离散傅里叶变换(DFT)试题

1、第一章离散傅里叶变换(DFT )填空题N 1(1) 某序列的DFT表达式为X(k)x(n)W/，由此可以看出，该序列时域的长n 0度为,变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。2解：N; _MN 1 kl(2)某序列DFT勺表达式是X(l)X(k)WM ,由此可看出，该序列的时域长度k 0是,变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。解：N 2 M(3)如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。解：纯实数、偶对称(4)线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H (z) 8(zz-1) ,则系统2z 5z 2的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应h(n)

2、的初值为 ；终值h( )。1解：z12，z22 ；不稳定 ；h(0) 4;不存在1(5) 米样频率为FsHz的数字系统中，系统函数表达式中 z 代表的物理意义是 ,其中时域数字 序列x(n)的序号n代表的样值实际位置是 ； x(n)的N点DFTX (k)中，序号k代表的样值实际 位置又是。解：延时一个采样周期T 1/F , nTn/F , k(6)已知 xn 1,2,3,2,1;k 0,1,2,3,4 ,hn红k N1,0,1, 1,0; k 0,1,2,3,4 ,则 xn和hn的5点循环卷积为。解：xk hk xk k k 2 k 3xk x(k 2)5 x(k 3)50,1,3,3,2;k

3、 0,1,2,3,4已知 xn 3,2,0,2;k 0,1,2,3 ,hn4, 2,1, 1; k 0,1,2,3 则 xn和hn的4点循环卷积为。h0h3h2h1x0h1hh3h2?x1h2h1h0h3'x2h3h2h1h0x34112324112?12410112426437（8）从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是）;从频域角度看是（解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断3.2选择题1 .若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号（）A.理想低通滤波器B.理想高通滤

4、波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器解：A2 .下列对离散傅里叶变换（DFT）的性质论述中错误的是（）是一种线性变换具有隐含周期性可以看作是序列z变换在单位圆上的抽样D.利用DFT可以对连续信号频谱进行精确分析解：D3 .序列 x（n）=R 5（n）,其 8 点 DFT记为 X（k） , k=0,1,7 ,则 X（0）为（）。解：D4.已知 x(n)= S(n) , N点的 DFTx(n)=X(k),则 X(5)=()。A. NB, 1C. 0D. - N解：B5.已知 x(n)=1,其 N点的 DFT x(n)X(k),则 X(0)=()解：A6. 一有限长序列x(n)的DFT为X(k)

5、,N 1-1nkA X (k)WN N k 0, N 11nkC X (k)WN N k 0则x(n)可表达为： 。N 1_1 _B.-X(k)WNnkN k 0N 11nkD.X(k)WN N k 07 .离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n);则其频域序列 X(k)有： 。A X(k)=-X(k)B. X(k)=X*(k)C. X(k)=X*(-k)D. X(k)=X(N-k)解：D8 .已知 N点有限长序列 Xk)=DFT x(n)L 0<n, k<N 贝U N点 DFT ： wNnl x(n)=()A. X(k 1)nRnMb. X(k l)"RN(k)C.W

6、NkmD. wNm解：B9 .有限长序列 x(n)xep(n) xop(n)0 n N 1,则 x (N n) 。a. xep(n)x°p(n)b.xep(n)x°p(Nn)C. xep(n)xop(n)D.xep(n)x°p( Nn)解：C10. 已知x(n)是实序列，x(n)的 4点 DFT 为 X(k)=,-j,-1, j ,则X(4-。为()A. 1, -j , -1 , j B. 1, j , -1 , -j C. j , -1 , -j , 1D. -1 , j , 1, -j 解：B11. X(k) XR(k) jXI (k),0 k N 1,则 i

