小学数学解题技巧大全

1、【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 (一)1. 特殊数题 (1)21 12当被减数和减数个位和十位上的数字( 零除外 ) 交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以 9。因为这样的两位数减法，最低起点是21 12,差为9,即(21)X9。减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31 13=(31) X9=18o减数从1289,都可类推。被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。 如210- 120= (2 1) X 90= 90,=(6 5) X =。(2)31 X51个位数字都是1 ，十位数字的和小于10 的两位数相乘，其积的

2、前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同 1 连在一起的数。若十位数字的和满10，进 1 。如证明： (10a 1)(10b 1)=100ab+ 10a+ 10b+ 1=100ab+ 10(a +b) + 1(3)26 X 86 42 X 62个位数字相同，十位数字和是10 的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。证明： (10a c)(10b c)=100ab + 10c(a + b) + cc=100(ab + c) + cc (a +b=10)。(4)17 x 19十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以1

3、0，加个位数的积。原式=(17 +9) X10+7X 9=323证明： (10 a)(10 b)=100+ 10a+ 10b+ ab= (10 + a) + b x10+abo(5)63 x 69十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以 10 ， 加个位数的积。原式=(63 +9) x 6X10+3X9= 72X60+ 27=4347。证明： (10a c)(10a d)=100aa + 10ac + 10ad + cd=10a(10a +c) +d +cdo(6)83 X 87十位数字相同，个位数字的和为 10 ，用十位数字加1 的和乘以十

4、位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如证明： (10a c)(10a d)=100aa 10a(c d) cd=100a(a + 1) +cd(c +d= 10)。(7)38 X 22十位数字的差是1 ，个位数字的和是10 且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。原式=(30 +8) X(30 8)= 30282=836。(8)88 X 37被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10 的两位数相乘，乘数十位数字与1 的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。(9)36 X15乘数是 15 的两位数相乘。被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半

5、的和乘以 10 ；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1 后的一半，和的后面添个5。= 54X 10= 540。55X 15(10)125 X101三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125+1 = 126。原式=12625。再如 348X 101,因为 348+3=351,原式=35148。(11)84 X49一个数乘以49，把这个数乘以100 ，除以2 ，再减去这个数。原式=8400 + 284= 420084 = 4116。(12)85 X99两位数乘以9、99、999、。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。原式=8500-85=841

6、5不难看出这类题的积：最高位上的两位数( 或一位数 ) ，是被乘数与1 的差；最低位上的两位数，是100 与被乘数的差；中间数字是9 ，其个数是乘数中9 的个数与 2 的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(aw0),则如果被乘数的个位数是1，例如31 X 999在 999 前面添 30 为 30999 ，再减去30 ，结果为30969 。71 X 9999 = 709999-70= 709929。这是因为任何一个末位为 1 的两位自然数都可表示为 (10a 1) 的形式，由 9 组成的自然数可表示为 (10n 1) 的形式，其积为(10a + 1)(10n - 1) =10n+

7、1a+(10n 1) 10a。(13)1 +19这是一道颇为繁复的计算题。原式=。根据“如果被除数不变，除数扩大( 或缩小 ) 若干倍，商反而缩小( 或扩大 ) 相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。原式转化为一,把看作2,计算程序：(1)先用 + 2 =。（2） 把商向右移动一位，写到被除数里，继续除如此除到循环为止。仔细分析这个算式：加号前面的是+ 2的商，后面的X +中x =,就是把商向右移动一位写到被除数里，除以。这样我们又可把除 数看作 2 继续除，依此类推。除数末位是9 ，都可用此法计算。例如1 + 29,用+ 3计算。1 + 399,用+ 40 计算。2. 估算数学素养与能

8、力 （含估算能力 ） 的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。美国数学督导委员会，提出的 12 种面向全体学生的基本数学能力中，第6 种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定”（1） 最高位估算只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。例 1 1137 5044 3169最高位之和 1 + 5 3=3,结果在 3000左右。如果因为忽视小数点而算成560 ，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘

