初中数学经典题型

1、识讲解目录第一章绪 论初中数学的特点1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 1 0 . 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . 怎么学习初中数学1,培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿 意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要 去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习 中,我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然

2、会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学 兴趣呢？（ 1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。（ 2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。（ 3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。（ 4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（ 5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产

3、生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可* ，在应用概念判断、推理时会准确。2，建立良好的学习数学习惯。习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤 思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习 数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再 学习能力。3，有意识培养自己的各

4、方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学 习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是，教师为了培养这些能 力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，

5、在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好初中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动 思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循

6、什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。5、逐步形成 “以我为主”的学习模式。数学不是老师教会的，而是在老师的引导下，自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于 探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动 脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘

7、问题的实 质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。如何去听课认真听好每一节

8、棵。要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。概念课要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。习题课要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听

9、，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小”，以“退”为“进”，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。复习课在数学学习过程中，要有一个

10、清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有没有达到课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题 （包括基本图 形、图像等 ） ，典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改 正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么

11、“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。几点建议1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。如：我在讲课时的注解。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3、记忆数学规律和数学小结论。4、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成

12、数学学习“互助组”。5、争做数学课外题，加大自学力度。6、反复巩固，消灭前学后忘。7、学会总结归类。从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类。总之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学数学。其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改变单纯接受的学习方式，要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题实验探究开展讨论形成新知应用反思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我们在学习活动中的自主性、探

13、索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。第二章 应知应会知识点代数篇一 数与式（一）有理数1 有理数的分类2 数轴的定义与应用3 相反数4 倒数5 绝对值6 有理数的大小比较7 有理数的运算（二）实数8 实数的分类9 实数的运算10 科学记数法11 近似数与有效数字12 平方根与算术根和立方根13 非负数14 零指数次幂 负指数次幂（三）代数式15 代数式 代数式的值16 列代数式（四）整式17 整式的分类18 整式的加减乘除的运算19 幂的有关运算性质20 乘法公式21 因式分解（五）分式22 分式的定义23 分式的基本性质24 分式的运算（六）二次根式25 二次根式的意义26 根式的基

14、本性质27 根式的运算二 方程和不等式（一）一元一次方程28 方程 方程的解的有关定义29 一元一次的定义30 一元一次方程的解法31 列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程32 二元一次方程的定义33 二元一次方程组的定义34 二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法）35 二元一次方程组的应用（三）一元二次方程36 一元二次方程的定义37 一元二次方程的解法（配方法 因式分解法公式法 十字相乘法）38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39 一元二次方程的应用 （四）分式方程40 分式方程的定义41 分式方程的解法（转化为整式方程检验）42 分式方程的增根的定义43 分式方程

15、的应用（五）不等式和不等式组44 不等式（组）的有关定义45 不等式的基本性质46 一元一次不等式的解法47 一元一次不等式组的解法48 一元一次不等式（组）的应用三 函数（一）位置的确定与平面直角坐标系49 位置的确定50 坐标变换51 平面直角坐标系内点的特征52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53 对称问题：P（x,y）-Q（x,- y）关于x轴对称 P（x,y）- Q（- x,y）关于y轴对称 P（x,y）-Q（- x,- y）关于原点对称54 变量 自变量 因变量 函数的定义55 函数自变量 因变量的取值范围（使式子有意义的条件 图象法）56 函数的图象：变量的变化趋势描

16、述（二）一次函数与正比例函数57 一次函数的定义与正比例函数的定义58 一次函数的图象：直线，画法59 一次函数的性质（增减性）60 一次函数y=kx+b（k w0）中k b符号与图象位置61 待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）62 一次函数的平移问题63 一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系（图象法）64 一次函数的实际应用65 一次函数的综合应用（ 1）一次函数与方程综合（ 2）一次函数与其它函数综合（ 3）一次函数与不等式的综合（ 4）一次函数与几何综合（三）反比例函数66 反比例函数的定义67 反比例函数解析式的确定68 反比例函数的图象：双曲线69 反

