初中几何辅助线大全-最全

1、9三角形中作辅助线的常用方法举例、延长已知边构造三角形: 例如：如图 7-1 :已知 AC= BD, AD± AC于A , BC± BD于B, 求证：AA BC分析：欲证AD =BC,先证分别含有 AD, BC的三角形全等，有几种方案： ADC与4BCD 一?4AOD 一与3OC小BD 一与ABAC但根强地有条.住?型毛达延全笔?爰也叫也卷一乙 因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA CB它们的延长交于 巳点,AD± AC BC ±BD （已知） / CA& / DBE = 90 °（垂直的定义）在

2、口8£与4 CAE中Re =/e（公共角）上 DBE ZCAE（B 证）BD = AC（已知）. .DB® ACAE（AASED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等）ED- EA= EC- EB即：AD= BG（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1 :在 RtABC中，AB= AC, / BAC= 90° , / 1 = /2, CEL BD的延长于 E 。求证：BD= 2CEB图9-1分析：要证BD

3、= 2CE ,想到要构造线段2CE ,同时CE与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。WMWWWMWWWWtaWWWMrMWWWWWWWWWWWUWWWIWWWWWIUWWWWVWWVWMWVWMVWWVWWWWaW证明：分别延长 BA, CE交于点F.BEX CF （已知）/ BEF= / BEG= 90°（垂直的定义）在 BEF与4BEC中，.1 =. 2（已知）v J BE = BE（公共边） |，BEF =/BEC（已证） . BEF BEC （ASA CE=FE=1 CF （全等三角形对应边相等） 2 . /BAC=90 BE ±CF （已知），/BAC= / C

4、AF= 90°/1 + /BDA= 90° Z 1 + Z BFC= 90° ./ BDA= / BFC在 ABg ACF 中. BAC = CAF （已证）. BDA = BFC （已证）AB = AC（已知）.AB里 ACF （AA9 BD= CF （全等三角形对应边相等）BD= 2CE四、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1 : AB= DC，/ A= / D 求证：/ ABC= / DCB分析：由AB = DC , ZA=ZD,想到如取 AD的中点N,连接NB , NC ,再由SAS公理有ABNdDCN,故 BN = CN, /ABN =/DCN

5、。下面只需证/ NBC = ZNCB ,再取 BC 的中点M,连接 MN,则由SSS公理有4NBM小JNCM ,所以/NBC = ZNCB。问题得证。证明：取 AD, BC的中点 N、M 连接 NB NM NG 贝U AN=DN BM=CM 在 ABN和 DCNJ-AN = DN （辅助线的作法） 中 v ,/A=/D（已知）AB = DC （已知） .AB阵DCN (SAS，/ ABN= / DCN NB = NC （全等三角形对应边、角相等）在 NBMW NCM'NB=NC（已证）<BM = CM （辅助线的作法）NM = NM （公共边）NMB NCM , (SSS)，/N

6、BC=/NCB (全等三角形对应角相等). / NBC + /ABN =/NCB+/DCN 即/ABC = /DCB。巧求三角形中线段的比值例 1.如图 1,在ABC43, BD DC= 1: 3, AE: ED= 2: 3,解：过点D作DG/AC,交BF于点G求所以DGFO BD BC因为BDDC= 1:3所以 BD BO 1: 4即 DG F01: 4, FO4DG因为 DG AF= DE AE 又因为 AE ED= 2: 3所以 DG AF= 3: 22 AF-DG 即 3-DG 所以AF: FO例 2.如图 2, BC= cq AF=FG 求 EF: FD解：过点C作CGDE交AB于点

7、G,贝U有EF:因为 AF= FC所以 AF: AO 1: 2EF-GC 即 EF: GC= 1: 2,因为 CG DE= BC: BD又因为BO CD所以 BC: BD= 1: 2 CG : D已 1: 2即 DE= 2GC因为 FD= ED- EF=132GC-GC=GC所以 EF: FD= 213-GC, -GC = It 3AF: FC小结：以上两例中，辅助线都作在了 “已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。 请再看两例，让我们感受其中的奥妙！ 3.0.,-.C.aC.1.4.E._. e. J _._.,_.,._.=.所以 BD BO 1:

8、4练习:例一3. 一如图 3, BD D01: 3, AEE: _EB=2: 3, AF: FD解：过点B作BG/AD,交CE延长线于点 G所以DF: B氏CD CB因为BD DC= 1: 3所以CD C及3: 43DF=-BG即 DF: B氏3: 4,4因为AF: B氏AE: EB 又因为AE EB= 2: 32AH 二一BG所以AF: B氏2: 3即 323-BG. -BG= 9所以AF: D已/4_如（ffl4典里.1.j3“AFw FD-.EE»FG-解：过点D作DG/CE,交AB于点G 所以 EF: D& AF: AD因为 AF= FD所以 AF: AD= 1: 2

9、EF =-DG即 EF: D& 1: 2因为DG CE= BD BG又因为BD C51: 3, 即 DG CE= 1: 4, CE= 4DG17 24DG-DG=-DG因为 FC= CE- EF=:17 2-DGz -DG所以 EF: FO 22=1：71小.如乳 5，.B.± DG AE/P=工.5空.AE. FB."2：一如图.-MLD吐七包巨ec=jl，j3LBF-F."答案：1、1: 10;2. 9二由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

10、角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1. 如图 1-2, ABCD, BE平分/ BCD CE平分/ BCD点E在AD上，求证：BC=AB+GD分析：此题中就涉及到角平分线，可以利 用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分 线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线

11、段 的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一 部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明 延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。例2. 已知：如图 1-3, AB=2AC / BADW CAD DA=DB 求证 DC!AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形构造的方法还是截取线段AC相等。其它问题自已证明例3. 已知：如图 1-4,在ABC, / C=2Z B,AD平分 / BAC 求证：AB-AC=CDB图1-4分析：此题的条件中还

12、有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢?（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。图2-1例1.如图 2-1 ,已知 AB>AD, / BACW FAC,CD=BC求证：/ ADC廿 B=180分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC 与/B之和为平角。例2.如图 2-2,在 ABC中，/A=90 , AB=AC / ABDW CBD求证：BC=AB+AD分析：过D

13、作Dn BC于E,则AD=DE=GE则构造出 全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题， 从中利用了相当于截取的方法。例3.已知如图2-3, ABC的角平分线 BM CN相交于点P。求证：/ BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP,证AP平分/ BAC即可，也就是证P到AB AC的距离相等。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）。例1.

14、 已知：如图 3-1 , / BADW DAC AB>AC,CD_AD于 D, H是 BC中点。1 一求证：DH= （AB-AC 2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证例2.已知：如图 3-2, AB=AC / BAC=90 , AD为/ A BC的平分线，CE! BE.求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的 垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角例3.已知：如图3-3在4ABC中，AD. AE分别/ BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于ML求证：AM=ME分析：由AD AE是/B

15、AC内外角平分线，可得EA LAF,从而有BF/AE,所以想到利用比例线段证相等。例4.已知：如图3-4,在4ABC中，AD平分/ BAC AD=AB CMLAD交AD1延长线于 M 求证：AM=- (AB+AC 2分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作 AB- 一D关于AD的对称4AED然后只需证DM=1EG另外1_ 一，一由求证的结果AM= (AB+AC,即2AM=AB+AC也可 2尝试作 AC岷于CM勺对称 FCM然后只需证DF=CF即可。三由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时

16、，一般方法是截长补短法：-、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例 1.如图，AC平分/ BAD CE!AB,且/ B+/ D=180 ,求证：AE=AD+BEl八 C分 ABCAr D例3已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB

17、=AC/A=108匚B求证：BC=AB+D C10BC例4如图，已知 RtzXABC中，/ACB=90 , AD是/ CAB的平分线，DMLAB1于 M 且 AM=MB求证：CD=2 DR201 .如图，AB/ CD AE DE分另1J平分 / BAD# /ADE 求证：AD=AB+G D2 .如图， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是过 A的一条直线，且 B, C在AE的异侧,BDL AE于 D, CELAE于 E。求证：BD=DE+CE四由中点想到的辅助线三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。（一）、由中点应想到利用三角形的中位线例2.如图3,在四

18、边形ABCDfr, AB=CD E、F分别是BC AD的中点，BA CD的延长线分别交EF的延长线 G A求证：/ BGE=CHE证明：连结BR并取BD的中点为 M 连结ME MF,. ME A BCD勺中位线，.ME ' CDMEFW CHE.MF是A ABD勺中位线， .MF ' AB,MFEW BGEv AB=CD ME=MF. / MEFW MFE从而/ BGEW CHE口 B4（二）、由中线应想到延长中线例3.图4,已知AABC中，AB=5 AC=3连BC上的中线AD=2求BC的长。解：延长 AD至ij E,使 DE=AD 贝U AE=2AD=2 2=4。在 A AC