9、数”估算，错误立即暴露。例3 x整体思考。因为弋50,而 50X 50X= 75,又50, ,所以X 75。另外9X1 = 9,所以原式结果大致是75 多一点，三位小数的末位数字是9 。例 4 3279 + 79把 3279 和 79 ，看作 3200 和 80。准确商接近40 ，若相差较大，则是错的。（2） 最低位估算例如， 6403 232 15783+2+8=13,原式和的末位必是3。（3） 规律估算和大于每一个加数；两个真分数（ 或纯小数 ） 的和小于 2 ；一个真分数与一个带分数（ 或一个纯小数与一个带小数） 的和大于这个带分数（ 或带小数 ） ，且小于这个带分数（ 或带小数 ） 的

10、整数部分与 2 的和；两个带分数（ 或带小数 ） 的和总是大于两个带分数（ 或带小数 ） 整数部分的和， 且小于这两个整数部分的和加上2；奇数土奇数=偶数，偶数士偶数=偶数,奇数土偶数=奇数；差总是小于被减数；整数与带分数（ 或带小数 ） 的差小于整数与带分数（ 或带小数 ） 的整数部分的差； 带分数 （ 或带小数 ） ， 与整数的差大于带分数 （ 或带小数 ） 的整数部分与整数的差。带分数 （ 或带小数 ） 与真分数 （ 或纯小数 ） 的差小于这个带分数 （ 或带小数 ） ，且大于带分数（ 或带小数 ） 减去 1 的带分数与带分数（或带小数与带小数） 的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大

11、于这个差减去1；如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；若两个因数都大于1 ，则积大于任意一个因数；带分数与带分数（或带小数与带小数） 的积大于两个因数的整数部分的积， 且小于这两个整数部分分别加 1 后相乘的积； 例如，Av AB Bo奇数X偶数=偶数，偶数X偶数=偶数；若除数V 1,则商被除数；若除数1,则商被除数；若被除数除数，则商1;若被除数除数，则商V1。（4） 位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如， 320 ，差为两位小数。最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；例如，451X7103最高位的积4X7=28,满10,结果是3+4=

12、7（位数）。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数 等于被除数的位数减去除数的位数；例如，147342 + 2714不够27除，商是4 2=2（位数）。被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。例如，30226 + 238302够238除，商是 53+1 = 3（位数）。（5） 取整估算把接近整数或整十、整百、的数，看作整数，或整十、整百的数估算。如2+ 1,和定小于3。12X 10X 10,积接近 100。3. 并项式应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。例 1 =+ +=+ 10 =3-3=0例 3 -=12- =例 4 1600 +(400 +

13、7)=1600+400 X 7= 4X7=284 .提取式根据乘法分配律，可逆联想。= + x= 10X=45 .合乘式=X 10X 1=875= 8-7=16 .扩缩式例 1 X 16+ X 36=X (64 + 36)=X 100 = 40例 2 16 X457 .分解式例如，14X 72+42X76=14X 3X 24+42X 76= 42X (24 +76)= 42X 100 = 42008 .约分式=3X 7X 2=42例 2 169 +4+7X28+ 13=1988例7 1988 + 989被除数与除数，分别除9 .拆分式10 .拆积式例如，32 X X 25=8 X X (4 X

14、 25)=10X 100= 100011 .换和式例1 x 8=+ x 8=1 + =例4 = + - +=6 =12 .换差式13 .换乘式例 1 123 +234+345+456+567 + 678= (123 +678) X3= 801 X 3=2403例 2 + + + X 25=X (4 X 25) = 672例 3 45000 + 8+ 125= 45000 + (8 X 125)= 45000+ 1000=45例 4 + + 25=+ X 4X25)=+ 80=+ 8 =例 5 33333 X 33333=11111 X 99999= 11111 X (100000 1)= 00

15、- 11111=89综合应用，例如=1000+7= 1007=|X (转)= +-+ X(合)=8x=8X (125 +(拆)=8X 125+ 8X= 100214 .换除式例如,5600 + (25 X 7)= 5600+7+25= 800+25=3215 .直接除例 1 7 45236=9X 3=27如果两个分数的分子相同，且等于分母之和 （或差 ） ，那么这两个分数的和 （或差 ）等于它们的积。18. 以乘代减知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1