7、dftix。)是 x(n)的( 八A.共轲对称分量B.共轲反对称分量C.偶对称分量D.奇对称分量解：A12. DFT的物理意义是：一个 的离散序列x (n)的离散付氏变换 X ( k)为x (n)的付氏变换X(ej )在区间0, 2无上的 oA.收敛；等间隔采样 B. N 点有限长；N点等间隔采样C. N 点有限长；取值 C. 无限长；N点等间隔采样解：B13 .用DFT对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N,即,分辨率越周I OA. N 越大 B. N 越小 C. N=32 D. N=64解：A14 .对x1(n) (0< n& N1-1 )和x2(n

8、) (0 Wn& N2-1)进彳f 8点的圆周卷积，其中 的结果不等于线性卷积。()A.N1=3,N 2 =4B.N 1 =5,N 2 =4C.N 1=4,N 2=4D.N 1 =5,N 2 =5解：D15 .对5点有限长序列1 3 0 5 2 进行向左2点圆周移位后得到序列()A. 1 3 0 5 2 B. 5 2 1 3 0 C. 0 5 2 1 3D. 0 0 1 3 0解：C16 .对5点有限长序列1 3 0 5 2 进行向右1点圆周移位后得到序列()A. 1 3 0 5 2B. 2 1 3 0 5C. 3 0 5 2 1D. 3 0 5 2 0解：B17 .序列x(n)长度为

9、M当频率采样点数 N<M时，由频率采样X(k)恢复原序列x(n)时会产生()现象。A.频谱泄露B.时域混叠C.频谱混叠C.谱间干扰解：B18 .如何将无限长序列和有限长序列进行线性卷积()A.直接使用线性卷积计算B.使用FFT计算C.使用循环卷积直接计算D.采用分段卷积，可采用重叠相加法解：D19 .以下现象中()不属于截断效应。B.谱间干扰D.吉布斯(Gibbs)效应A. 频谱泄露C.时域混叠解：C20.若序列的长度为M要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是()>M02M>2M解：A21.一个理想采样系统，采样频率s=1

10、0 ,采样后经低通 G(j )还原,G(j )a. y(t) cos6 t;B.y(t) cos 4 t ;c. y(t) cos6 t cos4 t；D.无法确定。5;设输入信号：x(t) cos6 t ,则它的输出信号y(t)为:5解：B22.一个理想采样系统，采样频率s=8 ，采样后经低通 G(j )还原,14G(j ),4；现有两输入信号：x1(t) cos2 t, x2(t) cos7 t ,则它们相0 I I 4应的输出信号yi和y2：()A.yi(t)和y2都有失真；B. yi(t)有失真，y2(t)无失真；C.y1(t)和y2(t)都无失真；D. y1(t)无失真，y2(t)有

11、失真。解：D23.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为fs，信号最高截止频率为fc ,则折叠频率为()。22解：D24.在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期Ts与信号最高截止频率 fh应满足关系()。>2/f h>1/f h<1/f h<1/(2f h)解：D25 .设某连续信号的最高频率为5kHz,采样后为了不失真的恢复该连续信号，要求采样频率至少为Hz。()解：B26 .如果使用5kHz的采样频率对某连续信号进行无失真的数字信号处理，则信号的最高频率为 Hz。()解：A27 .要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条(

12、)。(I )原信号为带限(口)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率(W)抽样信号通过理想低通滤波器A. I、口B.口、WC. I、WD.I、口、W解：D问答题(1)解释DF伸频谱混迭和频谱泄漏产生的原因，如何克服或减弱答：如果采样频率过低，再 DFT计算中再频域出现混迭线性，形成频谱失真；需提高采样频率来克服或减弱这种失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是尽量用旁瓣小主瓣窄的窗函数。(2)在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2

13、倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形 输出波平滑化，故称之为“平滑”滤波器。(3)用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些答：混叠失真；截断效应(频谱泄漏)；栅栏效应(4)画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。答：框图如下所示第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第 3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第 4部分：数字信号变为模拟信号；第 5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号(5) “一个信号不可能既是时间有限信号，又是频带有限信号”是