19、M AEBD中， AD=ED / ADC=EDB CD=BD.AAC*AEBDAC=BE从而 BE=AC= 3在 A ABE中，因 A：+BE=42+32=25=AB,故/ E=90° ,BD=jE£1+ O产=杼 + 2? =JH，故 BC=2BD=23。AD又是BC边上的中图5例4.如图5,已知AABC中，AD是/BAC的平分线， 线。求证：AABC等腰三角形。证明：延长 AD到E,使DE=AD仿例3可证：A BED A CAD故 EB=AC / E=/ 2,又/ 1=/ 2,/ 1=/ E,；AB=EB从而AB=AC即A ABC是等腰三角形。（三）、直角三角形斜边中线

20、的性质例 5.如图 6,已知梯形 ABCD, ABZ/DC, AC±BC ADLBD,求证：AC=BD证明：取 AB的中点E,连结DE CE，贝U DE CE分另为RtA ABD Rt A ABC1斜边AB上的中线，故 DE=CE=AB,因止匕/ CDE=T DCE ,.ABZ/DC, ./ CDE= 1, / DCE=2,/ 1=/2,在A AD刖A BCE中,. DE=CE / 1=/ 2, AE=BEA AD图A BCE ；AD=BC从而梯形 ABC此等腰梯形，因止匕AC=BD（四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6.如图7, A ABC是等腰直角三角形，/ B

21、AC=90 , BD平分/ ABC交AC图7于点D, CE垂直于BR交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE 证明：延长BA CE交于点F,在ABEF和ABECt,/1=/ 2, BE=BE / BEF玄 BEC=90 , A BEH A BEC - EF=EC 从而 CF=2CE 又/1+/ f=/ 3+/ F=90° ,故 / 1 = /3。在 AABM AACF中，. / 1=/ 3, AB=AC / BADW CAF=争7 AABD AACFBD=CF : BD=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底边CF的中线。（五）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果

22、出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可 得到全等三角形。AML DC1 如图，AB=CD E为 BC的中点，/ BACW BCA 求证：AD=2AE3 如图，AB=AC AD=AEM为 BE中点，/ BACW DAE=90 。求证:5.已知：如图 AD为 ABC勺中线，AE=EF求证：BF=AC AD五全等三角形辅助线（一）、倍长中线（线段）造全等1:（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线AD的取值范围是2:如图，/XABCt, E、F分别在AR AC上,E+C* EF的大小.B3:如图，ABCt, BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/

23、 BAE.中考应用例题：以MBC的两边AR AC为腰分别向外作等腰RMABD和等腰RtAACE , /BAD =/CAE =90：连接DE, M N分别是BG DE的中点.探究：AM与DE的位 置关系及数量关系.(1)如图 当&ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是；(2)将图中的等腰Rt&ABD绕点A沿逆时针方向旋转日、0<10 <90)后，二 BM(二)、截长补短1.如图，MBC中,2:如图，AC/ BD,BDcBfi/1CAB=2AC A叶分/BAC ,且 AD=BD 求证：CDL ACADEA,EB分别平分/ CAB,/ D

24、BA CD过点 E,求证;AB=AC+A . D问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由BCO00.3:如图，已知在ABC 内，/BAC=60 , /C=40 , P, Q 分别在 BG CAP上，并且AP, BQ分别是/BAC, /ABC的角平分线。求证：BQ+AQA=AB+BPBQAC证： A C =180°DBC4:如图，在四边形 ABCm，BO BA,AD= CD BD平分/ABC,5如图，在四辿般ABCD中点E是四 上一个动点，若乙片=60口48 = 8c.且 £ DEC =60%判断 W + AE岗BC的关系并添明你的结论（三）、借助角平分线造全等1:如图，已

25、知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OEEBC=ODAD2 : （06郑州市中考题）如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分BGDHAB于 E, DF，AC于 F. （1）说明 BE=CF勺理由；（2）如果 AB=a , AC为，求AE BE的长.理由。1:正方形ABCD43,E为BC上的一点，F为CD上的一点,BE+DF=EF 求/ EAF的度数.3 .如图，OP是/MON勺平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC, /AC呢直

