电工技术(第三版席时达)教学指导、习题解答第三章

1、第三章正弦交流电路【引言】。在生产和生活的各个领域中所用的 交流电，一般都是正弦交流电，即电路各部分的电压和电流均按正弦规律变化。分析正弦交流电路的主要依据仍然是各种元件的伏安关系和基尔霍夫定律，但交流电路有其特殊的规律，不少现象和结论用直流电路的概念是无法理解的。正弦交流电路是本课程的重点内容，是学习以后各章的基础，学习好坏，对以后影响很大。学习目的和要求1 .理解正弦交流电的三要素以及相位差和有效值的概念。2 .理解正弦交流电的各种表示方法及互相间的关系，掌握正弦交流电的相量表示法。3 .理解正弦交流电路中电流与电压的关系及电路基本定律的相量形式。4 .理解正弦交流电的瞬时功率、平均功率和

2、功率因数的概念。了解无功功率、视在功 率的概念。理解提高功率因数的意义和方法。5 . 了解分析正弦交流电路的一般方法。6 . 了解串联谐振和并联谐振的条件和特征。7 . 了解非正弦交流电路的概念。本章重点：单一参数的交流电路。本章难点：相位及无功功率的概念。(a)(b)图 3-1-13-1正弦交流电的基本概念【讲授】图3-1-1 （a）。直流电一一不随时间变化的电压（U） 和电流（I）。【讲授】图3-1-1 （b）。正弦交流电一一随时间按正弦规律周期性变化的电压（u）和电流。【说明】通常直流电由直流发电机、电池、稳压电源产生，正弦交流电由交流发电机、电子振荡 器产生。正弦交流电的优点是：易于产

3、生和使用，易于输送和分配、易于变换。【讲授】正弦交流电常用波形图来表示。如图 3-1-2所示。波形图正弦电流随时间变化的曲线【说明】波形图的横座标可用 t表示，也可用3 t表示。史图 3-1-2周期T交流电变化一周所需的时间（s)52频率f 一一每秒变化的周数（Hz）【讲授】正弦交流电可用三角函数式表示。解析式一一表示正弦交流电随时间变化的三角函数式。瞬时值【讲授】正弦电流可以由 Im、3.这三个参数决定，因此称最大值、角频率、初相位为正弦量的特征量，亦称为正弦量的三要素，现分述如下:、正弦量的三要素幅值。【说明】最大值用带下标 m的大写字母表示，如 Im、 Um、 Em。瞬时值用小写字母表示

4、，如 i、u、e2.角频率一一单位时间内正弦函数辐角的增长值（rad/s)。T【说明】f、T和3三个物理量都是说明正弦交流电变化快慢的同一物理实质的。知其一就可知其它两个量。我国电力系统供电的频率 f =50HZ,可知其周期为 T = (1/50)s= 0.02s,角频率3 = 2无/T = 2% f =314rad/s。这一频率称为工业标准频率，简称 工频。世界上多数国家以50HZ为标准频率，美国、加拿大、日本等少数国家以60HZ为标准频除工频外，各种技术领域则采用不同频率的交流电，例如：工业用中频炉500800Hz高频炉 200300kHz音频信号 2020kHz无线电通信30kHz3X1

5、04M Hz3.初相位计时开始时刻正弦量的相位角_ (rad或° )。【解释】图3-1-3 o3 t+0i)正弦量随时间变化的进程(a)选i=0瞬时作为记时起点时，初始值 i (0) = Im sin 6 =0,则初相角。i =0,波形经过原点；(b)当选i>0的某一瞬间作为计时起点，则sini>0,打>0,波形前移一个 打角；(c)当选i<0的某一瞬间作为计时起点时，则 sin tp i<0, ip i<0,波形=后移一个 。i角50Hz。试分别写出电压和电流的瞬时值图 3-1-4例3-1-1某正弦电压的最大值Um =310V,初相角Ou =30

6、° ;某正弦电流的最大值Im= 14.1A ,初相角 妨=-60° o它们的频率均为 表达式。并画出它们的波形。解电压的瞬时值表达式为u = Um sin ( 3 t+。u ) =310 sin (2 兀 f t+ 1 u )V =310 sin (314 t+30 ° )V电流的瞬时值表达式为i = Im sin (31+ 6 i ) =14.1 sin (314t-60° )A电压和电流的波形如图 3-1-4所示。例3-1-2试求上式中电压 u和电流i在t=(1/300)s时的瞬时值。解u =310 sin (2 兀 x 50 t+30°