14、信号分析中的常识之一，试论述之。答：由傅里叶变换的尺度变换特性可知,1f(at)-F(j-)a a信号在时域和频域中尺度的变化成反比关系，即在时域中带宽越宽，在频域中带宽越窄；反之，在时域中带宽越窄，在频域中带宽越宽。所以不可能出现在时域和频域都为无限宽或者有限宽的信号。(6) 试述用DFTt算离散线性卷积的方法。答：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为 M+N-1,而后求补零后两序列的 DFT并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT,可得原两序列的线性卷积。(7) 已知X(k)、 Y(k)是两个N点实序列x(n)、 y(n)的DFT1,今需要从X(k)、 Y(k)求x(n)

15、 、 y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个 N点IFFT运算一次完成。解：依据题意x(n) X(k), y(n) Y(k)取序列Z(k) X(k) jY(k)对Z(k)作N点IFFT可得序列 z(n)。又根据DFT性质IDFTX(k) jY(k) IDFTX(k) jIDFT Y(k) x(n) jy(n)由原题可知，x(n), y(n)都是实序列。再根据 z(n) x(n) jy(n) ,可得x(n) Rez(n)y(n) Imz(n)(8)设H(z)是线性相位FIR系统，已知H(z)中的3个零点分别为1, 1+j ,该系统阶数至少为多少解：由线性相位系统零点的特性可知，z 1的零点可单

16、独出现，z0.8的零点需成对出现,z=也是其零点之一，z1 jz , z21 j的零点需4个1组，其它三个z 11 j 一、 一一,所以系统至少为27阶。计算题1.计算下列序列的DFT:(1)(2)n0 ,0n0an,0 n(4)2cos 一 nmN,0N,0N ,0 m(5)n0,0n0(6)2cos0,1.,N解：(1)(nWNk(0) 1,0(2)(n n°)NRN(n)WNnkW；0k ,0(3)1 anWNnk0N Nka Wn,01 ,cosf0mn)WNnk2n1 j二 mn(e N0j。N )ejtnkNj2 k m1 e1 ej2 k mc229j k mj k m

17、1 e N 1 e Nej k m e j k mj_NJ k meee 方02.j_ k m e Nsin( ksin20,N-1(5)X kn 0k n0Wn- j2=eno9 1=一+ e2 4j (2n)N对照DFT逆变换公式得到X(k)m) m / NNJksin k其它u n n0WNnkk n0 1 /2 /2Wnk72Wn1)/(2Nj2 n e Nsinn0-1WNnk n 0k n0 1 /2Nk/2Wnsin n0 k / Nsin k / N,k=0,12 rN2)nN 11knX2 k WN9-N,21-N, k40,1WNkn0WNk，N-1j- n e N2N 1

18、jNJk mN2+4WN +4W(N 2)nN其它令x(n)和X (ejw )表示一个序列及其傅立叶变换，利用 X (ejw)表示下面各序列的傅立叶变换。(1)g(n) x(2n),、x n, 2(2)g(n)n为偶数n为奇数解：(1) G(ejw)g(n)e jnwx(2n)e jnwn.k j_wx(k)e 2kk为偶数2x(k).kkj2w1)kx(k)e 2(2)G(ejw)12kx(k)ew jk212kx(k)(ej)ewjk 2w j-1 一 cJe2)wgX(e “w2 X(eJ2)g(n)e jnw3.对有限长序列x(n)即 X(k)X(z)W5解:4.设 x n(1)(2)

19、解:(1)(2)12k2XX(x(k)ewej(2 ).we")w jk(-2g(2r)ej 2rwx(r)e jr2w X(ej2w)1,0,1,1,0,1的Z变换X(z)在单位圆上进行5等份取样，得到取样值X(z)X(k)的4点DFT。X(k),3 nkx n W4n 03nkh n W40,1,2,3,4 ,求X(k)的逆傅里叶变换5x(n)z nn 0X(z)z W5k1 W52W4x1 (n)。5W552W52W53x1(n)W5kn0x1(n)2,0,1,1,02W2kk5W44W43 k3k4W4的4点循环卷积，求yn及其4 点 DFTn0由上式得到5. 已知k Xk2

