考研级数典型例题(完美版讲析)

1、常数项级数内容要点一，概念与性质（一）概念由数列u1,u2, un,构成的式子Un Ui U2 Unn 1称为无穷级数，简称为级数.un称为级数的一般项,nsn Ui称为级数的部分和i 1如果lim snns,则称级数Un收敛,n 1s称为该级数的和.此时记Unn 1s .否则称级数发散.（二）性质1,若 Un 收敛，贝UkU n k Un.n 1n 1n 12,若 Un , Vn 收敛，贝UUn VnUnVn .n 1 n 1n 1n 1n 13,级数增减或改变有限项，不改变其敛散性.4,若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛5（收敛的必要条件）,Un收敛，则lim Unn0.注意：若l

2、im Unn0.则 Un必发散.而若n 1Un发散，则不一定lim Un n0.（三）两个常用级数1,等比级数naqn 02, p 级数,正项级数敛散性判别法 （一）比较判别法），则Un发散；n 1l（0 l ），则Un则收敛.n 1Un（Un 0）为交错级数，如果满足:2, lim Un0n收敛，则称Un绝对收敛.n 1收敛，但 Un发散，则称 Un条件收敛.n 1n 1则该级数必收敛 .致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数设 Un,Vn均为正项级数,n 1 n 1Vn收敛 n 1Un发散 n 1（二）极限判别法如果 lim nun l （0 l n如果对 p 1, lim npunn（三

3、）比值判别法设 Un为正项级数，若 n 1Un lim n un二，交错级数收敛性判别法莱布尼兹判别法：设 1 n 11, Un Un 1（n 1,2,）则此交错级数收敛.三，任意项级数与绝对收敛（一） 绝对收敛如果 U n 1（二）条件收敛如果 Un n 1（三） 定理 若级数绝对收敛,函数项级数一、 主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛且 Un Vn(n 1,2,)，则Un收敛； n 1Vn发散 n 1幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、 函数列 fn (x)一致收敛性的判断：( 1 )定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性( 2) Cauchy 收

4、敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断( 3)确界(最大值方法)： | fn(x) f (x) | 0( 4)估计方法：| fn(x) f (x) | an0( 5) Dini -定理：条件1)闭区间a,b ； 2)连续性；3)关于n 的单调性注、除 Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用

5、于非一致收敛性的判断。注、 Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的 x a,b， fn(x) 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在 N,当n>N时”条件成立即可，但是，要注 意N必须是与x无关的，即当n>N时，对所有任意固定的 x a，b , fn(x)关于n单调， 因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。非一致收敛性的判断( 1 )定义( 2) Cauchy 收敛准则(3)确界法：存在Xn，使得| fn(Xn) f (Xn)|不收敛于0( 4)和函数连

6、续性定理(5)端点发散性判别法： fn(x)在c点左连续， fn(c)发散，则 fn(x)在(c,c)内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。B 、函数项级数un (x)一致收敛性的判断1 )定义2 ) Cauchy 收敛准则3)转化为函数列(部分和)(4)余项方法:rn(x) 一致收敛于(5)几个判别法:W-法,Abel 法,Dirichlet 法,Dini -法经典例题例1判断级数；(2)工的敛散性 n n-1解：(1)=n 1 n ,n n1-3n2(p

7、1)收敛(2)由于 lim Vnnlimnlimnn11n0,故1义发散.1 Vn例2判别级数.(1)n 2(n 1)(n 3)；(2)3nn2n解：(1)由于(n 1)(n 3)2 (n (n 3)22,3)，而故由比较判别法可知级数收敛.2 (n1)(n 3)(2)由于1, -(n 1,2,n)，而(3)由于1 n(n 2)1Z2 n2(n 3)21 .1发散，由比较判别法可知1 n3n J发散.n 1 n2n 1n(n 2)n 1(n 1)(n 2)，而11-发散,2 n 3n由比较判别法可知n 1发散.n 1 n(n 2)例3判别下列级数的敛散性:1 (n1)!(2)n nn 1 n!

