初中三角函数知识点题型总结+课后练习

1、1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边c的平方。|a2 b2 c22、如下图，在 RtABC中，/ C为直角，则/ A的锐角三角函数为（/A可换成/ B）:定 义表式取值范围关 系正 弦（/A为锐角）余 弦（/A为锐角）正切（/A为锐角）1-tan A （倒数）cot A余 切（/A为锐角）3；任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。三角函数0°f 30。45°6幺90邻边C011001不存在不存在104；任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。/B5、0°、30°

2、、45°、60°、90°特总!的三角函数值 （重要）斜边/锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1 .已知 RtAABC, C 90 , tan A 3, BC 12,求 AC AB和 cosB.42 .已知：如图，O O的半径 OL 16cm, O（CLAB于 C点，sin aoc -4求：AB及OC勺长.3 .已知：O O中，OCLAB于 C点，A8 16cm, sin aoc -5 求。O的半径OA勺长及弓g心距 OC(2)求 cos / AOCR tan / AOC4 .已知 A是锐角，sin A -8,求cosA, tanA的值17类型二.利用角度转

3、化求值：1 .已知：如图，RtAABC, / C= 90° . D是AC边上一点，D已AB于E点.DE： AE= 1 ： 2.求：sin B、cosB tan B.2 .如图4,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处.已知AB 8,BC 10,贝tan/EFC 的值为()A.D为AC上一点，若3 .如图6,在等腰直角三角形 ABC中,tan DBA 1，则 AD 的长为（）A .五 B . 2 C 5D. 2 24.如图 6,在 RtAABCJ, / C=90° , AG8, / A的平分线及边BG AB的长.类型三.化斜三角形为直角三角形 例 1 (2012

4、?安徽)如图，在 ABC中，/A=30° , / B=45 , AC=2/3 ,求 AB的长.例 2.已知：如图， ABE, AC= 12cm, A及 16cm, sin A - 3求AB边上白高CD(2)求 ABC勺面积S;(3)求 tan B.求：sin / ABC勺值.例 3.已知：如图，在 ABCK / BAC= 120° ,对应训练1 . （2012?重庆）如图，在 RtABC中，/ BAC=90，点 D在BC边上，且 AB谣等边三角形.若 AB=2求 ABC的周长.（结果保留根号）2 .已知：如图， ABE, A及9, BO 6, 4ABC的面积等于9,求sin

5、 B.类型四：利用网格构造直角三角形例1（2012?内江）如图所示， ABC的顶点是正方形网格的格点，则 sinA的值为( )A. 1 B . 5L C对应练习：.102、, 510.计算：3 1+(2 % - 1)0-3tan30° 2 cos302 sin 45 tan 601.如图，4ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 sin A =特殊角的三角函数值 例1.求下列各式的值2tan60 sin 452 cos30 =.tan45 ° =1. 3.2 cos60 sin 45tan30 =,22tan 45 sin 30 =1 cos601 在ABC中，右cosA22

6、2(sinB 万)20,A, B都是锐角，求 C的度数例2.求适合下列条件的锐角sin 2 cos 1(2) tan 等 23(4) 6cos( 16 ) 3 . 3（5）已知 为锐角，且tan（ 300） 33,求tan的值A,B都是锐角，求C的度数()在 ABC 中，若 cosA 1 (sin B £)2 0, 例3.三角函数的增减性1.已知/ A为锐角，且sin A < 1,那么/ A的取值范围是2A. 0 < A < 30B. 30 < A <60°C. 60 < A < 90D. 30 < A < 902.已知

7、A为锐角，且cosA sin 300 ,则 （）A. 0 < A < 60B. 30 < A < 60C. 60 < A < 90例4.三角函数在几何中的应用1.已知：如图，在菱形 ABC碑，DH AB于E, B& 16cm, sin a 1213D. 30 < A < 90求此菱形的周长.2.已知：如图，RtAABC, / C= 90° , AC BC33，作/ DAG30° , A饺 CB于D点，求:(1) / BAD(2)sin / BAD cos / BAM tan / BAD3.已知：如图 ABB, D为BC

