平移与旋转压轴题(纯平移、旋转-没有相似)

1、平移与旋转压轴题1 .正方形ABCD43,点E、F分别是边AD AB的中点，连接 EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点，连接FG则EF与FG关系为：;(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接 FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆时针 旋转900,得到线段FQ,连接EQ请彳#想EF、EQ BP三者之间的数量关系，并证明你的结 论；(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图 3中补全图形，并直接写出 EF、EQ BP三者之间的数量关系： .2 .在RtABC中，/ ACB=90°, / A=30°,点D是AB的中点，DE，BC,垂足为点 E,连接 CD

2、.(1)如图1, DE与BC的数量关系是 ;(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B C重合)，连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请彳#想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证 明你的结论；(3)若点P是线段CB延长线上一动点，按照( 接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.2)中的作法，请在图 3中补全图形，并直3 .如图1,在 ABC中，/A=36 , AB=AC / ABC的平分线 BE交AC于E.E'图(D图2(备用图)(1)求证：AE=BC(2)如图(2),过点E作EF/ BC交AB于F,将 AEF绕点A逆时针旋转角

3、& (0° V a V 144° )得到 AE' F',连结 CE , BF',求证：CE =BF'(3)在(2)的旋转过程中是否存在 CE / AB?若存在，求出相应的旋转角a；若不存在,请说明理由.4 .在数学活动课中，小辉将边长为 J2和3的两个正方形放置在直线 l上，如图1,他连结AD CF,经测量发现AD=CF(1)他将正方形 说明你的理由；(2)他将正方形ODE曦O点逆时针旋转一定的角度，如图 2,试判断AD与CF还相等吗?ODEF绕。点逆时针旋转，使点 E旋转至直线l上，如图3,请你求出 CF的长.5 .某校九年级学习小

4、组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60。角的直角三角板 ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角a (0。V如图(2), AE与BC交于点 M, AC与EF交于点 N BC与EF交于点P.(1)求证：AM=AN(2)当旋转角a =30。时，四边形 ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由.6.如图，在RtABC中，/C=90，点P为AC边上的一点，将线段 AP绕点A顺时针方向 旋转（点P对应点P'）,当AP旋转至AP，AB时，点B、P、P'恰好在同一直线上，此时 作P' E，AC于点E.(1)求证：/ CBPh ABR(

5、2)求证：AE=CPCP3一（3）（相似）当 ，bp，=5而时，求线段 AB的长.PE 27 （三角函数）.如图1,在平面直角坐标系中， 已知4AOB是等边三角形，点A的坐标是（0, 4）,点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP,并把4AOP绕着点A按逆时针方 向旋转，使边 AO与AB重合，得到 ABD（2）当点P运动到点（J3, 0）时，求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P,使OPD的面积等于 4?若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.8 .操作发现，将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC的斜边与含30。角的直角三角板 DEF的长直

6、角边DE重合.问题解决将图中的等腰直角三角板 ABC绕点B顺时针旋转30° ,点C落在BF上，AC与BD交于点 O,连接CD如图.(1)求证：4CDO是等腰三角形;(2)若DF=&求AD的长.0 (0° v。v 90° )时，如图2, BD=CF立吗?3,延长BD交CF于点G。当AB=4, AD=寸，求线段CM的长。9 .如图1, ABC是等腰直角三角形，四边形 ADEF是正方形，D F分别在AR AC边上, 此时BD=CF BD! CF成立。(1)当正方形 ADEF绕点A逆时针旋转 若成立，请证明；若不成立，请说明理由。(2)当正方形 ADEF绕点A逆时

7、针旋转45°时，如图求证：BD± CR(3)在(2)小题的条件下，AC与BG的交点为 M10、已知：正方形 ABCD中，/ MAN=45°, / MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB, DC （或它们的延长线）于点 M, N.当/ MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证 BM+DN=MN .（1）当/ MAN绕点A旋转到BM为N时（如图2）,线段BM , DN和MN之间有怎样的 数量关系？写出猜想，并加以证明.（2）当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM, DN和MN之间又有怎样的数 量关系？并说明理由.aDAD AD11、有两张完全重合