7、)V=310 sin (250 x 1/300+30° )V=310 sin (兀/3+30° )V=310 sin90 ° V =310Vi =14.1 sin (2兀><50>< 1/300 60° )A=14.1 sin0 A=0【说明】在t=1/300s瞬时，电压u达到最大值 Um=310V,而电流i到零点，见图3-1-4 ou与i的频率相同而最大值和初相位不同。分析电路经常会遇到两个同频率正弦量，因为电路中所有的电压、电流都是与电源频率相同的正弦量，这种初相位的差异反映了两者随时间变化的步调不一致。这种步调不一致的程度一

8、般用相位差来表示。二、相位差6 两个同频率正弦量的初相角之差。() = ( 3 t+。u) ( 3 t+。i)= 。u 。i6 =30° ( 60) ° =90°【说明】两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相角之差。计时起点(t= 0)不同，两个同频率正弦量的初相位和相位不同，但相位差不变不同频率的正弦量比较相位无意义。() = Ip u。0() = ip u ip i = 90°6=。u i=06=Ou6i=±180。电压超前于电流电压与电流同相电压与电流反相t两个同频率正弦量的相位差有以下几种情况，如图3-1-5所示。电压滞后于电流90&#

9、176; 相图 3-1-5选定某正弦量为参考正弦量令其初相角。=0,则其它各正弦量的初相角，即为该正弦量与参考 正弦量的相位差例3-1-3已知正弦电压u和电流i1、i2的瞬时值表达式为u = 310sin ( cot -45° )Vi1 =14.1sin( wt-30° )Ai2 =28.2sin(cot +45 ° )A试以电压u为参考量重新写出电压 u和电流ii、i2的瞬时值表达式。解若以电压u为参考量，则电压u的表达式为u = 310sin 3 t V由于ii与u的相位差为（j）i=6i i ipu= 30 4 45）=15故电流ii的瞬时值表达式为ii =

10、i4.isin（ cot+i5° ）A由于i2与u的相位差为（j）2=6i 2 ip u = 45 4 45）=90故电流i2的瞬时值表达式为i2 =28.2sin（3t +90° ）A【讲授】正弦量三要素的实质是正弦量的大小、变化快慢和起步位置。正弦量的大小是不断变化的的，许多场合用最大值来表示它的大小并不合适，例如最大值iA的交流电与iA直流电通过同一电阻的热效应是不同的，电流值不能看作是相等的。实际上不论是周期性变化的电流还是直流，我们把通过同一电阻热效应相等的电流值看作是相等的。我们通常说的交流电多少安培、多少伏特并不是指最大值，而是指有效值。三、正弦量的有效值 从

11、能量转换角度去考虑的等效直流值。问题有效值肯定比最大值小，那么究竟是多大呢？【朗读教材第50页第8行】有效值是从电流的热效应来规定的，因为在电工技术中，电 流常表现其热效应。不论是周期性变化的电流还是直流，只要它们在相等的时间内通过同 一电阻而两者的热效应相等，就把它们的电流值看作是相等的。也就是说，当某一交流电 流i通过一个电阻 R在一个周期内所产生的热量，与某一直流电流I通过相同的电阻在相同时间内产生的热量相等时，则该交流电流的有效值在数值上就等于这个直流值I。【解释】图3-i-6【说明】图上标出的电压和电流方向是参考方向，当交流电为正半周时，电流（或电压）的实际方向与参考方向一致，此时电

12、流（或电压）为正值；当交流电为负半周时，电流（或电压）的实际方向与参考方向相反，电流（或电压）为负值。交流电流i在一 周期时间（T）内 通过电阻R所产| II/装吗co交僚电通过电阻隹流胞通过电困直流电流I在相 同时间（T）内 通过电阻R所产图 3-1-6i 2 Rdt= I 2 RT交流电有效值= 0.707Im正弦交流电有效值U=Um万=0.707Um【说明】正弦交流电的有效值是它最大值的1 /、，'2 o 一般用有效值表征一个交流电的大小，而最大值只表明交流电最大的瞬时值交流电的有效值是从能量转换角度去考虑的等效直流值。引入有效值后，便可借鉴直流电路220V、交流电的分析方法去处

13、理交流电路的许多问题。实际生活和工作中经常见到的交流电的数值都是有效值，例如家庭用的交流电机和电器的铭牌上所标的额定电压和额定电流、交流电压表和电流表的读数等都是有效值。只有在说明某些电气设备或器件上的击穿电压或绝缘耐压时才用到电压的最大值，例如电容器上所标的额定电压，通常指的是直流电压值。当电容器用在交流电路时，交流电压的最大值应不超过它的额定电压值，否则电介质将被击穿，电容器将损坏。例3-1-4试求例3-1-3中正弦电压u和电流i1、i 2的有效值。解Um 3102.2 VI1m 14.1220VA 10AI 2m28.2-m A 20A提问思考题 3-1-1、3-1-3、3-1-4、3-

