以：3H、1=1按梅森公式，系统

8、的转移函数为:H=3H41+(H2G2+H3G3+H4G4+H2H卢4GJ+H2G2H4G4)例123用梅森公式翥图,124所示系统的转移卤数。一解：为了应用梅森公式，先求出有关参数。(1)求Aa)先求环路：4=(X3f-X3)=-H.G.l.=(乂2-yfX1-x1)=-h-1g1h2Ly=(X1fX3fX4fyfxj=一旦l4=(x,fX2-X3fx4fyfxjb)再求两两不接触的环路kk=H2H4H7GG2由此得出：=1+(4Gl+H2H7G2+H4H5H6G24-H1HyHAH5G1)+(2)前向通路共有三条第一条：x-Xfx,fX|fX4-yI，Jgx=HxH2HyHAH5没有与第一

9、条通路不接触的环路，所以1=1第二条：xfXifXifXsfygaH6H4H5没有与第二条通路不接触的环路，所以4=1第三条：x-Xfx2fy与第三条通路不接触的环路是4,所以3=1+H4Gl最后得到系统的转移函数为：H_Y_2H+%/%/+HiH/Q+HqGJ一天1+HG+修"7G2+H4H5H6G2+H?H#14H5G2+HH4H/GiG?系统模拟前面讨论过用方框图对系统进行模拟，现讨论用信号流图来模拟系统的方法。系统用信号流图模拟系统的理论基础就是梅森规则。常用的系统模拟方式有直接、串联和并联三种。一、直接形式(卡尔曼形式)若系统函数为："(5)=3=、$+%=+如-

10、F(5)52+«j54-«0l+f/j5"1+UQS2这里表示成H”的形式是因为积分单元表示为$7，即若)，(/)=1/(r)Jr,则y(s)=Jf(s)。根据梅森规则，从H(s)分母可得，系统有两个环路，增益分别是一且是接触环路，即系统的特征行列式=1+“S-1+0§-2：若从源点尸(s)到阱点Y(s)有两条均与环路接触的前向通路，增益为gl=$T，g2=%/2,那么该系统的系统函数正是"(S).按照此思路就可以作出该系统的直接形式的模拟图，如图12-5(a)或(b)。二、串联形式串联形式就是将"(S)表示为H(s)=乩(s)“2(

11、s)(S)，分别画出各子系统的直接模拟图，再串联起来。例如：、s+2s+21H=-=5'+45+35+35+1_1+2尸5_,一1+31+则模拟图如图12-6(a)(b)(c)所示。三、并联形式并联形式就是将“(S)表示为H(S)=H(S)+“2CO+HnG)'分别画出个子系统的直接模拟图，再并联起来。例如：111.1"G)=J+2=上_.工二_.i-s+4s+35+35+1l+3s1+s于是，模拟图如图12-7所示。1W12-4已知"($)=2s+3s(s+3)(5+2)2画出系统的信号流图。解：(1)直接形式H(s)=根据梅森公式可令=1-I/-3)gl

12、=25-3,A,=lg,=35-4,A2=1由此得到信号流图如图由-8所示。2s+3s4+7s3+6s2+2s图12-8例题直接形式结论：前向通道中包含积分项S”共(分母最高阶次)个，环路由最低阶次画起，前向通路由最高阶次画起。(2)串联形式H(s)=2s+3s(s+3)(5+2)22s+31,s+2s+3得到串联形式的信号流图如图12-9所示。章节第十二章系统的状态变量分析34节日期教学目的系统状态方程；状态方程的建立教学重点教学难点教学方法状态方程的建立状态方程的建立讲授教学内容状态方程不讨论状态方程的求解。这种方法的特点是利用描述系统内部特性的状态变量取代仅描述系统外部特性的系统函数，并

13、且将这种描述十分便捷的用于多输入一多输出系统。状态方程方法也成功的用于描述非线性系统和时变系统，并1,-R h.(0J四图1211串联谐振电路且易于借助计算机求解。（一）状态变量和状态方程首先从一个简单的实例给出状态变量的初步概念。对于图12-11所示串联谐振电路，如果只考虑激励与电容两端电压之间的关系，这种研究系统的方法通常称为端口方法或输入一一输出描述法。如果不仅希望了解电容上的电压，而且希望知道电感中电流的变化情况，这时可以列写方程：RiL(f)+L-iL(t)+vc(t)=e(t)at可改写为:，L（D=_g（0+7e«）atLLL<d/、1.八这是以二。）,（，）为变

14、量的一阶微分方程组，只要知道电路中心。），（/）的初始情况以及加入的。）情况，就可完全确定电路的全部行为。这样描述系统的方法称为系统的状态变量或状态空间分析法，其中即为串联谐振电路的状态变量，该方程组即为状态方程。在状态空间分析法中，状态方程以矢量和矩阵形式表示，于是上式可写作：电路的输出信号可能有多个状态变量以及输入信号的作用组合而成，于是还需要列写“输出方程:对于图12-11电路，若以r（f）表示输出信号，愉出方程可写为vc(O当系统的阶次较高因而状态变量数目较多或系统具有多输入一一多输出信号时，描述系统的方程形式仍如上而两式，只是矢量或矩阵的维数有所增加。下而给出系统状态变量分析法中的几

15、个名词定义：状态：对于一个动态系统的状态是表示系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道时这组变量的值和/之，0时的输入，就能完全确定系统在/之，0的任何时间的输出。状态变量：能够表示系统状态的那些变量集称为状态变量。一般用40）4（。,几这样的一组变量集表示系统的状态变量。状态方程：状态变量的方程叫状态方程，它是用状态变量和激励表示的一组独立的一阶微分方程。输出方程：是由状态变量和激励来表示各个输出的方程组，它是代数方程组。状态向（矢）量：设一个系统有个状态变量4”）,无«）,/（，），用这个状态变量作分量构成向量X（f）,就称之为该系统的状态（矢）向量。状态空间：状态向量的所