8、解：用比值判别法(1) limnlimn1 n!1limn1,故n1(n 1)!(n 1)!(2) limnUn 1Unlimnn 1(n 1)(nn)nnlimnn1,故 L发散.n 1 n!例4判别级数n!11 nVnln的敛散性.解：(1)由于 lim nun lim nn1 n n! nlimn1n/n故由极限判别法可知级数1二发散.2(2)由于 lim n Unnlim n2 lnnlim lnnn21 ln e 1 n故由极限判别法可知级数lnn 1收敛.例5问级数 （1）n。是收敛还是发散？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?解：由茉布尼兹判别法可知n,1 1 均收敛，从而原级数收敛

9、n另一方面,1,发散,n 1 n故由比较判别法可知发散，从而原级数是条件收敛练习题1,用比较判别法判别下列级数的敛散性lnn2 (2)n 1 n(n 1)n 1 22,用比值判别法判别下列级数的敛散性57(2)n 1 n!1 3(2nn 1 2 5(3n 1)3,用极限判别法判别下列级数的敛散性2 _sin2(2n 1)(4)2n3n1In n(2) Fn i (2n 3)n nn 1 n4判断下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?1,21.4(2)nn 11-3n 1113 23(4)1 ln(n 1)答案:1,(1)收敛(2)收敛(3)收敛4,(1)条件收敛(2)绝对收敛(4

10、)发散2,(1)收敛(2)收敛(3)绝对收敛(4)条件收敛(3)收敛3,(1)发散(2)收敛 5求哥级数的收敛半径与收敛域.解：由于1limnlimlan-llim -1nn 1n所以，收敛半径1,，、，R 1收敛区间为(1,1).当x1时,原级数为1D收敛；n 1 n, ，一.，.1 当x 1时，原级数为11发散.故收敛域为1,1).n 1 nn x 6 .求哥级数的和函数.n 1 nnx解：不难求得收敛域为I 1,1)设和函数为S(x)即S(x) ,x In 1 n/11.逐项求导，S (x) x ,x1.再积分，便得n 11 xS(x)dxln(1 x), x I7 .求哥级数(2n 1

11、)xn的收敛域及和函数n 1a , 2n 11解： lim包！1而三1 R - 1n ann 2n1 11时,(2n11)n发散,故收敛域为1,1).(2nn 11)xn(2n12)xnxn =2dxx31 xn=2 xn11/3x今1 x3x1 x4x(1x)2x2(1 x)23x1 x4x 2x2(1 x)23x(1 x) (1 x)2x 4x2(1 x)2.8.将函数f (x)11 x2展开成的哥级数.一，一 1解：由于1 x1)nxn,( 1x 1),故.1f(x) Dn2n1 x 1n 2n1) xx 1)练习题1,求下列哥级数的收敛半径与收敛域n(1) nxn 1nx(2) 0n

12、1 3(4)nx4n2,求下列哥级数的收敛域及和函数n(1) nxn 1(2) (n 2)xnn 13,将下列函数展为x的哥级数 f(x) ln(1(2) f(x) f(x)(4)f(x).一 x sin 一2答案：1,(1) R 1, ( 1,1) (2)R 3,( 3,3) R 1, 1,1) (4) R 4, 4,4)x2 x -2,(1)( 1,1),2 (2)( 1,1),2(3) 1,1), xln(1 x)(1 x)(x 1)3,2n xn n1 x(2)nn 0 n! 2nlna n n xn 1 n!(4)n0(2n 1)!221、判断函数列 fn(x)在0,1的一致收敛性，

13、其中(1)、fn(x) 1解：(1)计算得,(2)、fn(x) nx(1 x)n 0f(x) lim fn(x)n. nxlim n 1 n xx 0,1,因而,nx , 2x| 一 n x n0,1,故，fn(x)在0,1 一致收敛。(2)计算得f(x) lim fn (x)nlim nx(1 x)n n0,x 0,1,记(x) | fn(x)f(x)| nx(1 x)n ,则(x) n(1 x)n11 (n 1)x,故，(x)在xn工处达到最大值，因而 n 1|fn(x) f(x)|n(xn) 丁(1故，fn(x)在0,1非一致收敛。注、下述用Dini -定理求证(2)显然，对任意的n,

14、fn(x) nx(1的过程是否合适。验证x)n C0,1,f(x) 0Dini定理的条件:C0,1;当 x 0 或 x 1 ,fn(x) 0 ,因而关于n单调；当为此，将离散变量n连续化，记x 0时，考察fn(x) nx(1 x)n关于n的单调性, a 1 x (0,1),考查对应函数g(y) yay关于y的单调性。显然，g (y) ay yay ln a ay1y ln a,1故，当y 1 0时，g(y) 0,因而关于y单减。ln a对应得到当n 一1时，fn(x)关于n单减，故由Dini-定理， fn(x)在0,1中 ln1 x一致收敛。分析 显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法

