重庆市渝北区2021届新高考数学第二次押题试卷含解析

1、重庆市渝北区2021届新高考数学第二次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1.设 4 = log23, b = log4 6 , c = 5"°，则()A. a>b>cB. b>a>c C. C>a>b D. c>b>a【答案】A【解析】【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底，利用对数函数单调性可比较4以再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】« = log,3e(1,2), b = log4 6 = log25/6 e(1,log,3)

2、, c = 5-01 e(0,l),因此“>><?,故选:A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.222.双曲线C： 4-4 = 1b>0)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为虎，则双曲线C的a b焦距为()A. 3B. 3立C. 6D.【答案】A【解析】【分析】根据焦点到渐近线的距离，可得然后根据可得结果.a【详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为以±”=。取右焦点尸C。)，一条渐近线/：bx dv = 0则点尸到/的距离为丁里=应，由 +/=°2所以b = 6,则。2-/=2又 £ = 3 =:=9 =

3、 / =三a a9所以/一工=2=c=m 92所以焦距为：2c = 3故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，以及Ac，e之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为八，属 基础题.3.设？，是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若a-L夕,mua , nu。,则团_LB.若a"。，mua , nu0,则mC.若 ?_L，机ua, nu/3,则 a_LD.若 m _L a, mlln , 尸，则。_L 耳【答案】D【解析】试题分析：加“2二片|P,.2_1_4,故选。.考点：点线面的位置关系.4 .已知i为虚数单位，复数z=（l+i）（2 + i）

4、,则其共枕复数£=（）A. 1 + 3/B. 13/C. l+3zD. 1 3z【答案】B【解析】【分析】先根据复数的乘法计算出z ,然后再根据共挽复数的概念直接写出?即可.【详解】由Z=（l+i）（2+i） = l + 3i,所以其共枕复数2 = 1 3i.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共挽复数的概念，难度较易.5 .如图，在等腰梯形A8CD中，AB/DC t AB = 2DC = 2AD = 2, ZZMB = 60°, E为A3 的中点, 将AA0E与ABEC分别沿。、EC向上折起，使A、8重合为点尸，则三棱锥尸 OCE的外接球的体 积是（）A.用4B.

5、叵兀8432C. -7tD. 一423【答案】A【解析】【分析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得 球体积.【详解】由题意等腰梯形中D4 = AE = E8 = 5C = C£）,又NDA3 = 60。，AAED, MCE是靠边三角形,从 而可得。石= CE = C£>, 折叠后三棱锥尸一。反?是棱长为1的正四面体，设M 是ADCE 的中心，则 BW_L 平面。CE, DM=-xxl = , FM = yjFD2-DM2 =,3 233产一。CE外接球球心。必在高EM上，设外接球半径为R,即= 8 =,.r2=

6、（4_r）2 +（4）2,解得R = q,球体积为用净=誓故选：A.【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体.6.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正 方形组成的，如图（D）,类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角 形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A'b'=2尸A,若在大正六边形中随机取一点，则 此点取自小正六边形的概率为（ ）4B.13A,亚 13

7、4 D.-7C,也 7【答案】D【解析】【分析】设AF' =。，则4广=2，小正六边形的边长为AF' = 2z,利用余弦定理可得大正六边形的边长为AB =。,再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设4F =。，则AF = 2，即小正六边形的边长为A'F' = 2z,所以，FF' = 3a, AAF'F = -t 在A4尸户中，3由余弦定理得 AF2 = AF，2 + FF，2 - 2AF1- FF' cos ZAFT,即 AF2 = a2 + （3y - 2a 3。 cos 三，解得 AF = 6a ,所以，大正六边形的边长为AF =,

8、所以，小正六边形的面积为=1x2”x2"x立x2 + 2x2j* = 6/2,22大正六边形的面积为S、= xy/laxy/laxx2 + Jlax y/2a =二1 »' 222S 4所以，此点取自小正六边形的概率0=才=7 故选：D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.7.执行下面的程序框图，则输出S的值为 ()L -B. C. D.12602060【解析】【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【详解】运行程序，5 = 1-1,/=2, J 2 1' 5 5 ' 2''

9、;12 3,11.,S = 1 H1. 1 = 4 5 5 52 31234111 .<5555234'.1234111 .c5555234'123451 lll.rS + F + F 1 ，/ = O 9结束循环,【答案】D33 D 3 DZ J 4 3故输出 $=£(1 + 2 + 3 + 4 + 5)- 1 + ?+: + !+!=： 52 3 4 5；故选：D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构, 8.已知集合4 = 工1一2不3,工£%,8 = 工1/ A. 2B. -1,0,1)C. -2,【答案】A 【解析】 【分析】

