高二数学椭圆的知识点整理

1、实用标准文案第 1 讲 课题：椭圆课 型： 复习巩固上课时间：2013 年 10 月 3 日教学目标：（ 1）了解圆锥曲线的来历；（ 2）理解椭圆的定义；（ 3）理解椭圆的两种标准方程；（ 4）掌握椭圆离心率的计算方法；（ 5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；教学重点：椭圆方程、离心率；教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；知识清单（1） 椭圆的第一定义: 平面内与两定点F1、 F2 的距离和等于常数2a （大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆 .说明 ：两个定点叫做椭圆的焦点 ；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2c .（2） 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e，当0

2、e 1 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.PF1PF2 2a 2a F1F2 0 ;M P PF1 PF2 2a, 2a F1F2 0 .三、椭圆的标准方程：22焦点在 x 轴 :x 2 y2 1 a b 0 ；ab22焦点在 y 轴 :y2 x2 1 a b 0 .ab说明 ： a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足222a b c.四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程 Ax2 By2 C A、 B、 C均不为零，且A B 表示椭圆的条件：2222上式化为Ax By 1 ， x y 1 . 所以， 只有A、 B、 C 同号， 且

3、 A BC C CCABCCCC时，方程表示椭圆；当C C 时，椭圆的焦点在x轴上；当C C 时，ABAB椭圆的焦点在y轴上 .22五、椭圆的几何性质（以x2y21 a b 0 为例）ab1. 范围 : 由标准方程可知，椭圆上点的坐标x, y 都适合不等式222 1, y2 1，即 x a, y b说明椭圆位于直线x a和 y b所围成的ab矩形里（封闭曲线）. 该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性 : 关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。3. 顶点 （椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1 a,0、 A2 a,0、 B1 0, b、 B2 0,b

4、 .4. 长轴、短轴：A1 A2叫椭圆的长轴，A1A2 2a,a是长半轴长；B1B2 叫椭圆的短轴，B1B22b,b是短半轴长.5. 离心率（ 1）椭圆焦距与长轴的比e c ， a c 0, 0 e 1 （ 2）aRt OB2F2, B2F2 2OB22 OF2 2， 即 a2 b2 c2. 这是椭圆的特征三角形，并且cos OF2B2的值是椭圆的离心率. （ 3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关. 当 e接近于 1 时，c越接近于a，从而 ba2 c2 越小，椭圆越扁；当 e 接近于 0 时，c 越接近于0，从而b a2 c2 越大，椭圆越接近圆；当e 0 时， c

5、0,a b，两焦点重合，图形是圆.2b26. 通径 （过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为2b7. 设 F1、 F2 为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当P、 F1、 F2三点不在同一直线上时，P、 F1、 F2构成了一个三角形焦点三角形. 依椭圆的定义知：PF1PF2 2a, F1F2 2c.例题选讲一、选择题1 椭圆Ax2 4y2321 的离心率为（BC22D 232 设 p 是椭圆x y 1 上的点若25 16F1， F2 是椭圆的两个焦点，则PF1 PF2 等于（A 4B5CD3 若焦点在x轴上的椭圆2y 1 的离心率为m1012则 m=（）A3B 32C 83D4 已知ABC的顶

6、点B、x2C在椭圆 y 1 上，顶点3A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（A 2 3 B 6 C 4 3 D 125 如图，直线l : x 2y 2 0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为（A 1 B 2 C 5 D5552556 已知F1、 F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（A32B3 C2 D37 已知以F1（ -2,0 ） ， F2（ 2,0）为焦点的椭圆与直线x 3y 4 0 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A 3 2B2 6 C2 7 D 4 2

7、8 在 ABC 中， A 90 ， tan B 3 若以A， B 为焦点的椭圆经过点4C ，则该椭圆的离心率e9 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2 3， 0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是10 在平面直角坐标系xOy 中， 已知 ABC 顶点 A( 4,0) 和 C(4,0) ， 顶点 B22x ysin A sinC在椭圆1 上，则.259sinB11 椭圆x2 4y2 4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是12 已知椭圆mx2 3y2 6m 0的一个焦点为(0， 2)求 m的值13 已知椭圆的中心在原点，且经过点P

8、3， 0 ， a 3b，求椭圆的标准方程2214 已知方程x y 1 表示椭圆，求k 的取值范围k53k15 已知x2siny2 cos 1 (0)表示焦点在y轴上的椭圆，求 的取值范围16 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A( 3 , 2)和 B( 2 3 ,1)两f (x2) f(x1)x2 x1点的椭圆方程1. 函数的平均变化率：函数f(x) 在区间 x1, x2上的平均变化率为：2. 导数的定义：设函数y f(x) 在区间 (a,b)上有定义，x0 (a,b) ，若x无限趋近于0 时，比值y f (x0x) f (x0 ) 无限趋近于一个常数A，则称函数f (x) 在 x x0处可

