高等数学：1-3 无穷小量与无穷大量

1、第四节第四节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量二、无穷大量二、无穷大量三、无穷小的运算法则三、无穷小的运算法则四、无穷小的比较四、无穷小的比较一、无穷小量一、无穷小量1.定义定义极限为零的变量称为无穷小（量）极限为零的变量称为无穷小（量）.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意: :1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小

2、的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:.)(),()()(lim 1 00时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中定理定理xxxxAxfAxfxx 意义意义(1).将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);. )(, )( )( ).2(0 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数 1.定义定义绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. .).)(lim ( )(lim )( )( ,)( )( ),(0 )( )( ).( )( 1 0000

3、 xfxfxxxxfMxfxfxXxxxXMxxxfxxx或或为无穷大，记作为无穷大，记作时时或或当当那么称函数那么称函数都满足不等式都满足不等式，对应的函数值，对应的函数值的一切的一切或或使得对于适合不等式使得对于适合不等式数数或正或正，总存在正数，总存在正数不论它多么大不论它多么大给定的正数给定的正数如果对于任意如果对于任意大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义或或有定义有定义的某一去心邻域内的某一去心邻域内在点在点设函数设函数定义定义 二、无穷大二、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无

4、穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx.11lim 11 xx证明证明例例00 lim( ),( ) .xxf xxxyf x 如果则直线是函数的图形的定铅直渐近线义定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小 的讨论的讨论. 是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, , 三、无穷小的运算性质三、无穷小的运算性质 定理定理1 1 在同一过程中在同一过程中, ,有限个无穷小的代数和仍是有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷小. .注意注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn 定理定理2 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论1 1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论