14、1-5 。思考题3-1-1 已知 i1 = 5sin314tA, i2= 15sin(942t+90° )A。你能说 i2 比 i1 超前 90° 吗？为什么？答两者频率不同，比较其相位是没有意义的，因此不能说i2超前i1 90。3-1-2正弦量的最大值和有效值是否随时间变化？它们的大小与频率、相位有没有关系?答正弦量的最大值和有效值是不随时间变化的，它们的大小与频率、相位没有关系。3-1-3将通常在交流电路中使用的 220V、100W白炽灯接在220V的直流电源上，试问发光亮度是否 相同？为什么？答通常在交流电H中使用的 220V、100W白炽灯，接在有效值为 220V的

15、交流电源上，其功率是 100W,由于交流电有效值是从能量转换角度去考虑的等效直流值，如果将它接在 220V的直流电源上， 其功率也是100W,故发光亮度相同。3-1-4交流电的有效值就是它的均方根值，在什么条件下它的幅值与有效值之比是衣?答必须是正弦交流电，它的幅值与有效值之比才是，万。3-1-5有一直流耐压为220V的交、直流通用电容器，能否把它接在220V交流电源上使用？为什么？答220V交流电压的最大值为 220 y2 V,超过电容器的耐压值 220V,会使电容器的绝缘击穿，故 耐压为220V的电容器不能用在220V交流电压上。3-2正弦量的相量表示法解析式',a计算不便【引出】

16、 正弦量的表示方法j波形图1相量一一用复数表示。计算方便，本章重点相量表示法是用复数来表示正弦量，下面简单复习一下复数。、复数代数形式【讲授】图3-2-1 o三角函数形式(1)复数的代数形式模 a =v/a2+b2+ j*复平面bA虚轴图 3-2-1aA复数辐角。=arctan 实轴+ 1A | sin。A | cos 少(2)复数的三角函数形式A= | A | （ cos。+ j sin。）(3)复数的指数形式A= | A | ej *1 .复数的表示形式67/ =cos。+ j sin。欧拉公式复数的极坐标形式90°90°2 .复数运算设Ai=ai±jbi=

17、| Ai | / 6 iA2 =a2 ± jb2= | A2 I / 2(1)力口、减运算一一用代数形式，实部与虚部分别相加或相减。A1+A2 = (ai ± a2)+j( bi ± b2)【说明】图3-2-2(2)乘、除运算一一用指数或极坐标形式， 模相乘、除，辐角相加、减。Ai , A2 = | Ai | | A2 I / 6 i + 1 2I Ai I,A2=”【说明】图3-2-3(3)复数乘以± j+ j = 0+j=i/90 °j Ai=i /90° Ai= 1 Ai 1 / 6 i+90 °一 j = 0一 j=

18、i/ 90-j Ai=Ai /" i 一 90°【说明】图3-2-4。任一复数乘以十j ,相当于在复平面上把复数矢量沿逆时针方向旋转任一复数乘以-j ,相当于在复平面上把复数矢量沿顺时针方向旋转J旋转因子逆时针旋矢量长度转角速度矢量与横轴 的正向夹角【讲授】图3-2-5图 3-2-5矢量在纵轴上的投影、正弦量与复数的关系i =Im sin （ wt+ 山矢量长度逆时针旋转角速度矢量与横轴 的正向夹角E要素决定一个正弦量【说明】正弦量可用旋转矢量来表示。求解一个正弦量必须求得它的三要素。但在分析正弦交流电路时，由于电路中所有的电压、电流都 是同频率的正弦量，通常只要分析最大值

19、(或有效值)和初相角两个要素就够了。用一个有一定长度，与横轴有一定夹角的静止矢量就可来表示正弦量。这样的静止矢量置于复平面 上就是复数，所以可以直接用复数来表示正弦量。?n、Un、?m,、相量 用来表示正弦量的复数【讲授】相量有最大值相量和有效值相量两种，相量符号是在大写字母上加黑点，如(2)有效值相量?、U、？。如图3-2-6所示。(1)最大值相量相量的卞H=正弦量的最大值(a)最大值相量? m = Im / 山图有效值相量运算更方便，故一般都采用有效值相量。若已知一正弦量，则可求出与之对应的相量，反之亦然I /Jl V > i = 2 2 I sin （ 31+。）相量是一个复常数，

