四边形竞赛试题(一)

1、【例1】如图，四边形 ABCM 4个直角三角形拼凑而成，它们的公共顶点为O,已知 AOB ABOCC COD勺面积分别为20、10、16,求AOD勺面积。（1992年北京市“迎春杯”竞赛题）【注释】求三角形的面积，通常需要求出底和高，当这两个值不易求出时，常把它们的积作为一个整 体，设法求出它们的积。【例2】如图，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F+/G的度数。（1999年重庆市竞赛题）【注释】求凹多边形的内角和，常利用四边形和三角形的内角和进行计算，有事需要添加辅助线，将其转化为求一个凸多边形的和或一个凸多边形和一个三角形的内角和，如本题连接BF、CE,则所求的值等于四边形AB

2、FG勺内角和加上 DCE的内角和。【例3】如图，在四边形 ABCD43, / B=Z D=90° , / A=60° , AB=4, AD=5求变的值。（1993年“祖 CD冲之杯”邀请赛试题）E1【注释】有些几何题，按原有的图形很难求解，可根据图形的特点，将原图形补成特殊图形，利用特殊图形的性质进行求解。【例4】（1）是否存在这样的四边形，它的4条边依次是1、2、4、7?（2）是否存在这样的四边形，它的一组对角是直角，其中一个直角的两条边分别为3、4,另一个直角的边为6?DA A 4 B【注释】探索存在型问题是指在一定条件下，判断是否存在某个结论。解答这类问题，先假设结论

3、存 在，从假设出发，根据题设条件及有关性质进行推理论证，若推出矛盾，则不定假设，若推出合理的 结果，则说明假设正确。这种方法叫“假设法” 。【例5】如图，在四边形 ABCD, AB=AD=8 / A=60° , / D=150° ,四边形 ABCD勺周长为32,求BC 和CD的长。A B A R【注释】对于四边形，作对角线是常用的辅助线。【例6】如图，在四边形 ABCD43, AC BD相交于O, DOC勺面积Si=4, AO即面积S2=64,求四边 形ABCD勺面积的最小值。（第十一届“希望杯”邀请赛培训题）【针对训练】1如图，A B C在一条直线上， FA,AC FGL

4、 BE, DH BE DC± BG 且/ F=60° ,求/ EB叫D D 的度数。2如图，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E+/ F+/ G的度数。（1994年“祖冲之杯”邀请赛试题）60°、120° ,且60°角的两边均为 5, 120°角4如图，在四边形 ABCN, AD=DC / ADChABC=90 , DEI AB于E。若四边形 ABCD勺面积为8, 求DE的长。（1996年四川省竞赛题）【注释】本题求最值的方法称为配方法，即欲求一个量的最大值或最小值，可先用一个量或两个量表 示这个量，然后对列出的代数式进行配方，从

5、而确定最大值或最小值。【3】是否存在这样的四边形，它的一组对角分别为 的一边为6?【5】在四边形 ABC邛,AB=2, BC=4 CD=7；求AD的取值范围。【6】如图，在四边形 ABCD中,AC平分/ BAQ C吐 AB于 E, / ADC=135 , AE=- (AD+AB , BC=2 2求BE的长。写出这些组合。(1998年江苏省竞赛题)【注释】解四边形问题，常需要判定其形状，要熟记判定定理；由于判定定理比较多，易混易忘，可从边、角、对角线 3个方面加以记忆。例2凸四边形 ABCD43, AB/ CD且AB+BC=CD+AD求证：ABC虚平行四边形。(1990年芜湖市竞 赛题)【例 1

6、】已知：四边形 ABCD 从(1) AB/ DG (2) AB=DC (3) AD/ BQ (4) AD=BC (5) / A=/ C;(6) / B=Z D中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体【例3】平面上有三个正 ABD AACtE BCR两两共有一个顶点。求证：CD与EF互相平分。(1990年芜湖市竞赛题)【例 6】矩形 ABCD, AB=20cm BC=10cm 若在个最小值。（1998年北京市竞赛题）例 4在 RtABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D,AE平分/ BAC交CD K,交BC于E, F是BE上一点，且BF=CE求证：F