15、是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件f,fn C0,1是确定的，有限区间0,1也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x, fn(x)是n的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而 fn(x)的单调性也放宽为n N时，fn(x)是n的单调数列，本例中，在验证单调条件时,实际证明了： x 0,当n - N时，fn(x)关于n单调，显然，,1 ln1 x1N, (x 0 ),因此， fn(x)的单调性关于x并非是一致的，破,1坏了 Dini-定理的条件，故Dini-

16、定理不可用。从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：Dini -定理在有限15区间a,b上，设fn(x) Ca,b , n且fn (x)点收敛于f(x) Ca,b,又N 0,使得对任意固定的x a,b , fn(x)|n n关于n单调，a,b则 fn(x)f(x)o注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n充分大，即n N时 所满足的性质即可，要注意与 x关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题， 如W-定理：W-定理 设N 0,使得n N时，|un(x)| an, x I,且an收敛，则un(x)n 1n 1在I上一致收敛。定理中的条件|

17、Un(x)| an也是关于x一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的 x,存在 N(x),使得 n>N(x)时，|un(x)| an"。1例 2、证明：右 f (x)在(a,b)有连续导数 f(x),则 fn(x) n f(x -) f(x)在(a,b) n内闭一致收敛于f(x)。分析 从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察，1，I fn(x) f (x)| |nf(x -) f(x) f (x)| n统一形式ii|f ( ) f (x)|, x x I x| - nn因此，利用一致连续性可以完成证明。证明：任取,a,b,则f (x)在,一致连续，因此， 0,

18、0,使得x ,x ,且|x x | 时，I f (x) f (x )|,利用微分中值定理，存在 :x x -,使得 nI fn(x) f(x)| | f ( ) f (x)|,一 1 一.1.故，n 时，| x| -,因而nI fn(x) f(x)|,.故，fn(x)f (x)o3、讨论一致收敛性(1)xn(1 x)2 , x 0,1 ;(2)x2e nx, x (0,)。n 0n 0解：(1)法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函 数列来处理。由于1Sn(x)xk(1 x)2=(1-x) (1-xn) , x 0,1k 0故，S(x) lim Sn(x) 1 x , x 0

19、,1。 n因而，ISn(x) S(x)I (1 x)xn ,对任意的n,记g(x) (1 x)xn,则/、 n 1 n 1、g (x) nx (1 x)n因而,g (x)在xn=。处达到最大值，因而n+12_n 1 n nD S(x)l1 nKU 因此,0,1一致收敛。0,1Sn(x)S(x),故，xn(1 x)2 在 xn 0也可利用最大值法，或 W-判别法。记Un(x) xn(1 x)2,则un (x)nxn 1(1 x)2 2xn(1 x)n 1 ,人x (1x)n(n2)x故，Un(x)在 xn处达到最大值, n 2因而-)(2 n24n22)2Un(x) Un( -nn 2由W-定理

20、可得,n ,人x (1n 0x)2在x 0,1 一致收敛(2)法一、t己 Un(x) x2enx,Un (x)xe nx2 nx,故 Un (x)在 xnn22 一0 Un(x) Un(-) (-)2e 2 nn2 , ,一 一一处达到最大值，因而42Te ， n故，x2e nx 在 x (0,n 0)一致收敛。法二、利用用Taylor展开得,nx enxHIRn(x), x 0因而,2nx xnx e2x2 21 nx n | Rn(x)2x2 2 n xx>0故,x2e nx在x (0,)一致收敛4、设un(x)在a,b上点收敛， un (x)的部分和函数列在a,b上一致有界，证n

21、0n 0明：un(x)在a,b上一致收敛。n 0分析 这是一个抽象的函数项级数，从所给的条件看，W 定理、Abel判别法、 Dirichlet判别法、Dini定理都缺乏相应的条件，因此，考虑用Cauchy收敛准则, 为此，必须建立通项函数Un(x)与其导函数的关系，建立其关系的方法有微分法(利用微分中值定理)和积分法(利用微积分关系式)，其本质基本上都是插项 法，如利用积分法估计Cauchy片段px pp| Un k(x) | | Un k dt Un k(x0) | , k=1x0 k=1k=1相当于插入点x。，利用一致有界条件，则p| Un k(x)| M |x % |k=1pI Un k