20、而正弦量是周期性的实变数，是时间 t的函数，两者不能相等。? = I /_i|r 丰 i =、'2I sin ( 3 t+。)非正弦量不能用相量表示四、正弦电路的相量分析【讲授】引入正弦量的相量表示法后，正弦量的分析计算就变得十分简便。在分析正弦交流电路时，有两种方法可用：一是利用相量图上各相量之间的关系，用几何方法求出所需的结果；二是用复数式 直接进行运算。f相量式 ？ = I /山用复数进行运算。两种分析方法，I相量图几个同频率的相量画在一起，利用相量图上各相量之间的关系，用几何方法求出所需的结果， 如图3-2-7 (a)所示。(b)图 3-2-7【说明】几个同频率的相量画在一起，

21、可取其中一个相量作为参考相量，令其初相角为零，即画在横轴方向上，其他相量的位置按其与此相量之间的相位差定出，坐标轴可不画出，如图3-2-7 (b) 、 (c)所不。例 3-2-1已知图 3-2-8 (a)所示的电路中，ii =42 8 sin (wt+60° )A , i2=J26sin (cot30° )A,试求总电流i的有效值及瞬时值表达式。解先将正弦电流ii和i2用相量来表示:?i = 8 /60° A?2 =6 /- 30° A(1)用相量图求解画出相量图，如图3-2-8 (b)所示，然后用平行四边形法则求出总电流i的相量？。由于？1和？2的夹角

22、为90° ,故I = VI12+I22=v/82+62A=10A这就是总电流i的有效值。相量？与横轴的夹角4就是i的初相角。8。=arctan "6" 30° =23.1 °所以总电流的瞬时值表达式为i =<2 10 sin (wt+23.1 ° )A(2)用复数运算求解? = ? 1+ ?2=(8/60° +6/-30° ) A=(4+j6.9+5.2 j3)A=(9.2+j3.9)A=10/23.1° A故电流的有效值为10A,初相角为23.1°。瞬时值表达式为i =<2 10

23、sin ( wt+23.1 ° )A【注意】计算表明，I WI1 + I2。这是因为同频率正弦量相加时，除了要考虑它们的数值外，还要考 虑相位问题，这是与直流不同之处。例 3-2-2已知图 3-2-9 (a)所示的电路中,Ui =141sin ( wt+45° )V , U2 =84.6 sin (cot30° )V,试求总电压u的有效值及瞬时值表达式。(a)(b)图 3-2-9解U1和U2的相量分别为.141U 1=/45 V=100 /45 VU 2=84.672/ 30°V=60 / 30° V(1)用相量图求解画出电压相量U1和U2,根

24、据U = U1+U2,由平行四边形法则作出U,如图3-2-9 (b)所示。从相量图中各相量之间的几何关系可得总电压的有效值U = V (Uicos。i+U2cos。2) 2+ ( Uisin。i+U2sin。2) 2=V (100cos45° +60cos30° ) 2+ (100sin45° - 60sin30 ° ) 2 V=129V初相角为所以总电压的瞬时值表达式为(2)用复数运算求解总电压的相量为。=arctanU 1sin。1+U2sin。2U 1cos 1 1+U2cos 1 2=arctan100sin45° +60sin (30

25、° )100cos45° +60cos (30° )=arctan 0.332=18.4u =129 '2 sin ( wt+18.4° )VU =U 1+U 2=(100/45° +60/-30 ° ) V=(70.7+j70.7+51.9 j30)V=(122.6+j40.7)V=129/18.4° V故总电压的有效值为129V,初相角为18.4° ,瞬时值表达式为u =12972 sin ( wt+18.4° )V【说明】用相量图求解和用复数运算求解的结果应相同。【小结】随时间按正弦规律周期

26、性变化的电压和电流统称为正弦电量，或称为正弦交流电。最大 值、角频率和初相位是确定一个正弦量的三要素。最大值反映正弦量的变化范围；角频率反映正弦量变化的快慢；初相位反映正弦量在计时起点的状态。两个同频率正弦量的初相位之差称为相位差，相位差是不随计时起点而变化的。在热效应方面与交流电等效的直流值称为交流电的有效值。正弦量的有效值是最大值的0.707倍正弦量可用三角函数式、波形图和相量三种方法来表示。三角函数式和波形图是两种基本的表示方法，能将正弦量的三要素全面表示出来，但不便于计算；相量表示法是分析和计算交流电路的一种重要 工具，它用相量图或复数式表示正弦量的量值和相位关系，通过简单的几何或代数