17、比例函数的性质（增减性质）70 反比例函数的实际应用71 反比例函数的综合应用（四个方面面积问题）（四）二次函数72 二次函数的定义73 二次函数的三种表达式（一般式顶点式 交点式）74 二次函数解析式的确定（待定系数法）75 二次函数的图象：抛物线画法（五点法）76 二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）77二次函数y=ax2+bx+c（aw 0）中a b c与特殊式子的符号与图象位置关系78 求二次函数的顶点坐标对称轴 最值79 二次函数的交点问题80 二次函数的对称问题81 二次函数的最值问题（实际应用）82 二次函数的平移问题83 二次函数的实际应用84 二次函数的综合应用（ 1

18、）二次函数与方程综合（ 2）二次函数与其它函数综合（ 3）二次函数与不等式的综合4)二次函数与几何综合几何篇过两点有且只有一条直线两点之间线段最短同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行同位角相等 两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线行两直线平行同位角相等两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补三角形两边的和大于第三边三角形两边的差小于第三边三角形三个内角的和等180°直角三角形的两个锐角互

19、余三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形的对应边对应角相等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)1234567891011121314151617181920212223242526有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所

20、有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33 等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 三个角都相等的三角形是等边三角形36 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中 如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40

21、 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上45 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称46 直角三角形两直角边a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 即 a+b=c47 如果三角形的三边长a bc 有关系 a+b=c 那么这个三角形是直角三角形48 四边形的内角和等于360°49 四边形

22、的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）xi80°51 任意多边的外角和等于360°52 平行四边形的对角相等53 平行四边形的对边相等54 夹在两条平行线间的平行线段相等55 平行四边形的对角线互相平分56 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58 对角线互相平分的四边形是平行四边形59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60 矩形的四个角都是直角61 矩形的对角线相等62 有三个角是直角的四边形是矩形63 对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形的四条边都相等65 菱形的对角线互相垂直并且

23、每一条对角线平分一组对角66菱形面积二对角线乘积的一半即S=(ax b) + 267 四边都相等的四边形是菱形68 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形的四个角都是直角四条边都相等70 正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71 关于中心对称的两个图形是全等的72 关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分73 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一 点平分 那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形在同一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78

24、如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等79 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰80 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边81 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的 一半L=(a+b) S=L xh83 如果a:b=c:d 那么ad=bc如果 ad=bc 那么 a:b=c:d84 如果a/b=c/d 那么(a ±b)/ b=(c ± d)/d85 如果 a/b=c/d= =m/n(b+d+n w0) 那么(a+c+ +m)/(b+d+ +n)=a/b86 三条平行线

25、截两条直线所得的对应线段成比例87 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例88 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似91 两角对应相等两三角形相似(ASA)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)94 三边对应成比例 两三角形相似(SSS)95 如果

26、一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似96 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 相似三角形周长的比等于相似比98 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正 弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等105 到定点的

27、距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 不在同一直线上的三个点确定一条直线110 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧112 圆的两条平行弦所夹的弧相等113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114 在同

28、圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等115 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等118 半圆 （或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119 如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形120 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角121 直线L和。相交 d<r直线L和。相切 d=r直线L和。相离 d

29、>r 122 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123 圆的切线垂直于经过切点的半径124 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127 圆的外切四边形的两组对边的和相等128 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129 如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与

30、圆交点的两条线段长的比例中项133 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上135 两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d< R+r(R > r)两圆内切 d=R-r(R>r) 两圆内含d<R-r(R>r)136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137 把圆分成n(n>3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆

31、 这两个圆是同心圆139 正n边形的每个内角都等于(n-2)X180° /n140 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141 正 n 边形的面积Sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长142 正三角形面积，3a/4 a表示边长143 如果在一个顶点周围有k 个正 n 边形的角 由于这些角的和应为360°因此 kX(n-2)180° /n=360° 化为(n-2)(k-2)=4144 弧长计算公式：L=nHR/180145扇形面积公式：S扇形=nER/360=LR/2146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长