9、导，xx0并称该常数A为函数f(x) 在 x x0处的导数，记作f (x0) 。函数 f(x) 在 x x0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3. 求函数导数的基本步骤：( 1)求函数的增量y f (x0x) f (x0) ； ( 2)求平均变化率：f (x0x)f (x0)； (3)取极限，当x无限趋近与0 时，f(x0x)f(x0) 无限趋xx近与一个常数A，则f (x0) A .4. 导数的几何意义：精彩文档函数 f(x) 在 x x0处的导数就是曲线y f (x) 在点(x0, f(x0) 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：1)求出 y f (x)

10、在 x0处的导数，即为曲线y f(x) 在点(x0,f (x0) 处的切线的斜率；2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y y0 f (x0 )(x x0) 。P(x0, y0 ) 不在y f (x) 上时，求经过点P 的 y f (x) 的切线方程，可设切点坐标，P 点的坐标代入确定切点。特别地， 如果曲线y f (x) 在点(x0 , f (x0) 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0 。5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移示瞬时加速度。S是时间 t 的函数 S(t)，则 V S (t) 表示瞬时速度，a v (t) 表1. 常见函数

11、的导数：1)(kx b)k( k,b 为常数 ) ；2)C 0( C 为常数) ；3)(x) 1 ；(x2 ) 2x ；5)(x3)3x2；6)7)( x) 21x；8)(x ) x 为常数) ；9)(ax)axln a(a 0,a 1)；10) (logax)1xlogaexl1na(a0,a 1)；11) (ex) ex；( 13)(sin x) cosx ；2. 函数的和、差、积、商的导数：( 1) f(x) g(x) f (x) g (x)；12) (ln x) 1 ； x( 14)(cos x) sin x。2) Cf (x) Cf (x) ( C为常数) ；3) f(x)g(x)

12、f (x)g(x) f (x)g (x);4) gf(xx)f (x)g(x) f (x)g (x)g 2(x)(g(x) 0) 。3. 简单复合函数的导数：若 y f (u), u ax b ，则yxyu ux ，即yxyu a 。1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y f(x) 在区间 (a,b) 内可导，(a,b)上为增函数；(a,b)上为减函数；(a,b)上为常数函数。y f (x) 的定义域；求导数f (x)；解不等式f (x) 0， 解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f (x) 0， 解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来 , 也可以利用导数由

13、函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数 y f (x) 在区间 (a,b)内可导，(1) 如果函数y f (x) 在区间 (a,b) 上为增函数, 则 f (x) 0( 其中使 f (x) 0 的 x值不构成区间)；(2) 如果函数y f(x) 在区间 (a,b)上为减函数, 则 f (x) 0( 其中使 f (x) 0的 x值不构成区间)；(3) 如果函数y f(x) 在区间 (a,b)上为常数函数, 则 f (x) 0恒成立。2. 求函数的极值：设函数 y f (x) 在 x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f(x) f(x0) ) ，则

14、称f (x0) 是函数 f(x) 的极小值(或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：( 1)确定函数f(x)的定义域；( 2)求导数f (x)； ( 3)求方程f (x) 0的全部实根，x1 x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，f (x) 和 f(x) 值的变化情况：x(,x1)x1(x1 ,x2 )xn(xn,)f (x)正负0正负0正负f (x)单调性单调性单调性4)检查f (x) 的符号并由表格判断极值。3. 求函数的最大值与最小值：如果函数f(x) 在定义域I 内存在x0， 使得对任意的x I ， 总有 f(x) f (x0) ， 则

15、称 f (x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数 f (x) 在区间a,b 上的最大值和最小值的步骤：( 1)求 f (x) 在区间(a,b) 上的极值；( 2)将第一步中求得的极值与f (a), f(b) 比较，得到f (x) 在区间 a,b 上的最大值与最小值。4. 解决不等式的有关问题：( 1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。f (x)(xA) 的值域是a,b 时，不等式f(x) 0 恒成立的充要条件是f (x)max0 ，即b 0；不等式f (x) 0 恒成立的充要条件是f (x)min 0，即 a 0。f (x)(xA) 的值域是(a, b)时，不等式f (x) 0 恒成立的充要条件是b 0；不等式f(x) 0恒成立的充要条件是a 0。( 2) 证明不等式f(x)