线性代数：第3章 线性方程组3

1、3.5 向量空间1向量空间向量空间定义定义设设 为为 维向量的集合维向量的集合,Vn若集合若集合 非空非空, ,V且且集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭对于加法及数乘两种运算封闭,V即即(1) 若若,VV (2) 若若,RV 则称集合则称集合 为为向量空间向量空间.V记所有记所有 维向量的集合为维向量的集合为n,nR由由 维向量的维向量的n线性运算规律线性运算规律, 容易验证集合容易验证集合 对于加法及数乘对于加法及数乘nR两种运算封闭两种运算封闭,因而集合因而集合 构成一向量空间构成一向量空间,nR;V 则则V 则则nR称称为为 n 维向量空间维向量空间. .向量空间向量空间注注: :nR

2、具有直观的几何图象具有直观的几何图象. .例如例如, , 二维向量空间二维向量空间 平面平面; ;:2R一维向量空间一维向量空间 数轴数轴. .:R3 n时时, 3 n时时, ,完完实体空间实体空间; ;:3R三维向量空间三维向量空间nR没有直观的几何图象没有直观的几何图象. .例例1 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. ., , , , , ,)0(221RxxxxxVnTn 解解1V是向量是向量空间空间. .因为因为, , , , ,Tnaa)0(2 , , , , ,12)0(VbbTn 有有122)0(VbabaTnn , , , , . ., , , ,12)0(

3、VaaTn 1V的任意两个元素的任意两个元素对于对于完完例例2判别下列集合是否为向量判别下列集合是否为向量空间空间. . ., , , , , , ,)1(222RxxxxxVnTn 解解2V不是不是向量空间向量空间. .因为因为 若若, , , , , ,22)1(VaaTn . ., , , , ,22)222(2VaaTn 则则完完例例3 设设 , ,为两个已知的为两个已知的n维维向量向量, , 集合集合RV , , 试判断集合是否为试判断集合是否为向量空间向量空间. .解解V是一个向量是一个向量空间空间. .因为因为若若, , 111 , , 222 则有则有, ,V )()(2121

4、21. .Vkkk )()(111这个向量这个向量空间空间 , ,称为由向量称为由向量所生成的向量所生成的向量空间空间. .注注: : 通常由向量组通常由向量组m , , , ,21所生成的向量空间记所生成的向量空间记为为. ., , , ,212211RxVmmm 完完例例4 设向量组设向量组m , , ,1与向量组与向量组s , , ,1等价等价, , 记记2122111RVmmm , , , ,2122112RVsss , , , ,试试证证: :. .21VV 证证 设设, ,1V 则则 可由可由m , , ,1线性线性表示表示. .因因m , , ,1可由可由s , , ,1线性线性

5、表示表示, , 故故 可由可由s , , ,1线性线性表示表示. .2V 这就是说这就是说, , 若若, ,1V 则则2V . .21VV 类似地可证类似地可证: : 若若, ,2V 1V 则则. .12VV 因为因为, ,21VV , ,12VV 所以所以. .21VV 完完例例5 考虑齐次线性议程组考虑齐次线性议程组, , 0 Ax其全体解的集合其全体解的集合为为 0 AS显然显然, ,S为非空为非空, , )0(S 任取任取, , ,S k为任一为任一常数常数, ,则则, , 0)( AAA即即S , , 00)( kkAkA 即即Sk 故故S是一是一向量空间向量空间. .称称S为齐次线

6、性议程组为齐次线性议程组0 Ax的的解空间解空间. .完完子空间子空间定义定义 设有向量空间设有向量空间 和和1V,2V若向量空间若向量空间,21VV 则称则称 是是 的的子空间子空间.1V,2V例如例如, 设设 是由是由 维向量所组成的向量空间维向量所组成的向量空间,Vn显然显然,nRV 故向量空间故向量空间 是是 的子空间的子空间.VnR完完向量空间的基与维数向量空间的基与维数定义定义 设设 是向量空间是向量空间,V若有若有 个向量个向量r,21Vr 且满足且满足(1) 线性无关线性无关;r ,21(2) 中任一向量都可由中任一向量都可由 线性表示线性表示.Vr ,21则称向量组则称向量组

7、 为向量空间为向量空间 的一个的一个基基, ,r ,21V称为向量空间称为向量空间 的的维数维数, ,Vr并称并称 为为 r 维向量空间维向量空间. .V数数向量空间的基与维数向量空间的基与维数注注: :1. 只含零向量的向量空间称为只含零向量的向量空间称为 0 维向量空间维向量空间,没有基没有基; ;它它2. 若把向量空间若把向量空间 看作向量组看作向量组, ,V量组的极大无关组量组的极大无关组, ,V的维数就是向量组的秩的维数就是向量组的秩; ;V的基就是向的基就是向则则3. 若向量组若向量组 是向量空间是向量空间 的一个基的一个基, ,Vr ,21则则 可表示为可表示为V,|212211