27、方法对同频率的正弦交 流电进行分析计算，十分方便。复数的加减以代数形式运算最为简便，复数的乘除以指数形式或极座标形式运算最为简便。转90酌算符，任一相量乘上+j后，即逆时针方向旋转 90°乘上j后，即顺时针方向旋转 90交流电的符号：瞬时值卜u、e恒定值I、U、E有效值I、U、E最大值Im> Um、Em额定值In、Un、En相量？、u、？( ？m、Um、？m)【提问】思考题3-2-1。【练习】3-2-2 (肯定或指出错误)、思考题3-2-3o【作业】习题 3-1、3-2 、 3-3 、 3-4 、 3-5 。j是旋思考题3-2-1不同频率的几个正弦量能否用相量表示在同一图上？为

28、什么？答几个相量画在同一图上应表示出它们之间的相位差，如果各相量的频率不同，则相位差无意 义，这样的相量图也是无意义的，故不同频率的几个正弦量不能用相量表示在同一图上。3-2-2 正弦交流电压的有效值为220V,初相角4=30° ,试问下列各式是否正确？(1) u =220 sin ( wt+30° )V(2) U=220 /30° V(3) U =220ej30 V(4) U =$ 220 sin ( wt+30 )V(5) u =220 /30° V(6) u = 72 220 /30° V答只有(3)是正确的。3-2-3已知 = 10/3

29、0° A,试将下列各相量用对应的时间函数(角频率为3)来表示：(1) ?(2) j?(3) -j?答(1) i1=V2 10sin(3t+30° )A(2) i2=V2 10sin( 3t+120。)A(3) i3=V2 10sin(3t 60。)A【提问】思考题 3-2-3o3-3单一参数的交流电路R=上1【概述】电路参数W l=上 丁c= ql 丁本章讨论单一参数电路加上交流电压时产生的电流与功率。是分析、计算正弦交流电路的基础, 也是本章的重点内容。一、电阻电路【讲授】电阻中的电流和它两端的电压在任一瞬时都服从于欧姆定律。在图 3-3-1 中，u=iR1.正弦电压与电

30、流的关系设 u =Umsin 3t,则UUmsin 3 t，一二，二丁 i=ImSin 3 tR R式中U m= RIm或U= RIu =Umsin 31i= I msin 3 t频率相等3不变1匚三三相位相同 。u=6i=0符合欧姆定律U= RI【讲授】据此可作图3-3-2 (a)用相量表示：如图 3-3-2 ( b)所示。U =RI/0° =R ?u =UmSin 3 t 13> U =U/0°i= I msin 91 > ? = I/0°图 3-3-2U =?R图 3-3-3欧姆定律的相量形式是同频率正弦量. . _ . , . . 一 一 一【

31、说明】式U =?R反映电压与电流关系同相位根据式U=?R同样可画出图 3-3-2 (a)、(b)图3-3-1的电路可用相量模型来代替，如图3-3-3所示2 .电阻电路中的功率(1)瞬时功率p电路任一瞬时所吸收的功。p= u i =Umsina t Im sin 3 t=UI (1cos2cot)【讲授】图3-3-4图 3-3-4i k n【说明】电阻所吸收的功率在任一瞬时总是大于零的，说明电阻是耗能元件(2)平均功率P有功功率P=UI=I 2R= U R单位：W （瓦）、kW （千瓦）【说明】此公式与直流电路相似通常40W灯泡、4kW电动机都指有功功率。例3-3-1已知一白炽灯，工作时的电阻为

32、484 Q,其两端的正弦电压为u= 311sin（314t60° ）V,试求（1）白炽灯电流的相量及瞬时值表达式；（2）白炽灯工作时消耗的功率。解（1）电压相量为U=U/。产 11- /-60° V=220 /- 60° V一 2电流相量为U 220 /60°484A = 0.45/60° A电流瞬时值表达式为i = J2 I sin( 3 t +。u)=0.4572 sin (314 t 60° )A(2)工作时消耗的功率即平均功率P =U I = 220V X 0.45A = 100W、电感电路【讲授】在图3-3-5中,ul5 d

33、t1.正弦电压与电流的关系设i = Imsin3t则 u =-e= L d(ImSTt)=3LImsin(3t+90dt'式中Um= w LI m)=Umsin(wt+90° )U= co LI =Xl I感抗Xl= 3 L=2 ti f L单位为（欧姆）【说明】I=U/Xl, U 一定时I与Xl成反比，感抗Xl起阻碍电流通过的作用感抗Xl与L和f成正比。电感有 阻高频，通低频 的作用。f频率相等3不变i=Imsin 3 tu =Umsin( 3t+90)若f =0,则Xl =0,可视为短路。感抗有 阻交通直的作用电压超前电流 90° 6 u_ 6 i=90