8、的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90。后得到矩形AMEF （如图甲），连结BD、MF,若此时他测得 BD=8cm, / ADB=30°.试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；小红同学用剪刀将 BCD与4MEF剪去，与小亮同学继续探究.他们将 ABD绕点A顺时针旋转得 AB1D1, ADi交FM于点K （如图乙），设旋转角为 ,0之90 ）,当 AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角3的度数；图甲图乙12、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知,我可以把两块木板拼成B D 900, AD CD。思考一段时间后，一位木工师傅说:B一

9、个正方形。”另一位木工师傅说：我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个 正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形， 并说明理由。13 .如图14-1, ABC的边BC在直线l上，AC BC,且AC BC ； EFP的边FP 也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP .(1)在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置(2)将4EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q,连结AP, BQ .猜 想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将4EFP沿直线l向左平移到图1

10、4-3的位置时，EP的延长线交 AC的延长线于点 Q, 连结AP , BQ .你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若 成立，给出证明；若不成立，请说明理由.A (E)，、 lBC (F)P图 14-1图 14-2图 14-314 .如图23-127所示，在平面内直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中 较小直角边的长为 6 cm,较小锐角的度数为 30° .将4ECD沿着直线AC翻折到如图23128(1)所示的位置，ED'与AB相交 于点F,求证AF=FD'(2)将4ECD沿直线l向左平移到如图23128(2)所示的位置，使 E点落在A

11、B 上，记为E',求出平移的距离；(3)将4ECD绕点C逆时针方向旋转到如图 23128(3)所示的位置，使得点 E落 在AB上，记为点E',求出旋转角的度数.<1>(3)图 23 - 128平移与旋转压轴题答案1、解：（1）垂直且相等。（2） EF、EQ BP三者之间的数量关系为：EF衣 BP EQ。证明如下：如图，取BC的中点G,连接FG由(1)得 EF=FG EF± FG根据旋转的性质，FP=FQ /PFQ =90 。 /GFP4 GFE-Z EFP=90 / EFP,/ EFQ=Z PFQ- / EFP=90 / EFP。 ./ GFPW EFQ在

12、4FQE和4FPG 中，EF=GF / EFQh GFP . .FQ且 FPG(SAS。EQ=GPEF GF 2BG 2 BP GP 2 BPEQ 。CFQ =D（3）补图如下，F、EQ BP三者之间的数量关系为:DM D2、解：（1） DE=*K BCB 'AF（2）根据旋转的性质得到/PDF=60 , DP=DF 易得/CDP之 BDF,根据"SAST判断 ADCPDBF,贝U CP=BF利用CP=BC- BP, DE=在BC可得至U BF+BP=2DE;23（3）补全图形如图,DE、BF、BP三者之间的数量关系为 BF- BP=2-i DE33、解：（1）证明：又 BE

13、平分/ ABC -AB=BC /A=36° , .ABC4 C=72。/ ABE4 CBE=36 。，/BEC=180 - Z C- /CBE=72。. . / ABE土 A, / BEC4 C=.AE=BE BE=BC AE=BC(2)证明： AC=AB1 EF/BC, . AE=AF由旋转的性质可知：ZE' ACN F' AB, AE =AF',AB AC在4CAE 和BAF中,FABAF AE .CAE ABAF 。(3)存在 CE / ABCE=BF'。由（1）可知AE=BC所以，在 AEF绕点A逆时针旋转过程中, 过点C且与AB平行的直线l交

14、于M N两点，E点经过的路径（圆弧）与如图：当点E的像E'与点M重合时，则四边形 ABCM；等腰梯形, ./ BAM= ABC=72 ,又/ BAC=36 。ABC与AFE按如图（1）a (0° V a V 90° ), .a =Z CAM=36 。当点E的像E'与点N重合时，由 AB/ l 得，/ AMNW BAM=72 , . AM=AN / ANM=AMN=72。 ./ MAN=180 -2X72° =36° 。 .a =/ CANh CAM+ MAN=7 2。，当旋转角为 36°或72°时，CE / AB=4、