8、RVrrr 此时此时, , r ,21V所所生成的向量空间生成的向量空间. .又称为由基又称为由基完完例例8 证明单位向量组证明单位向量组, , , , , ,T)0001(1 , , , , , ,T)0010(2 Tn)1000(, , , , , 证证n是是维向量空间维向量空间nR的一个的一个基基. .)1(易见易见n维向量组维向量组n , , , ,21线性无关线性无关; ;)2(对对n维向量空间维向量空间nR中的任意一向量中的任意一向量, , , , ,Tnaaa)(21 有有, ,nnaaa 2211即即nR中的任意一向量中的任意一向量都可由初始单位向量都可由初始单位向量线性表出线

9、性表出. .因此因此, , 向量组向量组n , ,n是是维向量空间维向量空间nR的一个的一个基基. .完完, , ,21 例例9证证给定向量给定向量, , , ,T)142(1 , , , ,T)531(2 , , , ,T)132(3 , , , ,T)311( 试试证明证明: :向量组向量组321 , , ,是三维向量空间是三维向量空间3R的一的一并将向量并将向量 用这个基线性用这个基线性表示表示. .令矩阵令矩阵, , , ,)(321 A一个一个基基, , 只需证明只需证明; ;EA又设又设332211 xxx 或或 Ax则对则对)( A进行初等行进行初等行变换变换, , 当将当将A化

10、为单位矩化为单位矩矩矩E时时, , 同时将向量同时将向量 化为化为. . 1 AX个个基基, ,要证明要证明321 , , ,是是3R的的 410010104001可见可见，EA故故321 , , ,是是3R的一个的一个基基, , 且且. .32144 )( A 315113341212行变换行变换完完向量在基下的坐标向量在基下的坐标如果在向量空间如果在向量空间 中取定一个基中取定一个基V,21r 那么那么 中任一向量中任一向量 可唯一地表示为可唯一地表示为Vx,2211rrx 特别地特别地, , 在在 维向量空间维向量空间 中取单位坐标向中取单位坐标向nnRn ,21量组量组 为基为基, ,

11、 则以则以 为分量的为分量的nxxx,21可表示为可表示为, 向量向量,2211nnxxx 因此因此n ,21nR中的中的自然基自然基. .叫做叫做可见向量在基可见向量在基n ,21中的坐标就是该向量的分量中的坐标就是该向量的分量. .数组数组r ,21r ,21x中的坐标中的坐标. .在基在基称为称为向量向量完完中的坐标变换公式中的坐标变换公式3R在在 中取定一个基中取定一个基3R,321 ,3 设设).,(),(321321 BA两个基中的坐标之间的关系式两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式坐标变换公式). .因因,),(),(321321A 故故再取一个新基再取一个新基,1 ,2 求

12、用求用,21 表示表示3 321, 的表示式的表示式(基变换公式基变换公式), , 并求向量在并求向量在,),(),(),(1321321321BAB 即基交换公式为即基交换公式为,),(),(321321P (1)其中系数矩阵其中系数矩阵BAP1 称为从称为从旧基到新基的过渡旧基到新基的过渡矩阵矩阵. .),(),(1321321 A 中的坐标变换公式中的坐标变换公式3R,321xxx 即即设向量设向量 在旧基和新基中的坐标分别为在旧基和新基中的坐标分别为321,xxx和和x),(321 x,321 xxx),(321 x,321 xxx故故 321xxx 321xxxB A 321xxx,

13、321 xxxAB1 即即(2) 321xxx 321xxxP 321xxx.321 xxx1 P这就是这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式从旧坐标到新坐标的坐标变换公式. .例例12设设3R中的两个基分别为中的两个基分别为)1(求从基求从基321 , , ,到基到基321 , , ,的过渡的过渡矩阵矩阵; ;)2(求坐标变换求坐标变换公式公式; ;, , 011 1 , , 110 2 , , 201 3 , , 013 1 , , 110 2 . . 401 3 )3(求求 在这两组基下的在这两组基下的坐标坐标. .解解设设, , 212 解解)1(设设, , , , , ,P)()(32