34、6; ；符合欧姆定律U= XlI【讲授】据此可作图3-3-6 （a）【解释】电感元件在交流电路中使电压与电流之间出现相位差，除了从数学推导中得出结论外, 还应从物理概念上理解。即电感只在电流变化时才有自感电动势，当正弦交流电的电流为最大值时，其变 化率为零，故自感电动势为零，端电压也为零，而当电流过零值时，其变化率最大，自感电动势也最大，,一 di与它相平衡的电压也最大。在图3-3-6(a)上可看出u与一成正比的关系。dt用相量表示：如图 3-3-6 ( b)所示。i=Imsin 3 t|? = I/O °'/ 'r UU = XlI /90。= XlI ju =Um

35、sin(3t+90° ) > U = U/90°(a)图 3-3-6欧姆定律的相量形式U = j Xl?【说明】式U=j XL?反映电压与电流关系juh E(b)是同频率正弦量电压超前电流90 °有效值关系u=xI图3-3-5的电路可用相量模型来代替，如图3-3-7所示。2 7图 3-3-72.电感电路中的功率(1)瞬时功率p= u i = 22 Usin (at+90° ) - 22=2UI sin 3 tcosa t=U1Sn2 (t幅值为UI 角频率为2 3【讲授图3-3-8。k的正弦量,65g i jXr =Isin 31T方向一致P>

36、;0P<0P>0P<0万向 相反角频率为2 3勺正弦量一幅值为UIP=0 pdt = T/"0UI sin2 3t=0；储能：放能：储能：放能图 3-3-(2)平均功率P瞬时功率在一个周期内的平均值吞吐作用。【讲授】电感不消耗能量，是储能元件，在电路中起着能量的电感与电源之间有功率的交换，电源必须供给它电流，要占用电源设备的容量。电源对电感元件提供电流时，通电线路上的电阻仍要消耗功率。无功功率电感吞吐能量的快慢如何表示？工程上用瞬时功率的最大值来衡量(3)无功功率Ql瞬时功率的最大值，反映电路中能量互换的速率。单位：var (乏尔，简称乏)QL = L I 2 Xl

37、=乎I=U/X lU=IX L【说明】不要把“无功”功率理解为“无用”功率。实际上无功功率在工程上占有重要地位，例如 电磁铁、变压器、电动机等一些具有电感的设备，没有磁场是不能工作的，而磁场能量是由电源提供的, 电源需要向设备提供一定规模的能量与之进行交换才能保证设备的正常运行O例3-3-2设有一电感线圈，其电感 L=0.5H ,电阻可略去不计，接于50Hz、220V的电压上，试求:(1)该电感的感抗Xl；(2)电路中的电流I及其与电压的相位差;(3)电感的无功功率 Ql；(4)若外加电压的数值不变，频率变为5000Hz ,重求以上各项。解(1)电感的感抗Xl= w L=2 tt f L =2

38、 % X 50X 0.5Q =157Q(2)选电压为参考相量，即 U =220 /0° V,则U220/Olj15766A= j1.4A?=-jXL即电流的有效值I=1.4A,电流滞后于电压90°。(3)电感的无功功率Ql= I 2Xl = 1.42x 157var=308varQl= U I = 220x 1.4var= 308var(4)当频率为5000H z增大到100倍68Xl' =2Ttf ' L =2 % X 5000 X 0.5 Q =15700 Q 一增大到 100 倍T=彘A=0.014A减小到100倍Ql' = I ' ?

39、Xl' = 0.0142X 15700var=3.08 var 一 减小到 100 倍【说明】同一电感对不同频率的电流呈不同的感抗，频率越高，则感抗越大，电流越小，因而与电源交换功率的最大值也越小，即无功功率越小。电感电流的相位永远滞后于电压90°三、电容电路【讲授】在图3-3-9中,dQdui= dT=C dT1 .正弦电压与电流的关系图 3-3-9u=U msin a t式中= coCUmCos3 t = co CUmSin (cot+90° ) =ImSin (cot+90° )Im = 3 CU mI =Xc I容抗Xc =3 c 2fC单位为(欧

40、姆)i= =Imsin ( wt+90 ° )比较三要素电压滞后电流90° 6 u_ 6 i=90°符合欧姆定律U= XcI【讲授】I=U/X C,容抗XL起阻碍电流通过的作用。容抗与C和f成反比，有 通高频阻低频 的作用。若f =0,则Xl-8,可视为开路，电容有 通交隔直的作用。u=Umsin a tr频率相等【讲授】据此可作图 3-3-10 (a)【解释】电容元件在交流电路中使电压与电流之间出现相位差，除了从数学推导中得出结论外，还应注意其物理概念。电容只在端电压发生变化时才有电流，当正弦交流电压为最大值时，其变化率为零，故电流也为零，而当正弦交流电压过零值