26、角，/ B=60o , AD CE分别是/ BAC/BCA勺平分线，AD CEffi交于点Fo请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;（2）如图，在ABCt,如果/ ACBf是直角，而（1）中的其它条件不变,请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，城说明E F -D（第23题图）（四）、旋转2: D为等腰RtMBC斜边AB的中点，DML DN,DM,DNB【J交BC,CA于点E,FB若AB=Z求四边形4ABe是边长为2 2)3 .如图,4.已知四边形ABCD中，AB_LAD,BC_LCD AB=BC Z ABC =120'（1） 当/MDN绕点D转动时，求证D

27、E=DF/BDC =1200,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M交AC于点N,连接MN则AAMN的周长为(图1)/MBN =60, /MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长 线）于E, F .当/MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE + CF=EF当/MBN绕B点旋转到AE#CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.5 .已知:PA=V2,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD® P、D两点落在直线 AB的两侧.(1)

28、如图，当/ APB=45时，求AB及PD的长;(2)当/ AP皎化，且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/ APB的大小.366 .在等边AABC的两边AR AC所在直线上分别有两点 M N, D为L ABC外点，且/MDN =60：/BDC =120：bd=DC.探究：当M N分别在直线AB AC上移动时，BM NC M*!间的数量关系及iAMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.图1图2(I)如图1,当点 M N边AB AC上，且DM=DNf, BM NC MN间的数 量关系是;此时Q=;(II )如图2,点M N边AB AC上，且当DMDN时，猜想(I)问的两个 结论还成立吗？写出

29、你的猜想并加以证明；(III )如图3,当M N分别在边AR CA的延长线上时，若AN=x ,则Q= (用x、L表示).,AB/ DG AD= 15, AB=梯形中的辅助线1、平移一腰：例1.如图所示，在直角梯形 ABCtDK /A= 9016 , BO 17.求 CD的长.解：过点D作DEI BC交AB于点E.又AB/ CD所以四边形BCDEI平行四边形.所以 DE= BO 17, C5 BE.在RtDAE中，由勾股定理，得aU=dE-aD,即 At=172- 152 = 64.所以A已8.所以B已AB- A已16-8 = 8.即C58.解：过点B作BM/AD交CD于点M例2如图，梯形ABC

30、D勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取 值范围。在zBCK, BM=AD=4CM=CD DM=CD AB=8- 3=5,所以BC的取值范围是：5-4<BC<54,即 1<BC<92、平移两腰：例 3 如图，在梯形 ABCD中,AD/BC / B+ / C=90° , AD=1, BC=3 E、F 分别是AD BC的中点，连接EF,求EF的长。A E D解：过点E分别作AB CD的平行线，交BC于点G H,可得/ EGHk / EHG= B+ / C=90°则AEGH直角三角形因为E、F分别是AD BC的中点，容易证得F是GH的中点1

31、1, 所以 EF =GH = (BC - BG -CH )221 _1_(BC - AE - DE)BC -(AE DE)2 23 -1(BC - AD) (3 -1) =14 23、平移对角线：例 4、已知：梯形 ABCm，AD/BC, AD=1, BC=4 BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面积.解：如图，作DE/ AG交BC的延长线于E点.: AD/ BC 四边形ACE北平行四边形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4.在DBEt, BD=3, DE=4 BE=5丁. / BDE=90 .BD ED 12作 DHL BC于 H,贝U DH = ED =上BE 5二 1

32、25 一g _(AD+BC)mDH_5S梯形 ABCD 一一 一 622例 5 如图，在等腰梯形 ABCD, AD/BC, AD=3 BC=7； BD=5V2 ,求证：AC± BQ解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCE北平行四边形，贝U DE=BC CE=BD=<2 ,所以 AE=AD- DE=AD- BC=* 7=10。在等腰梯形ABCLfr, AC=BD袁2,所以在 ACE, A +CE2 =（5晚）2 十（5虎）2 =100 = AE2 ,从而ACL CE,于是ACL BD例 6 如图，在梯形 ABCDt, AD/BC, AC=15cm BD=20

33、cm 高 DH=12cm 求 梯形ABCD勺面积。解：过点D作DE/AC,交BC的延长线于点E,则四边形ACE北平行四边形,即 S &BD =SCD =S*CE Q所以S梯形 ABCD = S.DBE由勾股定理得EH - de2 - DH 2 i AC2 - DH 2=由52 -122 =9 7项BH = JbD2 -DH 2 =盛02 -122 =16(cm)112S DBE BE DH (9 - 16) 12=150(cm)所以 22,即梯形ABCD勺面积是2150cm。（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 7 如图，在梯形 ABCLfr, AD/BC, /