10、化简集合A,3,按交集定义，即可求解.【详解】,137 43S,60 60属于中档题.“A,则集合AC|8=()2)D. -1,0,1,2)集合 4 = "l2vx<3,xeN = 0,l,2,B = xx> IfiJcr <-1,则408 = 2.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.x+y >-19 .若实数.满足不等式组2），4-1 ，贝ij2x 3y + 4的最大值为（）2x-y-l<0 .A. -1B. -2C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线/,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域，如

11、图由射线A3,线段AC,射线CO围成的阴影部分（含边界），作直线/:2x 3），+ 4 =。,平移直线/,当/过点。（11）时，Z = 2x 3> + 4取得最大值I.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形.10 .等比数列4中，q=；q = 2,则，。与人的等比中项是（）8,11A. ±4B.4C.±-D.-44【答案】A【解析】【分析】 利用等比数列为的性质可得幻=出/，即可得出.【详解】 设(与你的等比中项是X.由等比数列也的性质可得“：=。必，工=±。6 .:.如与心的等比中项X = &#

12、177;4 = ± Jx2, = ±4.8故选A.【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题.11 .为计算5 = 1 2x2 + 3x224x23+.+ 100x(2)91 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应C. z<100D. />100【答案】A【解析】【分析】根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.【详解】由程序框图的运行，可得：s=0, i=0满足判断框内的条件，执行循环体，a=L S=L i=l满足判断框内的条件，执行循环体，a=2x (-2), S=l+2x (-2), i=2满足判断框内的条件，执行循环体，a=3x (-2)

13、2, S=l+2x (-2) +3x ( - 2) i=3观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a=99x (-2)", S=l+2x ( - 2) +3x ( - 2) 2+.+lx(-2)力i=L此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是 i<l.故选：A.【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于 基础题.12 .若复数-满足(l + i)Z = |3+4i|,贝ijz的虚部为()55A. 5B. -C. -D.2【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的

14、乘除运算化简得答案.【详解】由(1+i) z=l3+4il =+4? = 5，5 _ 5(1-0 _5 5 得z一下而"旷万一5"的虚部为一：.2故选C.【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .在平面直角坐标系X。)中，点夕(今,加)在单位圆。上，设4OP = a,且2£(工,一).若4 4cos(a + 1) = £,则 / 的值为.【答案】-7>/226【解析】【分析】根据三角函数定义表示出与=COS a ,由同角三角函数关系式结合cos(a + ) = 求

15、得sin(a + f), 4134( zr)乃而4=cosa = cos a + -,展开后即可由余弦差角公式求得小的值.A 4)4.【详解】点P（Xo,儿）在单位圆。上，设乙xOP = a,由三角函数定义可知cos a = xo，sina = y0,e、，,7t 3乃、r 7t n因为aw（二，一r）,则a + 不产，4 44 k 2 ；4； 1万、乃所以与=cos a = cos a + |（冗江 .（九、九= cos a + cos + sin a + sin I4 J44） 412 72 5-70=x1x =13 213 226故答案为：二9.26【点睛】本题考查了三角函数定义，同角三

16、角函数关系式的应用,2'14.已知数列4与f ,均为等差数列（neN）, 4J k 13；13余弦差角公式的应用，属于中档题.且 =2,贝.所以由同角三角函数关系式可得sin cr + -k. 1-cos2a + -=【答案】20【解析】【分析】设等差数列 M 的公差为d，由数列2.（2 + "）一=”+（2 + 2分，解方里213【详解】设等差数列色“的公差为，22由数列 义（为等差数列知,2 与二 n2因为4=2,所以2.2包=二+ !2Ir 2'：为等差数列，且，4 = 2，根据等差中项的性质可得, 1 更求出公差，代入等差数列也的通项公式即可求解.应 +g13

17、 '：2 + 2"：-93解得d = 2，所以数列an的通项公式为atl =4- l)d = 2+(-l)x2 = 2，所以40= 20.故答案为:20【点睛】本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.15 .已知等比数列也；的各项都是正数，且成等差数列，则log 式% + &)-，铝2(4 + %)=.【答案】-2【解析】【分析】根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代人表达式，结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列也的各项都是正数，且3%,：生，4,4成等差数列，则 的 = 3a2

18、 + 4,4 ,由等比数列通项公式可知=34 + 4% ,所以/_3g_4 = 0,解得4 = 4或9 =-1 (舍)，所以由对数式运算性质可得log2(a3 + %) -(44 + 45)-%+6 荷+q' t 1= log? = /限一。闻十6q q=1%二=一2, 4故答案为：-2.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.16 .正四棱柱ABC。A心CQ中，A8 = 4, A4, =26若M是侧面比。蜴内的动点，且AM _LMC,则AM与平面8CG用所成角的正切值的最大值为.【答案】2.【解析】【分析】如图，以。为原点建