41、时，其变化率最大，故电流也最大。从图3-3-10(a)上可看成正比的关系用相量表示：如图 3-3-10 (b)所示。u =Umsinco tU U = U /0。'U = XcI /0 = Xc?/ /90 =- j Xci =Imsin(wt+90° )【>？ = I /90°图 3-3-10欧姆定律的相量形式U = j Xc?r是同频率正弦量. ._ . , . . 一 一 一【说明】式U =j Xc?反映电压与电流关系”电压滞后电流90°有效值关系U= X I图3-3-9的电路可用 相量模型 来代替，如图3-3-11所示。图 3-3-112.电

42、容电路中的功率(1)瞬时功率pp= u i = 22 Usin w t ,<2 I sin (31+90° )=2U Isin a tcos3 t【讲授】图3-3-12 oP>0P>0方向相反角频率为2 的正弦量I方向P<0放电3J幅值为UI曲P<0P=4/:pdt=UI sin2 3 t=0充电放电'充电图 3-3-12(2)平均功率P 瞬时功率在一个周期内的平均值【说明】电容不消耗能量，是储能元件，在电路中起着能量的存吐作用。(3)无功功率Qc瞬时功率的最大值。U 2Qc=UI=I 2Xc= -Xc接于50Hz 、 220V例3-3-3设有一

43、电容器，其电容 C=38.5科F,电阻可略去不计,的电压上,试求:(1)该电容的容抗Xc；(2)电路中的电流I及其与电压的相位差;(3)(4)电容的无功功率Qc；若外加电压的数值不变，频率变为5000Hz ,重求以上各项。解(1)电容的容抗Xc =-2fCQ80Q2 兀 50 X38.5 10 6(2)选电压为参考相量，即令 U =220 /0CV,则 U _220_j Xc = - j80A=j2.75A即电流的有效值为2.75A ,相位上比电压超前 90°。(3)无功功率Xc= 2.752x 80var = 605varQc= U I= 220X2.75var=605var增大到

44、100倍(4)若 f ' =5000Hz12£ C12 兀 5900 >38.5 10 6Xc'Q0.8Q 一减小到100倍220-J0.8A=j275A一增大到100倍Qc' = UI ' = 220X 275var=60500var=60.5kvar 一增大到 100 倍【说明】同一电容对不同频率的电流呈不同的容抗。频率越高，则容抗越小，电流越大，无功功率 也越大，与电感恰好相反。电容电流的相位永远超前于电压90°。表3-3-1单一参数电路元件的交流电路基本性质电路模型a&u iIdlc电路参数电阻R电感L电容C电压与电 流

45、的关系瞬时值u=Riu=Li=C有效值U=RIU=X lIU=X cI相位u与i同相u超前于i90° diu滞后于i90° di电阻或电抗RdtXl= co Lxc= dt用相 量表 示电 压与 电流 的关 系相量模型小Hn 0J jX/r0L-风相量关系式U=R ?,U=jXL?,U=jxc?相量图LrwC有功功率P=UI=I 2RP=0P=0无功功率Q=0Q= UI=I 2XlQ= UI=I 2Xc关联参考方向一伏安棒性有效值欧姆定律可记忆为:威乐箭，容乐后 电感阻高频，通低频（阻交通直）电容通高频，阻低频关联参考方向欧姆定律相量形式包含二要素羊系/电阻是耗能元件J电感

46、、电容是储A、能元件瞬时功率72【小结】单一参数电路元件的交流电路是理想化（模型化）的电路。电阻是耗能元件，电阻电路的端电压与电流成正比，电压与电流同相；电感和电容是储能元件。电感电路的端电压与电流的变化率成正 比，电压超前于电流 90°电容电路的电流与电容端电压的变化率成正比，电流超前于电压90 c单一参数电路欧姆定律的相量形式是：, , U = R ?U= jXL ? U = jXc?它们反映了电压与电流的量值关系和相位关系，其中感抗Xl=3L=2 fL,容抗Xc =1/301/2 fC电感、电容和电阻一样都具有阻碍交流电流的作用，电感以自感电动势的形式反抗交流电流的变 化，电容

47、以充放电的形式通过交流电流。交流电流的频率越高，则电感的自感电动势越大，对电流的阻碍 也越大，而电容的充放电则越快，对交流电流的阻碍越小。因此，感抗与电源频率成正比，而容抗与电源 频率成反比。【练习】思考题 3-3-1、3-3-2、3-3-3、3-3-4。【作业】习题3-6。思考题3-3-1在图3-3-13所示的电路中，正弦电压 ui与电流ii的相位有怎样的关系？答设仃=i1,则i1'的参考方向与u1的参考方向一致（关联参考方向），在此条件下，电感元件上电压图 3-3-13U1的相位超前于电流90°。由于i1'与i1反相，作相量图如图 3-3-14所示，可知U1滞后于