16、,第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、第n-1个减数的分母的连乘积加上 1 。 （n 为不小于 2 的自然数 ） 其差等于其积19. 以加代乘一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数（ 另个乘数 ） 小 120. 以除代乘例如，25X8=8X （100 +4）=+ 4=0021. 以减代除=1986-662= 13243510+15= （3510 - 1170） +10=23422. 以乘代除例如，+ 4+6X 24+2723. 以除代除观察其特点，24. 并数凑整例如， 372 499 = 372+500- 1 = 871=-13+ =25. 拆数凑整例如，476 302= 4

17、76+300+2=77826. 加分数凑整应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减 去整数。=+-+30 .凑公因数例如，1992X+ 1982X=1992 X+ (1992-10) X= 1992X+ 1992X X= 1992X+ -725=199200-725=198475或原式=(1982 + 10) X+ 1982 X31 .和差积法32 .直接写得数观察整数和分数部分，显然原式=3。33 .变数为式34 .分解再组合例如，(1 +2+3+ + 99) +(4 + 8+12+ 396)= (1+2 +3+- + 99) +4(1

18、+2+3+ 99)= 5(1 +2+3+ 99)35 .先分解再通分有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定 57和76为互质数。判断两个数是否互质，不必用2、3、5、逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。57=3X19,如果57和76有公有的质因数，只可能是 3或19。用3、19试除，57 , 76 = 19X 3X 4=228。26 = 2X 13, 65和91是13的倍数。最小公分母为13X2X 5X 7=910。37. 巧用分解质因数教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质 因数在解

19、题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。例 1 184 X 75原式=2X2X46X3X5X5=46X 3X (2 X 5)2=138X 100=13800。38. “ 1 、 1 ”法一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多 1 的数，再从1 中减去分数部分。为便于记忆，称“ 1 、 1 ”法。39. “1 , 9, 9 - 10” 法一个整数减去一个小数( 末位不为 0) ，可先减去比小数高位多 1 的数，再从9 中减去其它位数，最后从 10 中减去末位数。40. 改变运算顺序例 1 650 X 74 + 65=(650 + 65) X 74= 10X 74=740例 2

20、 176 X 98 + 49= 176X(98 +49)= 176X 2=352例 3 7 + 13X 52 + 4例 4 102 X 99-X 99 X 8=102 X 991 X 99= 99X (100 + 1 )= 9900 + 99=999941. 用 数 据熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。例 1 由 37X 3= 111知 37 X 6= 111X2 = 22237X 15=37X 3X5=555例 3 1000 以内 ( 不包括整十、整百 ) 只含因数 2或 5 的 2、 4、 8、 16、 32、 64、 128、 256、 512；5 、 25、 125 、 625。这

21、些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。例 4 特殊分数化小数分母是 5、 20、 25、 50 的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、 5、 4、 2 倍，再缩小 10、 100 倍。分母是 8 的最简分数，分子是1 、 3，小数的第一位也是1 、 3。分母是 9 的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。例5 19兀6 X=6X=7 X=7X=3X=8x=4X=9X=5X =熟记这些数值，可口算。x 13=10 兀 +3兀=X 89=90 兀-兀= 兀x变为整数，三位数前面补 0 改为四位数，这样不会把数位搞错，将结果左端的0 去掉，点上小数点得。也可从高位算起。42. 想特殊

22、性仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0 。所以可直接得 0。例 3 除数为 1，则商就是被除数。43. 想 变 式44. 用 规 律例 1 682 702两个连续奇( 偶 ) 数的平方和，等于这两个数之积的 2 倍加 4 的和。原式=68X 70X 2+ 4= 9520+4=9524。例 2 522 -512=52+ 51 = 103两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。例 3 18 X 19+20任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。原式=20 X 19 18=362。例 4 16 X 17-15X18四个连续自然数，中间两个

23、的积比首尾两个的积多 2 。原式=2 o证明：设任意四个连续自然数分别为 a 1、 a、 a 1、 a 2，则 a(a 1) (a 1)(a 2)=a2+a-a2-a +2 = 2。例 5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0 的纯循环小数) ，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。ABAB3。知 1222 X 1222 1221 X 1223例 2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将 8 去掉，两数相同。求这两个数。由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。由两数十位数字之和是8-1 = 7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。甲数