16、有可能值的集合称为状态空间。或者说状态向量所在的空间。状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹.动态方程：状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。用状态变量分析系统的优点在于：（1）便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化，这些物理量可以用状态向量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律，（2）系统的状态变量分析法与系统的复杂程度没有关系，复杂系统和简单系统的数学模型形式相似，都表示为一些状态变量的线性组合，这种以向量和矩阵表示的数学模型特别适用于描述多输入一多输出系统。（3）状态变量分析法对离散系统也是同样适用的，只不过在离散系统的情况改用一阶差分

17、方程组来代替连续系统中的一阶微分方程组。（4）状态方程的主要参数鲜明的表征了系统的关键性能。以系统状态变量参数为基础引出的系统可控制性和可观测性两个概念对于揭示系统内在特性具有重要意义，在控制系统分析与设计（如最优控制和最优估计）中得到广泛应用。此外，利用状态方程分析系统的稳定性也比较方便。（5）由于状态方程就是一阶微分方程或一阶差分方程，因而便于采用数值解法，为使用计算机分析系统提供了有效的途径。（二）动态方程的一般形式对于动态线性时不变连续系统，根据对动态方程的定义，动态方程是状态变量和输入信号的线性组合,记4状态方程矩阵形式表示为:%”)r«n2以，(f)-肉仇2q(f)右=。

18、21。22a2k+b?b?b2m的"）A(o.Ai%c%_儿一Pk42bk,n_上式简记为：=Axl（0+（0r2(0上式简记为：g）冈=«%+ D图12/2状态变量描述的结构图输出方程矩阵形式为:若为时变系统，则向量矩阵A,B,C,D为关于时间的函数.与上列数学表达式相对应，可画出系统状态方程和输出方程分析的示意结构图，如图12-12所示.观察状态方程与输出方程，可以看到状态变量的选择具有这样的特征：1、每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数：2、每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；3、输出信号是状态变量和输入信号的函数，通常选择动态元件的输出作

19、为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。状态方程的建立建立给定系统的状态方程的方法很多，这些方法大体分为直接法和间接法两种，其中，直接法主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计，间接法则常见与控制系统研究。间接法中包括由输入输出方程建立状态方程、由系统框图（或信号流图）建立状态方程以及由系统函数或传输算子方程建立状态方程等方法。（一）由电路图直接建立状态方程对于给定的网络，通常采用选取电容电压和电感电流为状态变量，根据KCL和KVL列写状态方程，经化简消去一些不需要的变量，只留下状态变量和输入信号经整理给出状态方程。需指出，所选的状态变量必须是独立的（线性无关的）。直接法列写状

20、态方程的一般步骤为：（1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；（2）列写电路KCL和KVL方程：（3）将所列方程整理成状态方程的一般形式。例125给定电路如图12-13所示，列写电路的状态方程，输出信号为电压，"），列写输出方程。解：选电感中电流和电容两端电压为状态变量，则有：4（。=%。）4（，）=%"）=KK，2。）卜”列写回路方程：2/,+方')+2J1(0，2k=。(03+；%。)+2外)-他,=1的整理得到:其中第三个式子是由选取的变量直接求导得到的。表示程矩阵的形式为:-2020-3-2-1300-30输出为：则输出方程为:4r(0=010，+。

21、1对于简单电路，用上述直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，需要利用其他方法，这些方法往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术,需指出，连续时间系统状态方程的建立不仅应用于电路分析或设计，在许多科学与技术领域之中都已得到广泛应用。（二）由系统的输入一一输出方程或流图（系统方框图）建立状态方程假定某一物理系统可用如下微分方程表示"z/氏'z/jk-»-yrr（f）+B）+.+“IVrQ）+%*/）=%J©。）+he"）+.+-】一式。+）dtdtdtdtdt（It表示成算子形式为：(人+qpAT+(_+，")，(f)=(/?oP

22、'+&pAT+/T+k)e(f)其传输算子为：H（p）=%*+4Pl+如+%+6/k+c*p+效图12/4流图表示为便于选择状态变量，将上式改写为：H（n.%+4/+，-+4-力产+%»1+ajp+c”t/pi+ak/p'这样当用积分器来实现该系统时，有图12-14所示的流图形式。取每一积分器的输出作为状态变量，即：,4=人4=%4-i=A4=-44-%-1%a2k-ak+e"）r（f）=%4+%T=T2At-l+44+%【Ta4ak-2WAt-l-ak+£«）=（a-岫）4+（仇-1一%-1%）4+（。2-a?b（）k+（4一卬

23、%）4+瓦6。）表示成矩阵形式为:010-o-A-0&0010%0-=-+-e（f）000010人.-4_4-1_，-2.一一】_入.1+ %c（f）-，限.也），（4-a2b0）,（4-4,0）或简化写成矩阵形式:k（Z）=Ak（Z）+Be（/）r（Z）=Ck（r）+Dc（f）上而几式是一般形式，若愉入不同，则A,B矩阵是相同的，C,D矩阵有可能不同.同一系统信号流图形式不同，状态变量的选择就可能不一样，因而对于一个给定系统，状态变量选择并非唯一的。（三）将传输算子表达式（或系统函数）分解建立状态方程图12.15直接形式信号流图将系统函数（传输算子）的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构