14、1321 所以所以. .BAP1 下面用初等行变换求下面用初等行变换求. .BA1 , , 410011103 )(321 , , ,B. . 210011101 )(321 , , ,A 410210011011103101 )(BA, , 410210112110103101 322100112110103101 322100234010225001解解)1(设设, , , , , ,P)()(321321 所以所以. .BAP1 下面用初等行变换求下面用初等行变换求. .BA1 , , 410011103 B. . 210011101 A 410210011011103101 )(BA,

15、 , 322100234010225001故所求的过渡矩阵为故所求的过渡矩阵为. . 322234225 BAP1完完解解)2(由由)1(的的结果结果, , 可直接写出坐标变换公式可直接写出坐标变换公式:. . 321321322234225xxxxxx完完解解)3(先求先求 在在321 , , ,下的下的坐标坐标. .设设332211 xxx 则则现用初等行变换求现用初等行变换求. . 1 B 13/510024101011)(321 , , , 321xxxB 321xxx, , 1 B 321xxx 13/510013/601013/7001 241010112103B( ) 所以所以

16、在基在基321 , , ,下的下的坐标坐标. .为为 321xxx 13/513/613/7 解解)3(先求先求 在在321 , , ,下的下的坐标坐标. .设设332211 xxx )(321 , , , 321xxxB 321xxx所以所以 在基在基321 , , ,下的下的坐标坐标. .为为 321xxx 13/513/613/7 321xxx而而 在基在基321 , , ,下的下的坐标为坐标为 321xxxP 13/513/613/7322234225 567322234225131 13013131 . . 101 完完例例13321 , , ,设设为三维向量空间的一个为三维向量空间

17、的一个基基, , 而而321 , , ,与与321 , , ,中两个中两个向量组向量组, ,为为V且且, , 3123123211 3213321232113434322 )3()1(验证验证321 , , ,及及321 , , ,都是都是V的的基基; ;求由求由321 , , ,到到321 , , ,的的过渡矩阵过渡矩阵; ;求求坐标变换公式坐标变换公式. .)2(解解例例13)3()1(验证验证321 , , ,及及321 , , ,都是都是V的的基基; ;求由求由321 , , ,到到321 , , ,的的过渡矩阵过渡矩阵; ;求求坐标变换公式坐标变换公式. .)2(解解)1(B)(32

18、1 , , , 111001111)()(321321 , , , , , C)(321 , , , 由于由于, , 0 B故故B为为可逆矩阵可逆矩阵. . 而而V的的321 , , ,为为321 , , ,故故线性无关线性无关. . 所以所以321 , , ,为三维为三维 341432321)()(321321 , , , , , 基基,同理由同理由0| C知知321 , , ,是是的的基基. .VV的一个的一个基基. .向量空间向量空间例例13)3()1(验证验证321 , , ,及及321 , , ,都是都是V的的基基; ;求由求由321 , , ,到到321 , , ,的的过渡矩阵过渡

19、矩阵; ;求求坐标变换公式坐标变换公式. .)2()2(由由)1(知知, , , , , , ,B)()(321321 , , , , , ,1321321)()( B . ., , , , , , ,CBC1321321321)()()( 从而从而所以所以, , 从从321 , , ,到到321 , , ,的的过渡矩阵为过渡矩阵为 3414323211110011111 CB1. . 101010432 例例13)3()1(验证验证321 , , ,及及321 , , ,都是都是V的的基基; ;求由求由321 , , ,到到321 , , ,的的过渡矩阵过渡矩阵; ;求求坐标变换公式坐标变换

20、公式. .)2(解解)3(坐标变换公式为坐标变换公式为. . 321101010432xxx 321xxx 完完3.6 线性方程组解的结构28解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa)1(若记若记 A,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa x nxxx21则方程组则方程组(1)可写为向量方程可写为向量方程0 Ax)2(方程方程(2)的解的解 x nxxx21称为方程组称为方程组(1)的的解向量解向量. .齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质设有齐次线

21、性方程组设有齐次线性方程组0 Ax1. 若若 为方程组为方程组 的解的解,21, 0 Ax则则21 也是该也是该方程组的解方程组的解. .证证21, 为方程组为方程组 的解的解0 Ax, 01 A02 A, 0)(21 A为方程组为方程组 的解的解,0 Ax21 证毕证毕.2. 若若 为方程组为方程组 的解的解,1 0 Axk为实数为实数, 则则1 k也也是该方程组的解是该方程组的解. .齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组0 Ax2. 若若 为方程组为方程组 的解的解,1 0 Axk为实数为实数, 则则1 k也也是该方程组的解是该方程组的解. .1