22、 ( x0 ) | ,k=1要通过右端控制CaUchy片段任意小，从右端形式和剩下的条件看，右端的第二 项要用点收敛性来估计，而第一项需用小区间的长度来控制，由于点x是动态的、 任意的，因此，关键的问题是利用什么技术将动态点的控制转化为有限个定点控 制，通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的。证明：对任意的0,对a,b作等分割：a x° xi xk b ,使得 max xi 1 xi : i 0,1,| |,k 1又，Un(x)点收敛，因而，存在N,使得n>N时，n 0 pI Un j(X)|, p, i=0,1,|,kj=1n假设IUk (x)| M ,当n&g

23、t;N时，对任意的x a,b,存在xi0 ,使得|x x0 |,k=0故 px ppI Un k(x) | | 乂 Un k (t)dt 4 k(xi°)| xin k=10 k=1k=12M |x 4 |(2M1) , p因而，un(x)在a,b上一致收敛。n 0注、总结证明过程，步骤为：1、任给 0,分割区间，确定有限个分点；2、 在分点处利用Cauchy收敛准则；3、利用插项技术验证一致收敛性。注意相互问 的逻辑关系。注、类似的结论可以推广到函数列的情形：设逐点收敛的函数列Sn(x)是a,b上的可微函数列,且Sn(x)在a,b上一致有界,则S(x)在a,b 一致收敛。注、上述证

24、明的思想是通过有限分割将任意动态点的估计转化为有限个点的 静态估计，像这种思想在证明一致收敛性时比较有用，看下面的例子。6、给定函数列&(x),设对每个固定的n, &(x)都是a,b上的单调函数，又设Sn(x)在a,b上收敛于 S(x),且 S(x) Ca,b,证明S(x)在a,b上一致收敛于S(x) 0分析 由于题目中给出了极限函数且函数列是抽象的，因此，可以考虑用定义法处理。关键是如何利用点收敛和极限函数的连续性实现对|Sn(x) S(x)|的动态估计，假设插入的点为某个固定的点 ,则必然涉及到|S(x) S(%)|的估计，要得到与x无关的估计，从所给的极限函数的条件看，必

25、须利用连续性来实现相应的 估计，但是，仅仅用连续性还不够，因为连续性是局部性质，因此，这就使我们 考虑更高级的整体性质一一一致连续性，由此，借助一致连续性实现对区间的分 割，将动态估计转化为分点处的静态估计。但是，问题并没有全部解决，因为直接插项，产生的项|Sn(x) Sn(%)|无法解决，注意到还有一个单调性条件，因此，必须借助这个条件将|Sn(x) S(x)|中的Sn(x)由动态点过渡到静态的点，这种技巧并不陌生，在Dini定理的证明中曾借助关于n的单调性将变动的下标n转化 为固定的下标，这里我们利用同样的技术解决相应的问题。证明：对任意的0,由于S(x) Ca,b,因而一致连续，故存在

26、0,当 x, y a,b且 |x y | 时，|S(x) S(y)|,对a,b作等分割：a Xo Xixk b,使得max Xi 1 Xi : i 0,1,|,k 1b a利用点收敛性，存在N,使得n>N时,|SUx) S(Xi)|, i 0,1,|ko因此，当n>N时，对任意点x a,b,存在,使得x Xi0 i,xj ,利用Sn(x)的 单调性，则|Sn(x) S(x)| |Sn(xio)S(x)| §的1)S(x)| ,事实上，当Sn(x)关于x单调递增时，或者|&(x)S(x)|Sn(x) S(x)Sn(xio) S(x) |Sn(xi°)S(x

27、)|,或者|Sn(x)S(x)|S(x) Sn(x)S(x) Sn(xi0i) |S(x)Sn(x)|,因而，总有|Sn(x) S(x)|Sn(q) S(x)| |Sn(xi°i) S(x)|。这样，关于Sn(x)由动态的点转化为固定的点，对右端进行插项，进一步将S(x)由动态的点转化为固定的点。因而，|Sn(x) S(x)|Sn(x0) S(x)| |Sn(xi0i) S(x) |Sn(xio) S(xi0)| |S(xi°) S(x)|十 |Sn(x°i) S(xi0 i)| ) S(x)| 4 ,故，Sn(x)在a,b上一致收敛于S(x)。注、利用各种技术将