15、解：（1） AD=CF理由如下：在正方形 ABC的正方形 ODE叶，AO=CQ OD=OF / AOCW DOF=90 , / AOCy CODW DOF+： COD 即/ AODW COF在AOD和COF中，AO=CO / AODW COF OD=OF . .AO国 COF (SAS。 .AD=CF(2)与(1)同理求出CF=AD如图，连接 DF交 OE于 G,贝U DF± OE DG=OG=OE,2 正方形 ODEF勺边长为 短，. OE=/2 X J2=2。1- 1 .DG=OG=OEj X2=1。 22 .AG=AO+OG=3+1= 4在 RtMDG中，AD 振G_55r J

16、42 12 后, .CF=AD=A7。5、解：（1）证明：二用两块完全相同的且含60。角的直角三角板所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角 .AB=AF / BAMh FANFAN BAM .在 ABM 和 AFN 中， AB AF ,B F .AB阵 AFN (ASA °.AM=AN(2)当旋转角 a =30°时，四边形 ABPF是菱形。理由如下:连接AP, . / a =30° , . FAN=30 。 .FAB=120 。 . /B=60° , AF/BP。 / F=Z FPC=60 。/ FPC=/ B=60° 。AB

17、/ FP。四边形ABPF是平行四边形。.AB=AF .平行四边形 ABPF是菱形。6、解：（1）证明： AP 是 AP旋转得到，AP=AP。APP =/AP P。 /C=90 , AP ± AB,/ CBP-+Z BPC=90 , / ABP+Z AP P=90° 。又BPChAPP （对顶角相等）。CBP4ABR（2）证明：如图，过点 P作PD±AB于D, /CBP4 ABP, /C=90 , CP=DP, P' EL AG，/EAP +/AP E=90° 。 又 / PAD吆 EAP =90° , / PAD"P E。在A

18、PD和AP' AE 中，PAD AP E ADP PEA 90°,AP AP .APN" AE（ AAS。AE=DP . . AE=CP- CP 3、一一（3） . 一 一，设 CP=3k, PE=2k,贝U AE=CP=3K AP =AP=3k+2k=5k。PE 222在 RtAEP 中，PE J 5k 3k 4k, / C=90 , P' E± AC,/ CBP+Z BPC=90 , / EP P+Z P' PE=90 。 / BPC=/ EPP （对顶角相等）,/ CBP=/ P' PE又/BAP =/P' EP=90

19、 , .ABP s EPP 。.,AB PA。即任PE PE 4k在 RtABP 中，AB2解得AB=10PA1亢。，PA -AB o_22_212PA BP ,即 AB -AB 4由已知得：BF=OE=2 OF . 42 227、解：(1)如答图1,过点B作BEXy轴于点E,彳BF±x轴于点F。.点B的坐标是(28,2)。设直线AB的解析式是y=kx+b (kw0),则有273kb 2,解得 k直线AB的解析式是y 立x3(2) ABD由4AOP旋转得到， . ABN AOP AP=AD / DAB=/ PAO/DAP4 BAO=60。.AD幅等边三角形。DP AP J42% 2

20、屈。BGL DH如答图2,过点D作DHLx轴于点H,延长EB交DHR1点G在 RHBDG中，/ BGD=90 , / DBG=60 ,.BG=BD?cos60=3.DG=BD?sin60 ° 2八 一5 一.OH=EG= 73,2，点D的坐标为DH=7。2573,22）（3）存在。假设存在点P,在它的运动过程中，使 OPD的面积等于 J3。设点P为（t, 0）,下面分三种情况讨论:当t >0时，如答图2,BD=OP=tDG通 t ,DH=2也 t。22OPD勺面积等于41t 2-3t-3解得t1扬273t2 21，点Pi的坐标为（3当D在x轴上时，如答图2.3（舍去）。2 3.4,3根据锐角三角函数求出 BD=OP=3W 4.33当 有一vtwo 时，如答图 1, BD=OP = t , DG= t , GH=BF=2 (- t) =2+ -1 o22OPD勺面积等于 一3,41t 2灰t 爽，解得3 比，t2B2243点P2的坐标为（0）,点P3的坐标为（J3, 0）。当tw延时, 3如答图2 t 2当M解得t,巴运t2一（舍去）。 点P4的坐标为（ .BC=BD=8y3。-. AG± BC, Z ABC=45 ,BG=AG=43。 . AG=DH21 2展,0）。3综上所述，点P的坐标分别为R （扃2忘,0）、B （ Y3 0）、P3