32、= d-(R+r)第三章例题讲解【例1】如图10,平行四边形ABCM, AB= 5, B最10, BC边上白高A附4, E为BC 边上的一个动点(不与 B、C重合).过E作直线AB的垂线，垂足为F. FE与DC的 延长线相交于点G,连结DE，DR(1)求证：A BEM ACEG(2) 当点E在线段BC上运动时， BEF和ACEG勺周长之间有什么关系？并说明 你的理由.(3) 设BE= x, DEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当 x为何值时，y有最大值，最大值是多少？(2) BEFACEG 周长之和G定值. 理由一：过点C作FG的平行线交直线 AB于H ,因为GFAR所以四

33、边形 FHC劭矩形.所以 FH= CG FG= CH因此，4BEF与4CEG的周长之和等于 BO C* BH由 BC= 10, AB= 5, A阵 4,可得 CH= 8, BH= 6,所以 BO CH BH= 24 6 分理由二由AB= 5, AW4,可知在 RtA BEF与 RtA GC坤，有:4343EF-BE,BF-BE,GE-EC,GC£CE,5555所以， BEF的周长是12 BE , ECG勺周长是12CE 55B6分又BE+ CE= 10,因此VBEF与VCEG的周长之和是24.43(3)设 BE= x,则 EF -x, GC -(10 x)55一.11 4 36 o所

34、以 y EF gDG g x(10 x) 5 x22552522一 x5配方得：y所以，当x6 /55、2 121一(x )256655.时，y有最大值.610分【例2】如图二次函数y = ax2+bx + c(a>0)与坐标轴交于点 A B= OC= 3(1)求此二次函数的解析式.(2)(3)写出顶点坐标和对称轴方程.点M N在y = ax2+bx+c的图像上(点N在点M的右边) 且MN/ x轴 求以MNfe直径且与x轴相切的圆的半径.(1)依题意 A( 1,0), B(3,0) C(0, 3)分别代入 2.y ax bx c解方程组得所求解析式为y(2) y x2 2x 3 (x 1

35、)2 4顶点坐标(1, 4),对称轴xx2 2x 3(3)设圆半径为r,当MN在x轴下方时，N点坐标为(1 r, r)把N点代入yx2 2x 3 得 r 1 后同理可得另一种情形r1.17 一圆的半径为或21.17210分【例3】已知两个关于x的二次函数y2, V1 a(x k)22(k 0), 丫1V2 x2 6x 12,当 x k 时，y2 17 ;且二次函数y2的图象的对称轴是直线x(1)求k的值；(2)求函数, y2的表达式;(3)在同一直角坐标系内，问函数 y的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由.解析过程及每步分值2-2(1)由 y1 a(x k) 2, y1 y2 x 6x 1

36、2得 y2( yiy2)yi2 4_2 _x2 6x 12 a(x k)2 222x2 6x 10 a(x k)2.又因为当x k时，y217 ,即 k2 6k 10 17 ,解得k11 ,或k27 (舍去)，故k的值为1.(2)由 k 1,得 y2x2 6x 10 a(x 1)2(1 a)x2 (2a 6)x 10 a,所以函数y2的图象的对称轴为 x ,2(1 a)2a 6于是，有61 ,解得a 1,2(1 a)一一.2 一一 2所以 y1x 2x 1, y2 2x 4x 11 .2(3)由y1(x 1) 2,得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2)；22由y2 2x 4

37、x 11 2(x 1)9 ,得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(1,9)；故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点.2【例4】如图，抛物线y x4x与x轴分别相交于点 B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点 O,得到直线1,设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标；(2)以点A、B O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形 ，请分别直接写出这些特殊 四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A、B、。P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当46J2S 6 8短时，求x的取值范围 解析过程及每步分值,22.斛：(1) ;

38、 y x 4x (x 2)4 A(-2,-4)(2)四边形 ABPO为菱形时，Pi(-2,4)24四边形ABOP为等腰梯形时，Pi(24)5 ' 5一一一， 4 8四边形ABPO为直角梯形时，Pi( -,-)5 5一一一、 612四边形ABOP为直角梯形时，Pi(- 一)5'5(3)由已知条件可求得 AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线1的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x<0,1 POB的面积 S POB 4 ( 2x) 4x21 AOB勺面积 S AOB4 4 8,AB2S S AOB S POB 4x 8(x0) 4 672S 6872,S4