22、. 若若 为方程组为方程组 的解的解,21, 0 Ax则则21 也是该也是该方程组的解方程组的解. .证证1 为方程组为方程组 的解的解0 Ax01 A, 00)()(11 kkAkA 为方程组为方程组 的解的解, ,0 Ax1 k证毕证毕. .为实数为实数, ,3. 若若 为方程组为方程组 的解的解,s ,210 Axskkk,21则线性组合则线性组合齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组0 Ax2. 若若 为方程组为方程组 的解的解,1 0 Axk为实数为实数, 则则1 k也也是该方程组的解是该方程组的解. .1. 若若 为方程组为方程组 的解的解

23、,21, 0 Ax则则21 也是该也是该方程组的解方程组的解. .为实数为实数, ,3. 若若 为方程组为方程组 的解的解,s ,210 Axskkk,21则线性组合则线性组合sskkk 2211也是方程组也是方程组 的解的解.0 Ax齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质注注: :则它就有无穷多则它就有无穷多齐次线性方程组若有非零解齐次线性方程组若有非零解, ,个解个解. .0 Ax易见方程组易见方程组的全体解向量所构成的集合的全体解向量所构成的集合, ,对对于加法和数乘运算是封闭的于加法和数乘运算是封闭的, , 因此构成一个向量空因此构成一个向量空间间, ,0 Ax的的解空间解空间.

24、称此向量空间为齐次线性方程组称此向量空间为齐次线性方程组完完基础解系的定义基础解系的定义定义定义)1(t ,21线性无关线性无关;注注: :)2(0 Ax的任意一个解都可由的任意一个解都可由t ,21线性表示线性表示. .础解系础解系, ,2211ttkkkx 其中其中 为任意常数为任意常数. .tkkk,210 Ax的通解可表示为的通解可表示为则则如果如果 是齐次线性方程组是齐次线性方程组t ,210 Ax的基的基满足满足:t 若齐次线性方程组若齐次线性方程组0 Ax,21 ,的有限个解的有限个解则称则称t ,210 Ax的一个的一个基础解系基础解系. .是方程组是方程组基础解系的定义基础解

25、系的定义方程组方程组 的基础解系不是唯一的的基础解系不是唯一的. .0 Ax方程组方程组 的解空间的基也不是唯一的的解空间的基也不是唯一的. .0 Ax方程组方程组0 Ax的一个基础解系即为其解空间一个基的一个基础解系即为其解空间一个基. .完完基础解系的求法基础解系的求法定理定理 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组, 0 Ax若若,)(nrAr 则该方程组的基础解系一定存在则该方程组的基础解系一定存在, ,证证,)(nrAr 以初等行变换以初等行变换, , 可化为如下形式可化为如下形式: :且每个基础解系且每个基础解系个解个解. .rn 中恰有中恰有故对方程组的增广矩阵故对方程组的增广矩阵

26、)(Ao施施 00000000000000010000100001212222111211rrnrrrnrnbbbbbbbbb基础解系的求法基础解系的求法定理定理 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组, 0 Ax若若,)(nrAr 则该方程组的基础解系一定存在则该方程组的基础解系一定存在, ,证证且每个基础解系且每个基础解系个解个解. .rn 中恰有中恰有即方程组即方程组 与下面的方程组同解与下面的方程组同解0 Ax nrrnrrrrrnrnrrnrnrrxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx22112222121212121111 其中其中 为自由未知量为自由未知量nrxx,1 分别取分

27、别取 nrrxxx21 100,010,001 基础解系的求法基础解系的求法证证代入得到方程组代入得到方程组0 Axrn 个解个解: :的的,1001 rrnrnbb rn ,010212 rbb 2 1 ,001111 rbb现证现证rn ,21定理的证明给出了求齐次线性方程组的基础解系的定理的证明给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法方法. .证明证明略略0 Ax的一个基础解系的一个基础解系. .就是就是基础解系的求法基础解系的求法注注: :rnrncccx 2211组组 的的通解通解. .0 Axrn ,210 Ax的一个基础解系的一个基础解系, ,是是若已知若已知则则0 Ax的全部解可

28、表为的全部解可表为 完完称它为齐次线性方程称它为齐次线性方程其中其中rnccc ,21为任意实数为任意实数, ,(1) 证证 线性无关线性无关.rn ,21 100,010,001线性无关线性无关, ,(2) 证方程组证方程组 的任一解都可表为的任一解都可表为0 Axrn ,21的线性组合的线性组合. .rn 个个rn 维向量维向量rn 个个 维向量维向量nrn ,21亦线性无关亦线性无关; ; nrrnrrrrrnrnrrnrnrrxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx22112222121212121111(2) 证方程组证方程组 的任一解都可表为的任一解都可表为0 Axrn ,21的