19、立空间直角坐标系，设点由AM_LA/C得(? 2+2=4,证明 乙445为4M与平面BCG与所成角，令机= 2 + 2cos& = 2sin*用三角函数表示出tan4幽用，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以。为原点建立空间直角坐标系，设点几4,)，则A(4,0,0),C(0,4,0),用(4,4,26),:.CM = ("?,0,)，AM = (7-4,4,)，又AM ±MC,得 AM CM =nr -47 + 2 =0,即（7-2y +n2 =4；又A4 1平面BCCB,，.二乙勺必用为AM与平面BCC£所成角,令"? = 2+2

20、cos 8, n = 2sin8 w 0,乃,tan ZA1A/B1-_48陷击1八622cose-2+（2sine-2/）20 16siiqe +看，当6 时，tan/AMg最大，即4用与平面8。蜴所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间 直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力 和直观想象能力.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .在 AA3C,角 A、B、。所对的边分别为。、/?、c,已知 cos3 + (c

21、os A 2sin4)cosC = 0.(1)求cos C的值；_/T7(2)若AC边上的中线8M求AA3C的面积.2【答案】(1) cosC = E (2)答案不唯一，见解析5【解析】【分析】(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得tanC = 2,再根据同角三角函数基本关系可得cosC的值;(2)在AA8C中，由余弦定理可得4 + 3 = 0,解方程分别由三角形面积公式可得答案.【详解】解：(1)在AA3C中9 因为cos3 = -cos(A + C) = -cosAcosC+sinAsinC,又已知 cos B 4- (cos A - 2 sin A) cos C = 0 ,所以 sin

22、 AsinC-2sin AcosC = 0,因为sinAwO,所以sinC-2cosc = 0,于是tanC = 2.所以cosC = Y=.5(2)在AA8C中，由余弦定理得B，=3C2+CA/2_23C.CMcosC,得/_4/2 + 3 = 0 解得 = 1 或 =3,当 =1 时，AA3c的面积S=1asinC = l,2当 =3 时，AA3C 的面积 S = absin C = 3.2【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题. c、x = J3cos018 .过点P(1,0)作倾斜角为a的直线与曲线C：_(6为参数)相交于M、N两点.y =

23、，2 sin 6(1)写出曲线C的一般方程； 求I尸M|P叫的最小值.x2 y24【答案】(1) + = 1; (2) 7.323【解析】【分析】(1)将曲线的参数方程消参得到普通方程；22(2)写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程二十t=1,并将其化为一个关于，的一元二 32次方程，根据|PMHPN| = kQ,结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值.【详解】x = y/3cos0(1)由曲线c的参数方程5_(8是参数)，y = J2sin02 222可得二+二=cos2 + sii？6 = 1 ,即曲线C的一般方程为+ = 1.3 232x = - + t-cosa(2)

24、直线MN的参数方程为、(t为参数)，y = t- sina2 2将直线MN的参数方程代入曲线+ = 1,3 2得2(l + /cosa+3(/sina=6,整理得(3-cos%)-4cosa-f_4 = 0,4设M, N对应的对数分别为乙，6，贝“PM|PN| =，修,3 cosa当cosa = 0时，|PM|PN|取得最小值为【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.19.已知三棱柱 ABC-凡 8£ 中，AB = BB1=2,。是 8c的中点，BBA = 60° ,(1)求证：AB VAC,(2

25、)若侧面ACG4为正方形，求直线用。与平面GA。所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 手 【解析】【分析】(D取A8的中点。，连接8,。瓦，证明A3,平面。用得出A3,OD,再得出43L4C；(2)建立空间坐标系，求出平面GA。的法向量方，计算cos<”,电 >即可得出答案.【详解】(1)证明：取A3的中点。，连接8,。4，vZB,BA = 60°, B1B = 2, OB = AB = t /. OBi = V4 + I-2x2xlxcos600 = >/3 ,，OBYOB；=BB3 故 AB 上 OB1,又AB工BQ, O用|4。=4,。瓦，及Ou平面

26、。坊，48_1平面0。4，:.AB.LODtO,。分别是AB, 8c的中点，.OQ/AC, /. AB±AC.(2)解：四边形ACG4是正方形，AC ± 44 ,又AC_LA5, 48nAA =A,人员明匚平面/儿，.AC_L 平面 488 出，在平面内作直线48的垂线AE,以4为原点，以A8, AC, AE为所在直线为坐标轴建立空 间直角坐标系八一通忆，则 4(0, 0, 0), 0(1, 1, 0), G(-l，2,6),4(1, 0,6),，标=(1, 1, 0), Xq=(-1 , 2, 03 而=(0, 1, -我,设平面GA。的法向量为斤=(x,h-AD = 0