20、3ynHk2W42k2W42k23W4k23xnhn的 5 点循环卷积v解：取 Z 变换可得Xk由卷积定理可知vnx(n)由上式得到6.yn。xnx(n) 进行傅里叶变换得kX3 2W42k 4W43k 1 5W4k 4W43k4W43k4W43k18W42kn 23h(n)3W5kW52k4W5k6W5k6n15W4k 10W43k15W4k 10W43k26W43knk n W5nk183n20W44k 12W43k 8W45k 16W46k2012W43k 8W4k26 n 3n316W42kk 3W5k2k 3W52k3k 2W53kh n W5nk01 W5kW52kW53kDFT

21、V(k) X (k)H (k)3W52 k3W53k2W53k3W54kW5k 3W52 k 3W53 k 2W54 k3W54 k3W55 k7W52k7W52k6nn19W53k9W53k17n38W54k 5W55 kn29n的5点DFT为X2W56k38n4k ，求 Yk X2k的DFT逆变nkk 3kX k x n W52 W5W5n 04 2W5k 2W53k 2W5k W52k W54 k 2W53 k W54k W56k4 5W5k W52k 4W53k 2W54k由上式进行逆变换得v n 4 n 5 n 1 n 2 4n 3 2n 47.已知一个有限长序列x n n 2 n

22、5(D 求它的10点离散傅里叶变换 X k 。(2) 已知序列y n的10点离散傅里叶变换为 Y k W10kx k ,求序列y n 。(3) 已知序列m n的10点离散傅里叶变换为 M k X k Y k ,求序列m n解：(1)对x n取傅里叶变换得N 19X k x n WN1kn 2 n 5 皿0kn 0n 02e25kk1 2 1 ,k 0,1.,9(2)由 Y ky n是x n向右循环移位2的结果，即y n x n 210(3)由 M kX k Y k可以知道mn是xn与yn的10点循环卷积。一种方法是先计算 x n与y n的线性卷积u n x n y n x l y n l0,0

23、,1,0,0,0,040,0,0,0,4然后由下式得到10点循环卷积u n 10l R10 n 0,0,5,0,0,0,0,4,0,0另一种方法是先计算 y n的10点离散傅里叶变换N 19nknk 2k7kY k y n WNn 2 2 n 7 W0W102W|0再计算乘积M k X k Y k 1 圳 5k W段 2W；0 2k7 k7 k12k2 k7 kW/102W/102W104W/105W/|04W/10由上式得到mn 5 n 2 4n 78.若长为N的有限长序列x (n)是矩形序列x(n)= RN o图(a)是极零点分布图电位圜(1)求x (n)的Z变换，并画出其极零点的分布图(

24、2)求频谱X ejw ,并画出幅度 X ejw的函数曲线。极点：Z0=0 (N-1阶)；零点:j -kZpk = e N , k=1,2,N-1X ejw =X zz ejw1 e jwN1 ejwejw对照。n 0kWNN 1.z Z 1N 1 zN 1 z-Nsin w n 1 -ej 一.w sin -2(3)求x(n)的DFT的闭式表示,并与(1) X (z)=nn n zN1N zN1 z1 z 1N 14z z 1N 1 k z WNN 1zk 1K 1N z1k 0N1.2 .j k Nz e.N ejNj-Nwe 2 e 2.w. wjJ-一 2一 2e 2e2.w e&quo