24、是348，乙数是34。例 3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。由 3 和 a5 乘积的尾数是1 ，知 a5 只能是 7；由3和a4乘积的尾数是7 2=5,知a4是5;不难推出原式为142857 X 3=428571。3 . 从较大数想起例如，从110的十个数中，每次取两个数，要使其和大于 10,有多少种取法思路一：较大数不可能取5 或比 5 小的数。取6有 65；取7有 74， 75， 76；取10有九种10+1, 10+2,10+9。共为 1 +3+5+7+ 9= 25（种）。思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法 1+10;为2的有2+9, 2 + 10;较小数为 9的

25、有9+ 10。共有取法 1+2+3+4+5+4 + 3+2+1 = 25（种）这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、开始。思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、19。和是11的有五种1+10, 2+9, 3+8, 4+7, 5+6;和是1119的取法5+4+4+3+3+2 +2 + 1 + 1 = 25（种）。4 .想大小数之积用最大与最小数之积作内项 （或外项）的积，剩的相乘为外项（或内项）的积，由比例基本性质知交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。5 .由得数想例如，思考题：在五个中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立其结果是0, , 1, , 2。

26、从得数出发，想：两个相同数的差，等于 0;一个数加上或减去 0,仍等于这个数；一个因数是0,积就等于0;0除以一个数（不是0）,商等于0;两个相同数的商为1 ;1除以，商等于2;解法很多，只举几种：-X X X= 0X = 0+ + X=X = 0-XX+ =- -1=+ X +=+ X + =-X+= 1-+-x= 1-+= 1+-+= 1I- + + =+ X H- -F =+ + + - =+ + + =+= 2+-+-= 2+-= 2+ X+ += 26 .想平均数思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“ 1”，则中间数占知这三个数是14、 15、 16。二、

27、一个数分别为161 = 15,151 = 14 或 16 2=14。若先求第一个数，则思路三：设第三个数为“ 1”，则第二、三个数，知是 15、 16。思路四：第一、三个数的比是 7： 8,第一个数是 2+(8 7) X 7= 14。若先求第三个数，则2+(8 -7) X8=16。7 . 想奇偶数例 1 思考题：在 1 、 2、 3、 4 、 5 、 6、 7、 8 、 9 九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。例如1 + 234+5+6+78 9= 100123+45 67+89= 100你还能想出不同的添法吗1 + 2+3+4+5+6+7+8

28、+9 = 45。若去掉 7 和 8 间的“+ ”,式左为 1+ 2+3+4+5+6+78+ 9,比原式和 增大了 78- (7 +8) =63,即1 2 3 4 5 6 78 9= 45+63= 108。为使其和等于 100,式左必须减去 8。加4改为减4,即可1 + 2+ 34+5+6+78+9= 100。“减去4”可变为“减1、减3，即1 +23+ 4+5+6+78+9= 100二年级小学生没学过负“1”，不能介绍。如果式左变为12 34567 89。12 (1+2) + 89(8+9) =81。即 12 +3+4+5+6+7+89=45+81= 100 + 26。要将“”变为“”的数和为

29、 13，在3、 4、 5 、 6 、 7 中有 6 7 ， 3 4 6 ，因而有12+3+4+5-6-7+ 89= 100,12-3-4+5-6+7+ 89= 100,同理得12 + 3-4+ 5+67+ 8+9= 100,1 + 23-4+ 56+7+ 8+9= 100,1 + 2+34- 5+67- 8+9= 100,123-4-5-6-7+ 8-9= 100,123+4-5+67-89= 100,123-45-67+89= 100。为了减少计算。应注意：(1) 能否在 1、 23、 4、 5、 6、 7、 89 中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号) ，结果为 100 呢1、23、5、

30、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数土偶数=奇数，结果不会是100。(2) 有一个是四位数，结果也不可能为 100。因为 1234 减去余下数字组成(按顺序 ) 的最大数 789，再减去余下的 56，差大于 100 。例2求59199的奇数和。由从 1 开始的连续n 个奇数和、等于奇数个数n 的平方1 + 3+5+7+ (2n 1) =n2奇数比它对应的序数2 倍少 1 。用 n 表示任意一个自然数，它对应的奇数为 2n 1 。例如，32对应奇数2X 32 1 = 63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n 1 = 199, n= 100)的位置上。知1199的奇数和