39、62S68、22 3.24x 8 4 6-2 x 2即24x 8 6 8 21 4、2S 2x的取值范围是1 4、222 3.2x 2当点P在第四象限是，x>0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为 A'、P'则四边形POA A的面积,一_1八.AA B 的面积 Saar -424A A B2S Spoaa S aab 4X 8(X 0)4 6 v 2 S 6 8J2,S 4 6 24x 8 4 6,2即S 6 8.24x 8 6 8.23, 2 2 x 4.2 1 sx的取值范围是4,2 1【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林 专业

40、户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润yi与投资量x成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图所示(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润yi与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解：(1)设y1 = kx,由图所示，函数 y1 = kx的图像过(1, 2),所以2=k 1, k 2故利润y1关于投资量x的函数关系式是 y=2x；22因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2 = ax ,由图12-所示，函数 y2=ax的图像过(

41、2, 2),r21所以2 a 22 a212故利润y2关于投资量x的函数关系式是 y x2;2(2)设这位专业户投入种植花卉 x万元(0 x 8),则投入种植树木(8 x)万元，他获得的利润是 z万元，根据题意，得1 2 1 212z = 2(8 x)+ x =-x 2x 16 = (x 2)14222当x 2时，z的最小值是14;因为0x8,所以 2x26所以(x 2)236所以 1(x 2)21821所以(x 2)2 14 18 14 32,即 z 32,此时 x 8 2当x 8时，Z的最大值是32.【例5】如图，已知 A( 4,0) , B(0,4),现以A点为位似中心，相似比为9:4,

42、将OB 向右侧放大，B点的对应点为C.(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点 P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为3、. 2的点P.解析过程及每步分值解：(1)过C点向x轴作垂线，垂足为 D,由位似图形性质可知: AB6 AACD1 A0 BO 4AD CD 9由已知 A( 4,0), B(0,4)可知：A0 4, BO 4 .AD CD 9. 点坐标为(5,9).直线BC的解析是为:化简得： y x 44 c2设抛物线斛析式为 y ax bx c(a

43、0),由题意得：9 25a 5b c ,.2_b 4ac 0解得:bla2b212545C242.12 4:解得抛物线解析式为 y1 x 4x 4或丫2 x2 - x 4 .255-124又 y2 x -x 4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去.255.满足条件的抛物线解析式为y x2 4x 4(准确画出函数 y x2 4x 4图象)(3)将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到 直线AB的距离为h,故P点应在与直线AB平行，且相距3 J2的上下两条平行直线l1和l2上.由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线 BC的距离也为3拒如图，设k与y轴交于E点，过E作EFLB

44、C于F点，在 RtABEF 中 EF h 3衣，EBF ABO 45°,-1 BE 6.可以求得直线11与y轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线12与丫轴交点坐标为(0, 2)两直线解析式11 : y10 ； 12： y x 2.根据题意列出方程组:4x 4、; 104x 42解得:XiVi616X2V2X3y32X4；0V4.满足条件的点p有四个，它们分别是R(6,16)B( 1,9)R(2,0) , P4(3,1)【例6】如图，抛物线 L1 : yX2 2x3交x轴于A、B两点,交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2, L2交x轴于c、D两点.(1)求抛物线L

45、2对应的函数表达式;使以A, C, M, N为顶点的四边形是平行四边(2)抛物线Li或L2在x轴上方的部分是否存在点N,形.若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由;(3)若点P是抛物线L1上的一个动点(P不与点A、B重合)，那么点 P关于原点的对称点 Q是否在抛物线L2上，请说明理由.解析过程及每步分值【例7】如图，在矩形ABCD中，AB 9, AD3“，点P是边BC上的动点(点P不与点B ,点C重合)，过点P作直线PQ / BD ,交CD边于Q点，再把APQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x , 4PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y .(1)求CQP的度数

46、;(2)当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上?(3)求y与x之间的函数关系式;当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 ?27解析过程及每步分值解：（1）如图，Q四边形ABCD是矩形，AB CD, AD BC .又 AB 9, AD 3串, C 90°,CD 9, BC 36.BC 30tan CDB , CDB 30 .CD 3Q PQ / BD , CQP CDB 300 .(2)如图1,由的性质可知，RPQ CPQ , RP由(1)知 CQP 300,RPB 60°, RP RPQ CPQ , CP.RPQ CPQ 600, 2BP.QCP x, PR x,