8、中点，且/ BAd901tan B -，求：sin / CAD 3cos / CAD tan / CAD解直角三角形:1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下（如图所示）：在 RtABB, / C= 90° , AO b, BO a, A及 c,三边之间的等量关系:两锐角之间的关系:边与角之间的关系:sin A cosB;cosA sin B1;tan A tan B1-tan B tan A直角三角形中成比例的线段（如图所示）.在 RtABB, / C= 90° , CD!AB于 D.类型一CD=；aC=；BC=;AC BO例 1 .在 RtABC中，/ C=

9、90(1)已知：a=35,c3572，求/A、/ B, b; (2)已知：a273, b 2 ,求/A、/B, c；23,、 已知：sin A , c 6,求 a、b; (4)已知：tan B , b 9,求 a、c；32已知：/ A= 60° , ABC勺面积S 12曲，求a、b、c及/ B.例 2.已知：如图， ABE, / A= 30° , / B= 60° , AO 10cm.求 AB及 BC的长.例 3.已知：如图，RtAABCfr, / 况 90° , / B= 45° , / AC*60° . BO10cm,求AD的长.

10、例 4.已知：如图， ABCt, /A= 30° , / B= 135° , AO 10cm.求 AB及 BC的c长.歹术护类型二：解直角三角形的实际应用/AD B仰角与俯角：例1. （2012?福州）如图，从热气球 C处测得地面A、B两点的俯角分别是 30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，II AB两点的距离是（_ ）A. 200 米B, 200行米C, 2206米D. 100（近+ 1 ）米例2.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子

11、的顶端在D点.已知/ BAC=R60° , / DAP45° .点D到地面的垂直距离 DE 3&m ,求点B到地BCBD：30m例3 （昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高 从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端 A的仰角/ DCA60。，测得山顶B的仰角/ DC=30° ,求风力发电装置的高 AB的长.例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为 30的直角三角板测量树高，的垂直距离已知小聪和树都与地面垂直，且相距 3百米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.例5.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°

12、; ,测得岸边点D的俯角为45° ,又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C填一条笔直的缆绳AC求山的高度及缆绳 AC的长（答案可带根号）.例5. （2012?泰安）如图，为测量某物体 AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°, 前进20米，到达点C,再次测得点 A的仰角为60°,则物体AB的高度为（）A.1WM米B.10米02的米D.0送米3例6. （2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处

13、行驶到C处所用的时间为8秒，/ BAC=75 .（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1米，参考数据：sin75 °弋0.9659, cos75°弋0.2588,tan75 ° 弋 3.732, 731.732, 60 千米/小时七 16.7 米/秒）类型四.坡度与坡角例.（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是BC=50m则应水坡面AB的长度是（）A. 100m B . 100V3m C . 150m D . 50>/3m类型五.方位角1.已知：如图，一艘货轮向正北方向航

14、行，在点A处测得灯塔M在北偏西30° ,货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45° ,北 问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?（精确到0.1海里，十米8 1.732）综合题： 三角函数与四边形:(西城二模)1.如图，四边形 ABCDK /BAD=35° , / BCD=0° AB=BC2=,.16tan / BDC=3-. 求BD的长；（2） 求AD的长.（2011东一）2.如图，在平行四边形 ABCD中，过点A分别作A已BC于点E, AF，C计点F.(1)求证：/BAE:/DAF(2)若 AE=4, A