31、是 1002= 10000。此和包括 59, 2n1=57、n=29、157的奇数和为 292=841。所求为 10000 841 = 9159。或者 59 =30X2 1, 302=900, 10000900+59=9159。例 1 思考题：在 1 、 2、 3、 4 、 5 、 6、 7、 8 、 9 九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。例如1 + 23-4+5+6+78-9= 100123+45-67+8-9= 100你还能想出不同的添法吗1 + 2+ 3+4+5+6+7+ 8+9=45。若去掉 7和8间的 十 ,式左为 1 + 2+3+

32、4+5+6+78+9,比原式和增大 了 78 (7 + 8) =63,即1 2 3 4 5 6 78 9= 45+63= 108。为使其和等于 100,式左必须减去 8。加4改为减4,即可1+2+3 4+5+6+78+ 9=100。“减去4”可变为“减1、减3，即1 + 23+4+5+6+ 78+9= 100二年级小学生没学过负数“1”，不能介绍。如果式左变为12 3 4 5 6 7 89 。12(1 +2) + 89-(8 + 9) =81。即 12 +3 + 4+5+ 6+7 + 89=45+ 81 = 100+26。要将“”变为“”的数和为13 ，在3、 4 、 5 、 6、 7 中有

33、6 7， 3 4 6 ，因而有12+3+4+5-6-7+89= 100,12-3-4+5-6+7+89= 100,同理得12+3-4+5+67+8 + 9= 100,1 + 23-4+56+ 7+8 + 9= 100,1 + 2+34-5+67-8 + 9= 100,123-4-5-6-7+ 8-9= 100,123+4-5+67-89= 100,123-45-67+89= 100。为了减少计算。应注意：(1) 能否在 1、 23、 4、 5、 6、 7、 89 中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号) ，结果为 100 呢1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数土偶数

34、=奇数，结果不会是 100。(2) 有一个是四位数，结果也不可能为 100。因为 1234 减去余下数字组成(按顺序 ) 的最大数 789，再减去余下的 56，差大于 100 。例2求59199的奇数和。由从 1 开始的连续n 个奇数和、等于奇数个数n 的平方1 + 3+5+7+ (2n - 1) =n2奇数比它对应的序数 2 倍少 1。用 n 表示任意一个自然数，它对应的奇数为 2n 1。例如，32对应奇数2X32 1 = 63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在 100(2n 1 = 199, n=100)的位置上。知1199的奇数和是 1002= 10000。此和包括 59, 2n1=

35、57、n= 29、 157的奇数和为 292=841。所求为 10000 841 = 9159。或者 59 =30X 2 1, 302=900,10000900+59=9159。8. 约倍数积法任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。证明：设M N(都是自然数)的最大公约数为 P,最小公倍数为 。且M N不公有的因数各为 a、bo 那么 MXN= PX aXPXb。而 Q=PX axb, 所以 MXN= PX Q例 1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是 21 ，乙数是多少例 2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。这两个互质数的积为1X

36、 155= 155,还可分解为 5X 31。所求是 1 和 155， 5 和 31。例 3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的倍，求各数。由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的倍。小数的平方为 4X 40+ = 64。小数是8 。大数是8X= 20。算理：4X40=8X 20=8X(8 X= 82X。9. 想 份 数10. 巧用分解质因数例 1 四个比 1 大的整数的积是144 ，写出由这四个数组成的比例式。144= 24X 32=(22 X 3) X (2 X 3) X 2=(4 X 3) X (6 X 2)可组成4 ： 6=2 ： 3等八个比例式。例 2 三个连续自然数的