27、n-AC = 0x + y = 0-x+2y + y/3z = 0令1=1 可得：n = (19 -1, VJ),/. cos < nbQ>=，直线用。与平面G 4。所成角的正弦值为I cos <4，庭>1=浮.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题.20.如图，四棱锥七 ABC。中，平面A8CD_L平面BCE,若/BCE = £ ,四边形ABC。是平行四边 形，且(I )求证：AB = AD；(II)若点尸在线段AE上，且EC平面8OE, ZBC£> = 60°, 8C = CE,求二面角

28、A8尸。的 余弦值.【答案】(I)见解析(D)无7【解析】【分析】(I )推导出BC_LCE,从而EC_L平面ABCD,进而EC1BD,再由BD±AE,得BD_L平面AEC,从而BD_LAC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.(U )设AC与BD的交点为G推导出EC/ FG取BC的中点为O,连结OD,则ODJ_BC,以O为坐标原点, 以过点。且与CE平行的直线为x轴，以BC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【详解】(I)证明：ZBCE = -t 即8C_LCE,2因为平面ABCD ±平面BCE ,所以EC_L平

29、面A8C。，所以七C_L8Q,因为BO_LAE,所以平面A£C,所以 8Q_LAC,因为四边形A3CD是平行四边形，所以四边形A3C。是菱形，故AB=AO；解法一：（H）设AC与8。的交点为G,因为反?平面8。尸，平面AECn平面BDF于FG ,所以 EC/FG,因为6是4。中点，所以方是AE的中点，因为 NBCQ = 60。，取BC的中点为。，连接OD,则 O£）_L8C,因为平面ABC。_L平面BCE ,所以0。_1_面8七。，以。为坐标原点，以过点。且与CE平行的直线为x轴，以8c所在直线为.V轴，以8所在直线为z轴建立空间直角坐标系.不妨设A3 = 2,则3（O,T

30、,O）, A（0l2,G）, D（0,0,回 F 1,一亍洋, < >BF= J, A4 =（0,-l,>/3）,丽=（0,l,"）,设平面ABF的法向量% =（玉,y, Z）,1 / _n则玉+/”三。=0,取点+点）,一弘 +4% = 0同理可得平面尸的法向量值=（o. b,T）,设平面ABF与平面DBF的夹角为8,/ 勺"因为 cos22 .币 一3， 所以二面角A-BF-D的余弦值为立.7a Adwx E解法二：（II）设AC与8。的交点为G,因为EC/平面8。尸，平面AECA平面加/于R7,所以 EC/FG,因为G是AC中点，所以f是AE的中点，

31、因为AC_L8。，ACLFG,所以AC_L平面8。尸，所以 AC_LBF,取8尸中点，连接G"、AHt因为FG = BG,所以GHLBF,故8/_1_平面AHG,所以尸，即NAZ/G是二面角A3/一。的平面角,不妨设A3 = 2,因为AG = JJ, GH 2在 RlAAGH 中,tan ZAHG = y/6 ,所以cos44HG = 1,所以二面角A斯一。的余弦值为立. 77【点睛】本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.21.已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0）、B（O-l）,焦距为26.(1)求椭圆。的方程；(2)已知直线y

32、= m与椭圆。有两个不同的交点M、N ,设。为直线AN上一点，且直线3。、3M的 斜率的积为-!证明：点。在入轴上.42【答案】(1) + y2=l； (2)见解析.4【解析】【分析】(1)由已知条件得出、c的值，进而可得出。的值，由此可求得椭圆C的方程；(2)设点加(不加)，可得N(一冷/)，且玉W。，求出直线8W的斜率，进而可求得直线80与4N的方程，将直线直线8。与AN的方程联立，求出点。的坐标，即可证得结论.【详解】(1)由题设，得7? = 1C = y/3,所以/=4,即。=2.2故椭圆。的方程为三十 )3=1； 4(2)设 A/(X,Z),则 N(X,加)，$工。，in (1) m

33、 +1所以直线的斜率为一二2 =，X1 -0 xl1x因为直线B。、3M的斜率的积为-，所以直线30的斜率为一再二7J一？X)'=联立，)'=1 - mx + 1X1 1!X-14(/7?+ 1)直线AN的方程为y = X +1,直线8。的方程为- 4(/ + 1) X - 1.- 3； - nr +1,解得点。的纵坐标为切x +m -14因为点M在椭圆。上，所以9+=1,则)力=。，所以点。在x轴上. 4【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22.如图，三棱柱ABC-AiBiG中，侧面BCCM是菱形，AC=BC=2, ZCBBi=y,点A在平面BCCiBi上的投影为梭BBi的中点E.(D求证：四边形ACCiA为矩形；(2)求二面角E-BiCAi的平面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)，【解析】【分析】(1)通过勾股定理得出CE1BB,又AE _L BB,进而可得BB. J_平面A£C,则可得到AA, 1 AC , 问题得证；(2)如图，以E为原点，EC, EBt £4所在直线分别为x轴，>轴，z轴，求出平面后用。的法