15、F=24, sin BAE 0，求 CF 55三角函数与圆:的长.1.如图，直径为10的。A经过点C（0,5）和点0（0,0）,与x轴的正半轴交于点 D, B y是y轴右侧圆弧上一点，则 cos/ OBC的值为（B.AOD.D xB 58题图C.-5（延庆）19.已知：在。中,AB是直径,CB是。的切线，连接AC与。交于点DJCD(1)求证：/ AOD=Z C(2)若 AD=3 tanC= 4 ,求。O 的半径。3（2013朝阳期末）21.如图，DE是。的直径，CE与。相切,交。于点B,在EC上取一个点F,使EF=BF.（1）求证:BF是。O的切线;(2)若 cosC 4, DE=9,求 BF

16、 的长. 5作业:B BAOEDE为现点.连接（昌平）1.已知sinA p则锐角A的度数是2A. 75(西城北)2.在 RtAABCfr, /C= 90°,若B01, AB=V5,则tan A的值为那么tan A的值等于（）.(房山)3.在 ABC中，/ C=90° , sin A=3 , 5A. 35B. 45D. 43（大兴）4.若sin（石景山）1 .如图,3 T 在RtABC中，/ C= 90° , BO 3, AC=2,则tan B的值是A. 23D.”13（丰台）5.将/ a放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan2.5A. -2,522D.（大兴

17、）5. ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinA. 35B.-4C. 43D.（通县）4.如图，在直角三角形ABC中，斜边AB的长为的值是B则直角边BC的长是A. msin 40oB. mcos40OC . mtan 40o Dm-otan 40（通州期末）1.如图，已知P是射线OB上的任意一点，PMLOA于Ba M,且OM : OP=4 : 5,贝COS a的值等于C.D 3O第1题图M A . 5巳（西城）6.如图,AB为。O的弦,半径3 cos BOD -, 5则AB的长是（）A . 2012 D. 8B. 16OCX AB于点 D,7.在 RtAABC中，/ C=90°

18、; ,如果A. 35B. 53.4cosA=一,5C.-4那么tanA的值是11.如图，在 ABC 中，/ ACB=/ADC= 90 ；若 sinA=-,贝U cos/ BCD 的值ACD13.计算： 2cos30 - 2 sin 45 tan 6013.计算2sin60 2 cos45 3tan30 tan 45 .13.计算：72sin60O 4cos230o+sin 45o tan60°.14 .如图，小聪用一块有一个锐角为 30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.15 .已知在RtABC中，/C = 90

19、76;, a=4j6 , b=i2« .解这个直角三角形20.如图，在 RtAABC中，/ CAB=90°, AD是/ CAB的平分线，tanB=1，求 需 的 值.(延庆)19.已知：在。中,AB是直径，CB是。的切线，连接 AC与。交于点D,求证：/ AOD=Z C若AD=3 tanC= 4 ,求。的半径。B处的俯角为30 ,荷塘另一端D处C、B在同一条直线上，已知 AC 32米，CD 16米,求荷塘宽BD为多少米？(结果保留根号)C(延庆期末)19.如图，某同学在,楼房的A处测得荷塘的一端第18题图D BO18. (6分)如图，在 4ABC中，点。在AB上，以。为圆心

20、卧(1)求证：BC是。的切线;经过A, C两点，交AB于点D,已知2/A + /B =(2)若 OA=6, BC=8,求 BD 的长.(西城)15.如图，在 RtABCp, ZC=90°，点 D在 AC边上.若 DB=6, AD=-CED 22sin /CBD2,求AD的长和tan A的值.18.如图，一艘海轮位于灯塔 P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它,计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.(1) B处距离灯塔P有多远？(2)圆形暗礁区域的圆心位于 PB的延长线上，距离灯塔 200海里的O50海里，进入圆形暗礁区域就有触B处是否有触礁的危险，并说明理由90 ,以DC为直径彳半圆e O ,交边AC处.已知圆形暗礁区域的半径为 礁的危险.请判断若海轮到达22.已知，如图，在 ADC中， ADC于点F,点B在CD勺延长线上，连接BF,交ADT点E,bed 2 c .(1)求证：BF是e O的切线；（2）若 BF FC, AE 73,求 eO 的半径.15.如图，为了测量楼 AB的高度，小明