37、积是4896 ，求这三个数。4896= 25X 32X 17= 24X 17X (2 X 32)=16X 17X 181728= 26X 33=(22 X 3)3 = 123385=5X 7X 11例 4 1992 年小学数学奥林匹克试题初赛(C) 卷题3：找出1992 的所有不同的质因数，它们的和是多少1992=2X 2X 2X3X 832+3+83= 88例 5 甲数比乙数大9，两数的积是1620 ，求这两个数。1620= 22 X 34X 5=(32 X 22) X (32 X 5)甲数是 45，乙数是36。例 6 把 14、 30、 33、 75、 143、 169、 4445、 49

38、53 分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。八个数的积等于 2X7X2X3X5X 3X 11X3X5X 5X11X13X13X13X5X7X 127X 3X 13X 127。每组数的积为 2X32X 52X 7X11 X 132X 127。两组为例 7 600 有多少个约数600= 6X 100 = 2X3X 2X 2X5X5= 23X 3X 52只含因数 2、3、5、2X3、2X5、3X5、2X3X5的约数分别为：2、 22、 23；3；5、 52；2X 3、22X 3、23X 3;2X5、22X5、23X5、2X52、22X 52、23X 52;3X5、3X52;2X3X5、22X3X

39、5、23X3X5、2X3X52、22X 3X 52、23X 3X 52。不含2X3X5的因数的数只有1。这八种情况约数的个数为；3+1 + 2+3+6+2 + 6+1 = 24。不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1 后相乘，其积就是所求约数的个数。(3+1) X (1 + 1) X(2 + 1) =24。17. 想 法 则用来说明运算规律( 或方法 ) 的文字，叫做法则。子比分母少16。求这个分数由“一个分数乘以 5，是分子乘以5 分母不变”，结果是分子的 5 倍比 3 倍比分母少16。知分子的 53=2(倍)是 2+16=18,分子为 18+2=9,分母为 9

40、 X 52 = 43 或 9 X 3+16 = 43。18. 想 公 式证明方法：以分母a,要加(或减)的数为(2) 设分子加上( 或减去 ) 的数为x ，分母应加上( 或减去 ) 的数为 y 。19. 想 性 质例 1 1992 年小学数学奥林匹克试题初赛(C) 卷题 6：有甲、乙两个 多少倍200+ 16=（倍）。例 2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、 15、 20； 12、 15、 30； 12、 15、 60。由“分

41、子是连续自然数”，知分子只能是小于12 的自然数。满足题意的三个分数是（ 二 ） 第 400 个分数是几分之几 此题特点：（2） 每组分子的排列：假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。分数的个数为 n+n1=2n1,即任何一组分数的个数总是奇数。（3） 分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系分母：1、2、3、4、5、分数个数：1、3、5、7、9、（4） 每组分数之前 （ 包括这组本身 ） 所有分数个数的和，等于这组的组号（ 这一组的分母） 的平方。例如，第 3 组分数前 （ 包括第 3 组 ） 所有分数个数的和是32=9。10 X 216=13（个）位

42、置上。分别排在81+ 7=88（个），81+13=94（个）的位置上。或者 102=100， 100 12=88。100-6=94, 88 + 6=94。问题 （二） ：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400 分成某数的平方，这个数就是第 400 个分数所在的组数400=202,分母也是它。第 400 个分数在第20 组分数中， 400 是这 20 组分数的和且正好是20 的平方无剩余，故可断定是最后一个，即若分解为某数的平方有剩余，例如，第 415 个和 385 个分数各是多少。逆向思考，上述的一串分数中，分母是35 的排在第几到第几个352-（35 X 21）+ 1=122569+

43、1 = 1157。排在 1157 1225个的位置上。20. 由规则想例如， 1989 年从小爱数学邀请赛试题：接着1989 后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。例如，8X9=72,在9后面写2, 9X2=18,在2后面写8,得到一串数：1989286这串数字从1 开始往右数，第 1989 个数字是什么先按规则多计算几个数字，得884显然，1989后面的数总是不断重复出现286884,每6个一组。（1989 -4） +6=3305最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989 个数字是 8。21. 用 规 律例1第六册P62第14题：选择“ 十、X、+”中的