34、B=50° , C C=8（J , AD=2 BC=5 求CD的长。解：延长BA CD交于点Eo在 BCE, / B=50° , / C=80° 。所以/ E=50° ,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3BG AO BD, AD= BC.判断例8.如图所示，四边形ABCLfr, AD不平行于四边形ABCD勺形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD1等腰梯形.证明：延长AD BC相交于点E,如图所示.,. AO BR AD= BG AB= BA,. .DA皆 ACBA.丁 / DA四 / CBA.EA= EB.又

35、AD= BGDE= CE / EDC= /ECD.而 / E+ / EA计 / EBA= / E+ / EDCb / EC氏 180 ./EDC= /EAB-DC/ AB.又AD不平行于BG一四边形ABC此等腰梯形.（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例 9 如图 6,在直角梯形 ABCm,AD/BC, AB±AD, BC=CD BH CDT点 E, 求证：AD=DE解：连结BR由 ADBC,得/ ADBW DBE由 BC=CD 得/ DBC=T BDC所以/ ADBN BDE又 / BADW DEB=90 , BD=BD所以 RtABAtDRtABED得 AD=DE

36、（四）、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形 ABCm,ABDC, /ABC=90 , AB=2DC对角线A C±BD,垂足为F,过点F作EF/AB,交AD于点E,求证：四边形 ABFE是等腰 梯形。证：过点D作DGL AB于点G,则易知四边形DGBO矩形，所以DC=BG因为AB=2DC所以AG=GB从而 DA=DB 于是/ DABW DBA又EF/AB,所以四边形ABF式等腰梯形。2、作两条高例 11、在等腰梯形 ABCDfr, AD/BC, AB=CD / ABC=60 , AD=3cm BC=5c求：腰AB的长；梯形ABCD勺面积.解：作 AE± BC于 E,

37、 DFL BC于 F,又AD/ BG四边形 AEFE®矩形，EF=AD=3cm.AB=DC1,BE = FC = (BC -EF) = 1cm 2.在 RtzXABE中，/ B=60° , BE=1cm .AB=2BE=2cm AE = 3BE = 3cmc(AD BC) AE 2S梯形ABCD -=4.3cm（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例13如图，在梯形 ABCm，AB/DC,。是BC的中点，/ AOD=90 ,求证:AB+ CD=AD ，一 1 一所以OEAD （22由、得AB+ CD=AD2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角

38、线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例14如图，在梯形 ABCg, AD/BC, E、F分别是BD AC的中点，求证:1（1） EF/AD; （2） EF=5（BCAD）证：连接DF,并延长交BC于点G,易证4AF阴 CFG则 AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是BDG勺中位线1 一从而 EF/BG,且 EF = BG 2因为 AD/BG, BG =BC-CG =BC-AD1， 一所以 EFAD, EF=(BCAD)23、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例15、在梯形 ABCDt, AD/ BG / BAD=90, E是DC上的

39、中点，连接 AE和 BE,求 / AEB=Z CBE解：分别延长AE与BC,并交于F点 / BAD=90fi AD/ BC ./ FBA=18&- / BAD=90又 : AD/ BC / DAEW F（两直线平行内错角相等）/AEDW FEC （对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点）. .AD陷 AFCE （AASAE=FE在 ABF中 / FBA=90 且 AE=FEBE=FE (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)在 FEB中 /EBFW FEB/ AEBW EBF+ / FEB=2 CBE例16、已知：如图，在梯形ABCm，AD/BC, AB±BG E是CD中点

40、，试问:线段AE和BE之间有怎样的大小关系？ 解：AE=BE理由如下：延长AE,与BC延长线交于点F. DE=CE / AEDN CEF/ DAEW F. .AD陷 AFCE .AE=EFVAB± BG a BE=AE例 17、已知：梯形 ABCDfr, AD/BC, E为 DC中点，EF±AB于 F点，AB=3c m, EF=5cm求梯形ABCD勺面积.解：如图，过E点作MN/ AB,分别交AD的延长线于M点，交BC于N点.v DE=EC AD/ BC .DE阵 ACNE四边形ABNMU平行四边形v EF± AB,2 S梯形 abc=&abn=ABX EF=15cm【模拟试题】（答题时间：40分钟）2.如图所示，已知等腰梯形ABC