7、K/ AR （大连市第八届“育英杯”竞赛题）AG AB上各取一点 M N,使BM+MN勺值最小，求这【例71设P为直角等腰三角形延长GP并在其延长线上取一点ABC斜边AB上任意一点,P已AC于点E, PH BC于点F, PGL EF于GD,使得 PD=PC 求证：BC± BD且 BC=BD【注释】对于求证线段相等，角相等，线段互相平行，两线平行，两线垂直等问题，常先判定出某个 四边形是平行四边形或特殊的平行四边形，再根据其性质进行证明。这种证明方法往往优于用三角形 的性质证明的方法。【例5】如图，边长为a的菱形ABCD43, / DAB=60 , E是异于A、D两点的动点，F是CD上

8、的动点, 满足AE+CF=a证明：不论 E、F怎样移动， BEF总是正三角形。（1990年合肥市竞赛题）例8如图， ABC是正三角形， A1B1G的三条边 AiB、BG、CA交4ABC各边分别于 C2、Q, A A3,巳、B30已知AaG=GB3=B2G,且GG2+BB32=A2A2。请证明：ABCAi。（2002年北京市数学竞赛复赛 题）【注释】对于平行四边形问题，常将其转化为三角形问题解决。解题时要注意利用平行四边形的性质, 这些性质往往为解题提供必要的条件。A 6个 B 、4个 C、3个 D、5个4四边形的4条边长分别是a、b、c、d,其中a、c为对边，且满足 a2+b2+c2+d2=2

9、ab+2cd,则这个四边形一定是（）（ 1995年“希望杯”邀请赛试题）【针对训练】【1】下面有4个命题：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边相等且一 条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对 角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线A、两组对角分别相等的四边形B 、平行四边形C、对角线互相垂直的四边形D 、对角线长相等的四边形【5】如图，在口ABCD4 / ABC=75 , AF± BC于F, AF交BD于E,若DE=2AB贝U/ AED的大小是被另一条对角线平分的四边形

10、是平行四边形。其中，正确命题的个数是（ 题）（1988年全国联赛试AD AD【2】菱形ABCD勺对角线ACW BD相交于O, Z ABO 900 ,则图中共有全等三角形（）【6】矩形纸片ABCD AB=6, BC=&将纸片折叠使得 A与C重合，则折痕 EF的长为。 （1995年河 北省竞赛题）B、6 对 C、8 对 D 、12 对【7】如图，P为ABC*一点，过P点分别作AR AD的平行线，交 DABCg E、F、G H四点，若 Sahp=3, Spfc=5, 则 Sapb=o （ 1998 年北乐市竞赛题）3如图，AB/ CD/ EF, AD/ BC, AC平分/ BAD且与EF相交

11、于Q那么图中与/ AOE相等的角（不包 括/ AOB总共有（）（1996年荆沙市竞赛题）（ 1998年“希望杯”邀请赛试题）【8】如图，P为矩形外一点，PC=3 PB=4, PA=5则PD=。 （1998年河北省竞赛题）【9】如图，有一湖的湖岸在 AB之间呈一段圆形劣弧，AB之间的直线距离不能直接测得；为了得到AB之间的距离，请你用测角仪和量尺，在岸边设计出三种不同类型的测量方案（分别画出图形），并求出AB间的距离（经测量得到的线段的长的数据用a或b或c等表示，角度用”或3等表示）。（1999年河北省竞赛题）【11如图，矩形 ABCD BFDE中，AB=BE求证：CF± MN【12】

12、在口ABCD43, BC=2AB M为 AD的中点，CE!AB于 E。求证：/ DME=3 MEA【10如图，在DABCDK 以AC为边长在两侧各作一个正 ACR AC（Q试证BPDQ平行四边形。【13】P为四边形ABCM两边AR BC的延长线的交点，过 P作线段EF,使PE=PF求证：不论 EF的 长度与位置如何变化，线段 AE BF的中点连线恒经过某一定点。第三节梯形的判定和中位线定理【知识点拨】1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。2、等腰梯形的性质与判定性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等。判定定理：在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。3、梯形中位线定理：梯形中

13、位线平行于两底，且等于两底和的一半。对于梯形的问题，往往是通过作辅助线，将梯形问题转化成三角形或平行四边形问题来解决。常用 的辅助线如下：【14如图，在等月ABC中，AB=AC延长边AB到点D,延长边CAlU点E,连接DE,恰有AD=BC=CE=DE 求证：/ BAC=100 。 （2001年北京市数学竞赛试题）【赛题精选】AB AB【例6】分别以 ABC的边AG BC为一边，在4【例1】已知E、F、G分别是AB BG CA的中点，AD)± BC于D。求证：四边形 EFDG等腰梯形。【说明】一组对边平行的四边形可能是梯形，还可能是平行四边形！因此，要证明一个四边形是梯形，必须证这个四