28、动态点处的估计转化为静态点处的估计是证明抽象函数列和函数项级数一致收敛性时常用的技巧，要掌握其处理问题的思想，特别是单调性在这个过程中的应用。n ik、一7、设f C(,)，定义函数列Sn(x)f(x上)，n=i, 2,，证k i nn明：0仪)在(，)内闭一致收敛。I分析 从函数列的结构可以计算出和函数为0f(x t)dt,因此，可以利用形式统一法证明结论。证明：对任意的x,则IS(x) nlim Sn(x)0 f(x t)dt。对任意的a,b()，则f Ca 1,b 1,因而，一致连续，故，对任意的 0,存在 0 ,当x, y a1,b 1且 |x y| 时,|f(x) f(y)|取N:

29、Nn k|Sn(x) S(x)| | kn1(f(x t)k 1 7f(xk一 )dt| n故，5板)在()内闭一致收敛。x证明：由于f0 C0, a,故M8、设 f0C0, a , fn (x)0 fn 1(t)dt ,证明:fn(x)在0, a 一致收敛于零。0,使得 | f0(x)| M , x 0,a,因而| fi(x)| Mx ,1 2M -x2x| f2(x)| M 0tdt归纳可以证明：|fn(x)| Mxnn!nMan!故，fn(x)09、在0,1上定义函数列4n2x,fn(x)4n2x4n,0,12n112nx 1 , n计算其极限函数并讨论其一致收敛性。1 .解、法一、显然

30、，fn(0) 0,对任意固定的x (0,1,则当n 1时，总有 xfn(x) 0,因此，lim fn(x) 0,故，其极限函数为f (x) 0。 n取Xn工，则4n| fn (xn) f (xn ) | fn (xn) n因此， fn(X)在0,1上非一致收敛。法二、用一致收敛性的性质证明。极限函数仍为f (X) 0,计算得，10 fn (x)dx112n 4n2xdxn ( 4n2x 4n)dx 10 2n因而,_ _ 1 _00 f (x)dx lim ° fn (x)dx 1 ,故，fn(x)在0,1上非一致收敛。注、这里，我们利用逐项求积定理，将这种将定性分析的证明转化为定量

31、的 验证，这是非常有效的处理问题的思想方法。10、给定函数列fn(x) x(1nxn) ,n=2,3,，证：当 1时，函数列 fn(x) n在0,)上一致收敛。证明：容易计算f(x) lim fn(x) 0, x 0,), n因而，| fn(x)f(x)| fn(x)x(lnn)x ' n对任意固定的n,fn (x)nx(1n n) (1xln n)因而,|fn(x)2x n.1f(x)1| fn(蒜)1 (In n)In n efn(x)在0,)上一致收敛。卜面讨论一致收敛性的应用。11、设 S(x)nr cosnx , n 02(|r| 1)计算 ° S(x)dx。分析

32、题目的本质实际是两种运算的可换序性，只需验证相应的条件。解：由于 Irncosnx| |r |n ,故cosnx 在0,2一致收敛，因而20 S(x)dxrn cos nxdx ,又,cosnxdx0,1,2,lll 52故 ° S(x)dx12、f(x)nx-n cos( n0 3解:nxn cos(n x2)在0,2的一致收敛性。o3由于,n,x /| -n-cos(n3n故， cos(n x2)在0,2 一致收敛，因而 n 0 3nxlim f (x) lim cos(n x 1x 1n 0 32(x )一n 01)n3n13 -。1 143注、关键选择一个合适的区间:即保证一

33、致收敛性，也要保证极限点落在此区间内部。13、计算limn1 dx0 _x0e" (1 -)nn分析 两种运算的换序性问题，只需验证一致收敛性条件。x证明：先证en的一致收敛性。显然，对任意的x 0,1,xlim en 1 , n利用微分中值定理，存在 0,1,使得xx| en 1| |en e01 ex 1-,x 0,1 n nx因而，en在0,1上一致收敛于1 (也可以用Dini定理证明)。其次，证明(1 x)n的一致收敛性。对任意的x 0,1,n收敛于ex,由Dini定理,(1 -)n在0,1上一致收敛于 n(1与n单调递增 n-Xe °由此，得|空en(1 -)n1