25、t;X ejsin2.N sin 2N 1T图(b)所示的是频谱幅度Xej的函数曲线。N 1nk x (k尸Rn nWNn 0Nk1Wnk-1 Wn1a j2Xejj-NkN,0, k1,2,可见，x (k)等于x ej在N个间隔频率点k kN0,1, N1上的取样值9.已知序列和它的6点离散傅里叶变换(D若有限长序列的6点离散傅里叶变换为W4kX(2) 若有限长序列的6点离散傅里叶变换为实部，即U k = Re X k ，求 u(3)若有限长序列的3点离散傅里叶变换 V kX 2k k0,1,2 ,4k由 Y(k) W6 X(k)知,向右循环移位4的结果,(2)y n x(n 4) 65X(

26、k) 4 nn 04 3W6k3 W6n k3W6k 2W6ReX kk3W62W62 k W63k2kW63k2k2W63kW63W62W62k3kW6k3W6k2W62k3W65k 2W64 k W63kk3V62k2W63k2W64k5k2Ve3Ve82由上式得到10.(3)由于所以X(2k)x1(n)x2 nx3(n)2nkn W6nkn W3nkn W3nW3nknkn W3k3W3n 3W3nk,knk3W30,1,2nW3nk2X 2k x nn 03,n0,1,2是长为N的序列,x(n),0,吟,0,是它的2N 1n为偶数n为奇数用X Z的取样表示每个序列的 2N点DFT.解：

27、（1）因为2N 1X1(k)Xi0nkn W3W3nk,k0,1,2Z转换。用x n构成下列3个长为2N的序列nW2nN2 kjnN 21x nW2nk0knaWn21x n (e.2j k2N ) nn0n0所以j 2 kX1(k) X(e 2N )即X1（k）等于在单位圆上等间隔的2N点上对X（Z）的取样值。 X2(k)2N 1x2 n 0nknW2NnkN W2Nk nx nWN2k _nN Wn2因为x（n）的z变换是X（z）,x(nN）的z变换是zNX zk 一n0 Wn2j-(e 2N2) nX(e2 j k2N )最后得到(3)因所以这意味着X2X3 zX3 k2N2NknNWn

28、2j- k(e 2Nj2 k)NX(e 2N )kj- kkX(c 2N ).2jkX(e 2N ),2 j2X(e 2N0,），k为偶数k为奇数1x301x3 nW2n：1X3 2r0X3(e2r2r 2X zj- k2N )j2 kX(e N ),k 0,1，,2N 1X3（k）是由两个X（k）衔接起来得到的。11、设h1 n是一个N 8并关于n 3.5对称的序列。h2 n是h1n的4点循环移位序列，即（1）求 R（2）由 h1h2 nh1n 4 R n的DFT与h2 n的DFT之间的关系。和h2 n各构成一个FRI数字滤波器，试问它们是线性相关数字滤波器吗为什么如果是，时延是多少如果h1

29、n对应于一个截止频率为无/2的低通滤波器，那么h2 n也对应于一个截止频率为冗/2的低通滤波器吗为什么解（1）因为h1 nh1 N和h2 nH1 knk Nh2 Nj nke 8,所以当N 8时，有j nkn e 8n 0n0n 4hi2jnk8h1 742j nk8hin)k3h1n2jnke 8由于h1所以H1由上式得H1(1)H2h20j上nk8,2nh20,1,2,3h2n 0因为j上nk8,2e3h2n 0j2. 4 n k e 8j 2_4k 38h2,2ej上nk8kH2h11 /2H2都具有对称性,所以它们都是线性相位数字滤波器。时延为3.5(2)由(1)的结果知道，h1 n和h2 n的幅度响应相等，所以可以认为 h2 n也是一个截止频率为无/2的低通滤波器。12、某系统由两个LTI子系统并联而成，其中一个子系统的单位脉冲响应为%(n).1 . n(-)u(n),并联后系统的频率响应为3(2)(3)(4)解:H(ej )12 5e j12 7e je j2求另一个子系统的单位脉冲响应h2(n)o1、n ，、.假设系统的输入为 x(n) (一)u(n),用频域分析法分别求两个子系统的输出y1(n)和y2(n)。2在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n) 0写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画