14、边形的另一组对边不平行，证明一组对边不平行的方法有：(1)证明四边形的一组对边平行且不相等，则这个四边形不是平行四边形，因而另一组对边不平行；(2)利用经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，而经过这点的其它直线与这条直线不平行进行证明。【例2】已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4,求此梯形的面积。(2000年全国联赛试题)【例 3】如图，在梯形 ABC邛,AD/ BC, AB=DC AC± BDT E, BD=BC 求证：2CE=AD+BC【例 4如图，在梯形ABCD43,AD/ BG/ B=30° , / C=60° ,E、MF、N分别是 AR

15、BGCDAD的中点，已知 BC=7； MN=3求EF的值。(1997年全国联赛试题)【说明】对于涉及梯形的两底角互余问题，常将其转化为直角三角形问题。本题有辅助线还可过点N分别作AR AC的平行线，证 MN=1 (BC-AD即可。2【例5】在等腰梯形ABCD,CD/ AB,对角线AGBD相交于O,/ ACD=60，点S、P、Q分别是ODOA BC的中点。(1)求证： PQS等边三角形。(2)若 AB=5, CD=3 求 PQS的面积。(3)若 PQSB勺面积与 AOD勺面积比是7: 8,求梯形上下底的比 CD AB=? ( 1999年“希望杯”邀 请赛试题)ABC外作正方形 ACDE CBFG

16、点P是EF的中点。求证点P到边AB的距离是AB的一半。(1996年山东省竞赛题)【说明】以上介绍的几种辅助线要知道，还应通过做题总结出何时作何种辅助线。如本题在结论中有 两底的和或题设中有关于对角线的条件，辅助线常作对角线的平行线。【说明】本题构造梯形及梯形中位线，并通过线段的代换，使问题获得解决！【例71已知四边形 ABCD勺面积为32, AR CD AC的长都是整数，且它的和为16。（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形连长的平方和的最小值。（2000年全国初中联赛题）【针对训练】【1】以线段a=16, b=13, c=10, d=6为边，且使a/ c作四边形，这样的四边形（）（1

17、984年全国联赛试题）A、能作一个B 、能做两个C、能作三个D、能作无数多个 E 、不能做2在四边形 ABCD43, AD/ BG E是AB的中点， DEC的面积为S,则ABC曲面积是（）（1997年重庆市竞赛题）A 5S B、2s C、7S D、9S244【3】梯形的两条对角线分别为15和20,高为12,则上、下底之和是（）A 25 B 、16 C 、9 D 、12.55如图，在梯形 ABCD43, AB/ DG AD=BC AB=10, CD=4 延长 BD至U E,使 DE=BQ E EFLAB交BA的延长线于点F,则AF= 。 （1998年山东省竞赛题）【6】在梯形 ABC邛,AB/

18、DQ AB=8, BC=6v'2 , / BCD=45 , / BAD=120 ,则梯形 ABCD勺面积等于（2000年全国竞赛试题）4如图，四边形你 ABC虚梯形，AB/ CD /ABC=90 , AB=9cm BC=8cm CD=7cm M是 AD的中点,从M作AD的垂线交BC于N,则BN的长等于（）（1996年“希望杯”邀请赛试题）A 1cm B、1.5cm C 、2cm D、2.5cm四边形BEDF是等腰梯形。【7】在梯形 ABCDP, AD/ BC, AD< BC, AB=DC=10cm AC与 BD相交于 G 且 / AGD=60 ,设 E 是 CG的中点，F是AB的

19、中点，则EF的长度为 。（1994年“希望杯”邀请赛试题）BD分别交于点【10】梯形ABCD43, AB/ CD, Z A=90° , AB=4, CD=3 BC=7；。为AD边上的中点，求。到BC的距离。（河北省初中竞赛题）【8】梯形ABCD43, AB/ CD中位线MNW对角线AGP、Q设才!形ABCD勺周长为l ,四边形PQCD勺周长为11,若AB=2CD贝U l i： l=（1996年山东省竞赛题）【11】在梯形 ABC邛,AB/ CD / BAD=90 ,BC=2CD E是BC的中点，连接AB 求证：/AEC=3Z BAE【12】在梯形 ABCM, AD/ BC, AD&l