48、i190I1：-U1I1'图 3-3-143-3-2 在图3-3-15所示的电路中，当交流电压u的有效值不变，频率增高时，电阻元件、电感元件、电容元件上的电流将如何变化？答当交流电的频率增高时，电阻不变，感抗增大，容抗减小，故电阻元件上的电流不变，电感元件 上电流减小，电容元件上电流增大。图 3-3-153-3-3 解答上题的根据是否是：在正弦交流电路中，频率越高则电感越大，电容越小 ，而电阻不变？答不对，在正弦交流电路中，频率越高则感抗越大，容抗越小。而不是电感越大，电容越小。3-3-4 指出下列各表达式正确与否？R=u/iXl=u / wLjXc= Uc / ? jXc=Uc /?

49、XL=U L /II= UL / jXL? = UL /jXL? UC / jXc答只有 R=u/i, - jXc= Uc / ?, Xl=Ul /I 三式正确。3-4 RLC串联电路【引出】实际电路的电路模型一般都是由几种理想电路元件组成的,RLC串联电路是一种典型电路，从中引出的一些概念和结论可用于各种复杂的交流电路，而单一参数电路、RL串联电路、RC串联电路则可看成是它的特例。电压与电流之间的关系【讲授】在图3-4-1中，设i=I msin 31则A ?=I/0°R =URmsin 3 t=U cmsin ( 31 90° )a= |&=R ?(b)R+ jX

50、= Z/JlM =U Lmsin ( 3 t+90 ° )(c)图 3-4-1(a)+= jXL ?. 十, %-r =' = jXc ?根据基尔霍j夫电压定律 U=UR+U L+U C:U= UR+ Ul+ Uc图(a)可用图(b)代替U = UR+ UL+ Uc=R ?+ jXL ?-jXc ?电抗 X= Xl Xc= R+j(XLXc) ?=(R+jX) ?=Z ?图(b)可用图(c)代替复阻抗 Z=R+jX (Q)阻抗 | Z =v/R2+x=v/R2+ (Xl-Xc) 2阻抗角 6 =arctan =arctan,XCRR欧姆定律相量形式U =Z ?= Z ? /

51、=72是同频率正弦量电压超前电流巾角 有效值U= Z I【说明】式U =Z ?= Z ?/J 反映电压与电流关系复阻抗Z是一个复数，实部为阻，虚部为抗。单位也是欧（Q ）,也具有对电流起阻碍作用的性质。Z虽然是复数，但不是相量，符号上不能加点。3-4-2所示，称为 阻抗三角形I Z |与R、X之间的关系可用一直角三角形表示，如图75X= XL- XC图 3-4-2Z = VR2+X2R= I Z I cos 6X= | Z | sin 6【讲授】由欧姆定律相量形式画出相量图，可得电压三角形 如图3-4-3所示。U =v/Ur2+Ux2U r = U cos 6U x = U sin 6【说明】

52、图中假定 Xl>Xc ,即电感的电压 Ul大于电容上的电压 Uc 。一一一UxUl Uc,电压与电流的相位差角 6 =arctan= arctan=阻抗角 巾UrUr电压三角形与阻抗三角形相似，各边长度相差I倍。但电压三角形是相量三角形，而阻抗三角形不是相量三角形。电路性质由感抗和容抗的大小决定:Xl>Xc时，X>0,则Ul>Uc ,巾>0, U 超前于？，呈 感性。（图3-4-3 ）6 =0, U与？同相，呈电阻性。（图3-4-5谐振）Xl=Xc 时，X=0,则 Ul=Uc ,XlvXc时，XV 0,则UlvUc , 6 <0,滞后于 ? 呈 电容性。（图3-4-4 ）图 3-4-4图 3-4-5公式U =Z ?适用于RLC串联电路的各种特例：电阻电路：Xl=0, Xc=0, Z=R+j (Xl Xc ) =R,则 U =Z ?=R ?;(电压与电流同相位)电感电路：R=0, Xc=0, Z=R+j (Xl-Xc ) =jXL,则 U =Z ? =jXL ?；(电压比电流超前90 )电谷电路：R=0, Xl=0, Z=R+j (Xl-Xc ) =-jXc,则 U =Z ? = jXc?；(电压比电流滞后90)RL 串联电路：Xc=0, Z=R+j (Xl-Xc ) = R+jXL,贝U U =Z ? = (R+jXL)?；(电压比电