34、31xen| |(1-)n n故,在0,1上一致收敛于limn10-xendx1lim0 ndx14、证明:(1 -)nxen(1f(x)101(xdxx edex工一x;1 ln2 ln(1e (1 e )3n在(1，1)连续。 ne) 。1 c解：q (0,1),考察 (x，V在q,q上的一致收敛性。由于 n 1 n准则证明 1的发散性，可以设想，相应的方法是否能处理本题，由此，需要 n 1 n考察：能否存在Xn (0,1),使得片段中的每一项sn她的对应因子sin kXn , kk = n + 1,，2n有正下界，只需 一 kxn ,只需 xn ,因止匕,424(n 1) 4n只需取Xn

35、 04n证明：取0迈，则，对任意的n,取p=n, xn ，则 44n,sin(n 1)Xnsin 2nxn .2| n 1 HI | 不由Cauchy收敛准则，sn也在(0, 1)内非一致收敛。n 1 n注、还可以用下述结论证明其非一致收敛性：给定函数项级数un(x),设Un(x) Ca,b,若un(x)在(a,b)内一致收敛,n 1n 1un(a)和un(b)都收敛,则n 1n 1un(x) Ca,b。n 1un(x)在a,b上一致收敛，因而，还成立 n 1在Fourier级数习题课中，可以证明，sn?正是一个在0,1上的非连续n 1 n函数的Fourier级数，且其和函数在0,1上也不连续

36、，因而，根据上述结论，迎殷在(0, 1)内非一致收敛。n 1 n16、证明：工xn1与 anxn具有相同的收敛半径n 0 n 1n 0证明：法一：由于11一 |aJn一 一 1limlim (| an |n -，)n_ n(n 1)n(n 1)nlim |an |n lim r lim |an |n ,n 1 n 1 n1n 1 n 1(n 1)n另一方面，11 lad 2lim |an |n lim -n (n 1)nnn_(n 111lim |-n | 1 lim (n 1)nlim |-n | 1 ，n_ nn_(n 1)n(n 1)n故，二者有相同的收敛半径。法二、可定义证明。设 -n

37、xn的收敛半径为R,要证工xn1的收敛半径也为R,只要证|x0| Rn 0n 0 n 1工xn 1发散n 0 n 1时，-an-xn1 收敛，|Xo| R 时,n 0 n 1对飞： |x0| R,则，-nxn收敛，又n n 1n x0一7x0-n% ；,n 1n 1由Abel法，工*收敛n 0 n 1对任意的x0: | x° | R时，若-x； 1收敛，取y0使得| x° | | y0 | R ,因n 0 n 1-n n 11 x°-收敛，因而3n 1x收敛,故有界记为M,因此,n-nn 1 y0 n1 MnI-ny0 |；x0(一)(n 1) 1；(n1)r ，

38、n 1x0x0|x° |其中r |"| 1。由于 (n 1)rn ,因而，-ny0n收敛，这与-nxn的收敛半x°n 0n 0n 0径为R矛盾，故，旦*；1发散。n 0 n 1由此得二者的收敛半径相同注、例子表明，幕级数求导求积后收敛半径不变，进一步可得。17、设 f(x)anxn,其收敛半径为 R 0,证明：f(x) C ( R,R)且 a0 f (0),n 0f(n)(0)an 。n!解：由幕级数求导后收敛半径不变性的性质得，f C ( R, R)且f(0) a。，f (x)nanxn 1 , f (0)阚，n 1f (x) n(n 1)anxn 2 , f

39、(0) 2! a2 , n 2归纳可以证明：f(n)(0) n!an 。注、此例说明：任何一个幕级数都是某个函数的M-级数。18、设 f(x) C (,)且| f(k)(x)| M , k,x,又 f(右) 0, n 1,2,",证明：f (x) 00分析 利用幕级数展开论证，证明f(0) 0证明：由于|严(x)|IRn(x)l 六T10, x (,),因而，“*)在()可展成M-级数f(x)工.。n!下证 f(n)(0)显然,f(0)limnf(J)0,f (0)f(0)f(2n) lim -2 n12nRoller-定理,12213n31) in 使得 f (n1)0 且f (0

40、) limf ( ") f (0)0,归纳可证:f(n)(0) 0,故 f(x) 019、求收敛半径和收敛区间。1）、lnxn ;2）、n 1 nn 12n3）、/ ；4）、( = )nxn;n3 ( 1)nn nn=1 2n 1 n解：记其为anxn。n 11）、由于.an 1. ln（n 1） nlim lim1 ,nann n 1 In n故，R= 1 o当x 1时，史发散；当x 1时，Jn（ 1）n1是交错的L-级数，因而收敛,n 1 nn 1 n故其收敛域为R, R)。2)、由于11liman1lim(1-)ne,nnn一 1 故R - oe1时，考虑(=)n1n ,记bn