47、 PB 343 x.在ARPR中，根据题意得：2(3j3 x) x,解这个方程得：x 2 J3 .（3）当点 R在矩形ABCD的内部或 AB边上时，0 xw 2百，SzxCPQ 1 CP CQ xgV3x 乎x2,QA RPQA CPQ , 当 0 xW2>/3时，y x22当R在矩形ABCD的外部时（如图2） , 2J3 x 3J3,在 RtzXPFB 中，Q RPB 60°,PF 2BP 2(3点 x),又Q RP CP x,RF RP PF 3x 673,在 RtzXERF 中，Q EFR PFB 30°ER 73x 6.18x 1873,c1Szx ERF -

48、ER FR2Q yS*A RPQSA ERF ,当 2',3x 3百时,y .3x218x 1873 .综上所述,y与x之间的解析式是：y争2(0f回,3x2 18x 18x3(2 .3 x 3 ., 3)矩形面积x<2J3时，函数y x2 2随自变量的增大而增大，所以y的最大值是6J3 ,而矩形面积的 的值272773 773 , 27而 7 .36卮所以，当0 x 2病时,y的值不可能是矩形面积的7一,27当2.3x 3、, 3时，根据题意，得:18x 18，3 7J3,解这个方程，得 x 373 J2,因为3« 五所以x3建 22不合题意，舍去.所以x3.3 2

49、2.综上所述，当第四章兴趣练习373 J2时，4PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的27代数部分1.已知：抛物线y2ax bx C与x轴父于A、B两点，与y轴父于点C. 其中点A在x轴的负半轴2_上，点C在y轴的负半轴上，线段 OA、OC的长(OA<OC)是万程x2 5x 4 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x 1.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点 A、B不重合)，过点 D作DE II BC交AC于点E,连 结CD,设BD的长为m, A CDE的面积为S,求S与m的函数关系式，并写出自变量 m的取 值范围.S

50、是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由.2.已知，如图1,过点E 0, 1作平行于X轴的直平ly：抛物线y 两点A、B的横坐标分别为1和4,直线AB交y轴，点F D过“A 直线l的垂线，垂足分别为点C、D,连接CF、DF / /(1)求点A B、F的坐标；yl/C(2)求证：CF DF ;7yx2上的4B分别作X(3)点P是抛物线yx2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作4在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.已知矩形纸片10ABe的长为4宽为3,立平面直角坐标系；点 得到APEC ,再直线(1)PE、若点PF重合、E«-Bp是

51、OA现，求点，AEE落总形C胪 OADC/(图1)边上上的动点R适当的点以长(与点OA所在的直名O、A不重(2)若点寿为x辅，O为坐标原点建茨)，那俗zPOC沿PC翻折D,将4PAD沿pD翻折，得到 4PFD ,使得FP、C、D的坐冠CO求过此三点的抛物线的函数与系式;内部，如图，设 OP x, AD 备用图Dy,当x为何值时，y取得最大PQ ± PO交x轴于点Q ,是否存在点P使得4OPQ与4CDF相似？若存4.C4点E：,(1)求物物线的对称轴*2)在平面直备坐标系1, 0)4x 3交x轴于A、B四点，交 y轴于点C?抛:B的对称轴交x轴于及点xoyA的坐标;P,与A、B、*C三

52、点构以一个干在四加D ?若存在，请写值？(3)在(1)的情况下，过点 P、C、D三点的抛物线上是否存在点 Q,使4PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q的坐标.0 (3)连结CA与抛物线P对称车悒于虑分成面积相等的两圃？若存在，请求出直线CM的解析式；若不峥，请说明理由.p的坐标；若不彳浓，讳隹明脑由；_±!_D,在抛悔上是否存“M,使得直线CM必巴四边形DEOC25.如图， 已知抛物线 y ax bx 3 (a*0)与x轴交于点A (1, 0)和点B ( 3, 0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与 X轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使 CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求 此时E点的坐标.二、动态几何6.如图，在