44、符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于 0、 1 、 2、 3、 4 、 5 、 6、 7、 8 、 9 。（1）2 2 2 2 2=0(2)2 2 2 2 2= 1（10）2 2 2 2 2= 9解这类题的规律是：先想用两、三个 2列出，结果为0、1、2的基本算式：2-2=0, 2+2=1;再联想 22 + 2=1, 2X2 + 2=2, 2-2+2 = 3,每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：2+2+2+22=02+2X22+2=12-2+2-2X 2=22X 2+2 + 2 2=32X2X222=42-2-2+2X 2=52+2-2+2X 2=62X2X22+2=72+2X2X

45、2X2=82+2+2X 2X 2=9例2第六册P63题4:写出奇妙的得数2+1X9=3+ 12X 9=4+ 123X 9 =5+ 1234X 9 =6+ 12345 X 9 =得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：第一个加数由2开始，每式依次增加 1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、继续写下去7+123456X 9=11111118+ 1234567 X 9=9+X 9=110+9X9= 1111 + 00X 9=12+X 9=很自然地想到，可推广为(1)当n=1、2时，等式显然成立。(2)设n=k时，上式正确。当 n=k+ 1时

46、k+ 1 + 123 - kx 9=k+1 + 123 - (k- 1) x 10+k x 9=k+1 + 123 - (k 1) X9X 10+9k=k + 123(k 1) x 9 x 10+ 1n,此等式都成立。所有真分数的和。根据数学归纳法原理，由（1）、（2）可断定对于任意的自然数 例3牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的,（1）奇数（除1外）作分母的所有真分数的和、是（分母1） +2。=(21 1) +2=10。22. 巧想条件比 5 小，分母是13 的最简分数有多少个。764为64(7 1) =58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52,余下的作分子得54个最

47、简分数。例 2 一个整数与1、 2、 3，通过加减乘除(可添加括号 )组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。 4、 5、 6、7、 8、 9、 10 中，有几个是可用的。看结果，想条件，知都是可用的。4X (1 +2+ 3) =24(5+1 + 2) X 3=246X (3+2- 1) =247X 3+ 1 + 2=248X 3+(2 - 1) =249X312=2410X2+1+3=2423. 想和不变无论某数是多少，原分数的分子与分母的和 7 11=18是不变的。而新分数的分子与分母的和为1 + 2=3,要保持原和不变，必同时扩大 18+3=6(倍)。某数为 76=1 或 1211 =

48、 1。24. 想和与差算理，原式相当于求这个分数。25. 想差不变分子与分母的差41-35=6是不变的。新分数的此差是8-7=1,要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6+1 = 6(倍)。某数为 42-35=7,或 48 41 = 7。与上例同理。2311 = 12, 3-1 = 2, 12+2 = 6,某数为 11 6=5或 2318=5。分子加上 3 变成 1，说明原分数的分子比分母小 3 。当分母加上2 后，分子比分母应小3 2=5 。26. 想差的 1/2对于任意分母大于2 的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数 ( 包括分

49、子和分母相同的这个假分数 ) 的个数，差就是这个偶数。例 1 求分母是 12 的所有最简真分数的和。由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，（2 X 3）的倍数2个，知所求数是例 2 分母是 105 的，最简真分数的和是多少倍数15个，（3X5）、（5X7）、（3X7）的倍数分别是 7、3、5个，（3 X 5X 7）的倍数1个。知105 （35+21 + 15）（3+5 + 7） + 1 =48,48 + 2=24。27. 借助加减恒等式个数。若从中找出和为 1 的 9 个分数，将上式两边同乘以2，得这九个分数是28. 计算比较例如，九册思考题：1 + 11、2+11、3+1110+11。想一

50、想，得数有什么规律可见，除数是11 ，被除数是1 的几倍 （ 倍数不得大于或等于11） ，商17+11 = （11 +6） + 11 = 11 + 11 + 6+11凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。只要记住1+7的循环节数字“ 142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字， 即可。29. 由验算想例如，思考题：计算 1212+101,，3939+303,你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数4848+202, 7575+ 505,3939+303=（3030 + 909） + 303= 3030+303+909+303=10+3= 13备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。若从“除法的验算”推导由 3939 + 303=（）,商百位上的 3 和 13 相乘才可得39，商个位上的3 也必须与 13 相乘得 39，除数是 13 确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。所以商是 12 。3