41、 (1与与，则 en 1 n en eln0(1 1)nnlg-e用连续化方法计算其极限，由于1.lg(1 x)x 1lim lx 0 xlimx 0lg(1 x)xxlimx 0lg(1 x) x2xlimx 011 x2x.1/故，ln bn同样，当x1, bn e2 0,因而，(上|1发散2nine1时，（上J）nln（ 1）n发散，故其收敛域为（1） e ninee e3）、这是一个隔项级数，直接用根式法讨论收敛半径。 由于2 n 1nlim LLn lim -L ,n2nn 2故，当|x| 1时，级数收敛，当|x| 1时，级数发散，因而，收敛半径 R= 1,显然，x=1和x=1时，级

42、数都收敛，因而，收敛域为1,14）、由于极限不存在，用上极限公式计算收敛半径。由于n 3 （ 1）n/lima： lim -14 ,nn1nn故,收敛半径R工。4,1当x 1时，则43 （ 1）nn 12_11一n n一 / n一'n 1 n 4 n 2k 1 n 4 n 2k n由于右端两项前者收敛，后者发散，因而，左端级数发散。同样，当x 1时，级数也发散，故嘉级数的收敛域为（丑）20、设 anxn的收敛半径为R,bnxn的收敛半径为Q,讨论下列级数的收敛n 0n 0半径。1 ）、（an bn）xn ; 2 ）、anbnxn。n 0n 0解、1）、当R Q时，不妨设R Q,则当|x

43、| R时，（an bn）xn绝对收敛；当 n 0Q |x| R时，由于(an bn)xnanxnbnxn,而 anxn发散，bnxn收敛，故，(an bn)xn发散。n 0n 0n 0当Q |X|时，利用幕级数收敛的性质，(a。bn)Xn必发散，否则，当n 0Q |x| R 时，(an bn)xn 收敛，故，(an bn)xn 的收敛半径为 min R,Q。n 0n 0当R= Q时，(an bn)xn的收敛半径有可能严格大于 R,如取anbn 1,n 0则R= Q= 1,而 (an bn)xn = 0,其收敛半径为。n 02)、由于11111“m |ajbn |nnim| an 门 bn |n

44、“m I anIn“m 心 In，故，(an bn)xn的收敛半径R RQon 0有例子表明，存在情形R RQ ,如取0, n 2k1, n 2kan, bn，1, n 2k 10, n 2k 1贝 U R= Q= 1,而 R . o21设an的收敛于A ,bn的收敛于B ,如果Cauchy乘积Cn(a°bn aibn 1 | anb0)收敛，则一定收敛于 AB。解：考虑如下三个幕级数anxn ,bnxn ,cnxn由条件：x 1是其收敛点，故由幕级数性质：在|x| 1内三个幕级数都收敛，因而确定三个函数f(x)anxn, g(x)bnxn, h(x)anxn, |x| 1且 f(x

45、) C( 1,1, g(x) C( 1,1, h(x) C( 1,1,又由绝对收敛级数的 Cauchy 乘法定理，则(anxn)( bnxn) (Cnxn),冈 1,即 f(x)g(x) h(x), |x| 1令x 1 ,则由连续性：f(1)g(1) h(1),即cnanbn AB例5、设f (x)anxn，当 |x|则当2xnn 11收敛时成立,a n n 1f (x)dx -x0n 1证明：由幕级数的逐项求导定理：xxx :| x | r , 0 f (t)dt 0antndtx04出_an_xn xn 1又记 g (x)-aJxn ,则 g (x)n 1C( r,r,故 lim g (x)x rg(r)an rn 1n 1x又 g(x) 0f (t)dt , |x| r ,因而 limx rf (t)dt也存在且等于f(x)dxrx故 0f(x)dx 如 0f (t)dt lim g(x)x rg(r)注：利用定积分的性质，不管f(r)取值如何，上述条件保证r0 f (x)dx 存在。例6、利用上题证明12 n解：由于ln(1 t)ttn|, |t| 144r ln(1 t) t故1-1 t2IIIn 1v "1 01t11t oxln(1 t)出0 t.ln(1lim t 0 ttn 1dt1 n则上式对