20、t; BC,对角线AC与BD垂直相交于 Q MN是中位线，/ DBC=30 。求证：AC=MN9在RtABC中，CE是斜边AB上的中点，ED/BC交AC于D,DF/CE交BC的延长线于F。求证:【13】在梯形 ABCD中，AB/ Cq AC BD相交于 O, ABC的面积为14, DCO的面积为25。求梯形ABCM面积。（1993年天津市竞赛题）DC【14如图，梯形 ABCM面积为34cm2, AE=BR CE与DF相交于O, OCD勺面积为11cm2,求阴影部 分的面积。（1993年“缙云杯”邀请赛试题）【15】直角梯形 ABCM, AB/ CD，CD< AB, AD! AB, E是A

21、D上一点，BCE>等腰直角三角形，/ CEB=90 , M是BC的中点。求证： AD娓等腰直角三角形。DC DC【16】 BQ CE是锐角 ABC的角平分线，P是DE的中点，PHL BC于H, PKAC于K, PL± AB于L。求 证：PH=PK+PL第四节正方形问题【知识点拨】1、正方形的性质：四个角都是直角、四条边均相等、对角线相等且相互垂直平分、每一条对角线平分 一组对角。2、解决方法：正方形问题通常也是转化为三角形问题来解决。如求正方形的边长，可利用勾股定理列 方程来求；证明两条线段相等，需证明现两线段所在三角形全等；在解题时，要充分利用正方形的性 质。【赛题精选】【例

22、1】若将正方形分成 K个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则K的值为（）。（2001年全国联赛题）B、8G 10D、12【例2】A在线段GB的延长线上,四边形ABDCF口 DEFGtB是正方形,面积分别为7cm2、11cm2o求 CDE的面积。（2002年北京市中学生竞赛题）【说明】要证一个大角是一个小角的 然后再证其中的一个等于小角。n倍，或证一个小角是一个大角的n分之一，可把大角 n等分,【例5】EFGK正方形ABCD勺内接四边形,BEG /CFH都是锐角，已知 EG=3 FH=4,四边形 EFGH的面积为5。求正方形 ABC而面积。（2000年全国联赛题）A IJ G【例

23、3】正方形ABCM, E为BF上一点，四边形AEFC恰为一菱形，求/ EAB的度数。【例6】正方形ABCDt两条与边平行的线段的面积恰是矩形 AGPE1积的2倍。试确定/EF、GH割成四个矩形，P是EF、GH的交点，若矩形PFCH HAF的大小并证明之。1【例4】正万形 ABCM, DC的中点为E, F为CE的中点。求证：/ DAE= / BAF。 2【说明】对于正方形问题，常将某个三角形绕正方形的某个顶点旋转90°,将分散的条件集中，使问题得到解决。本题中证 FH=F娓利用代数计算的方法证明的，这种方法是证明线段、角相等的常用方 法。【例71在正方形 ABC咕任取一点E,连接AE、

24、BE在 ABE外分别以AE BE为边作正方形 AEMNEBFG 连接 NG AF。求证：NC=AF【针对训练】1如图，如果正方形 ABCD43, CE=MN / MCE=35 ,那么/ AMN勺度数是。 （2000年广西初中 数学竞赛题）【2】如图，P是边长为8的正方形ABCD7卜一点, （2002年北京市中学生数学竞赛初赛题）PB=PC PBD的面积等于48,贝PBC的面积为【说明】正方形中的证线段相等，证角相等常利用三角形全等来证，而正方形的性质常为证全等提供方便。例 8如图，/ DOC=90，点 A B 在 OD OC上，且 AD=BC 点 E、F、G H 分别是 AB AC DG BD

25、 的中点。求证：四边形 EFGH正方形。【3】如图，正方形ABCM面积为256,点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtCEF的面积为200, 则BE的值为（）（江苏省竞赛题）A、 10 B 、 11 C 、 12 D 、 15【4】如图，四边形ABC比边长为1的正方形，4BPC是等边三角形，则4BPD的面积为（）（2001年全国初中数学联合竞赛武汉选拔赛题）12.3 1ABM CBQ CE相交于F点。求证：AF± BE （1992年四川省C 、D 、8AND【5】如图，在正方形 ABCD中，AC为对角线，BC的延长线上有两点E、F, CE=DC CF=AC DE 交 AF8如图，正方形 ABCD43, E、F是边AR BC上的两点，且 EF=AE+FC DGL EF于 ® 求证：DG=DA （1997年重庆市竞赛题）于H, AF交CD于G连接GH图中有非直角的