29、线性组合的线性组合. . nrrnrrrrrnrnrrnrnrrxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx22112222121212121111 nrrnrrnrrrrnrnrrxxxxbxbxbxbxbxb2122111212111 nrrrxxxxx211 x(2) 证方程组证方程组 的任一解都可表为的任一解都可表为0 Axrn ,21的线性组合的线性组合. . 1001rrnrnbbnx 010212rbb2 rx1 rx 001111rbb nrrrxxxxx211 x,2211rnnrrxxx 即解即解 可表为可表为 的线性组合的线性组合. .xrn ,21综合综合(1),(2)知

30、知,rn ,21解系解系. .完完是是0 Ax的一个基础的一个基础例例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系求下列齐次线性方程组的一个基础解系: :解解 对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换: :.002230322432143214321 xxxxxxxxxxxx 111121233212 111154105410312rr 323rr A21rr 11115410000031rr 000054101111例例1解解 对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换: : 111121233212 A2)1(r .000054104

31、301 因此基础解系为因此基础解系为,)0 , 1 , 4, 3(1T .)1 , 0 , 5 , 4(2T 于是原方程组可同解地变为于是原方程组可同解地变为: :,5443432431 xxxxxx完完解空间及其维数解空间及其维数设设 为为 矩阵矩阵,Anm 则则 元齐次线性方程组元齐次线性方程组n0 Ax的全体解构成的集合的全体解构成的集合 是一个向量空间是一个向量空间,V称其为该称其为该方程组的方程组的解空间解空间, , 当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩 时时,rAr )(解解空间空间 的维数为的维数为V. rn 当当 时时,nAr )(方程组方程组0 Ax只有零解只有零解,此时解空间此时解

32、空间 只含有一个零向量只含有一个零向量,V解空间解空间 的维数为的维数为0;V解空间及其维数解空间及其维数当当 时时,nrAr )(方程组方程组 必含有必含有 个向个向0 Axrn 量的基础解系量的基础解系,21rn 此时方程组的任一解此时方程组的任一解可表示为可表示为,2211rnrncccx ,|2211rnrncccxxV .,21Rcccrn 完完V可表示为可表示为而解空间而解空间其中其中rnccc ,21为任意实数为任意实数, ,例例2 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解. .解解化为行最简矩阵化为行最简矩阵: :得到原方程组的同解方程组得到原方程组的同

33、解方程组 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx对系数矩阵对系数矩阵作初等行变换作初等行变换, ,A 137723521111,00007/47/5107/37/201 ,)7/4()7/5()7/3()7/2(432431 xxxxxx A例例2解解即得基础解系即得基础解系令令,10 43xx,01 ,017/57/2 1 ,107/47/3 2 ).,(21Rcc 4321xxxx 017/57/2 1c 107/47/32c 并由此得到通解并由此得到通解完完例例3解解用基础解系表示如下线性方程组的通解用基础解系表示如下线性方程组的通解. .因此所给方程组有无

34、穷多个因此所给方程组有无穷多个解解. . .076530553202303454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx, 4 m, 5 n,nm 对矩阵对矩阵施以初等行变换施以初等行变换: :A 76513553121231134111 A 26220131102622034111 00000131100000021201例例3解解 76513553121231134111 A 00000131100000021201即原方程组与下面方程组同解即原方程组与下面方程组同解: :,32254325431 xxxxxxxx其中其中为自由未知量为自由未知量. .,

35、3x,4x5x解为解为令自由未知量令自由未知量 543xxx取值取值,001 ,010 ,100 分别得方程组的分别得方程组的例例3解解解为解为令自由未知量令自由未知量 543xxx取值取值,001 ,010 ,100 分别得方程组的分别得方程组的因此因此, ,意常数意常数). .,)0 , 0 , 1 , 1 , 2(1T ,)0 , 1 , 0 , 3, 1(2T ,)1 , 0 , 0 , 1 , 2(1T 就是所给方程组的一个基础解系就是所给方程组的一个基础解系. .,1 3 ,2 程组的通解为程组的通解为332211 ccc 321,(ccc为任为任完完方方例例6证证即即即即完完证明

36、证明).()(ArAArT 设设为为矩阵矩阵, ,Anm 为为维列向量维列向量. .xn若若满足满足x0 Ax, 0)( AxAT; 0)( xAAT若若满足满足x0)( xAAT, 0)( xAAxTT0)()( AxAxT. 0 Ax综上可知方程组综上可知方程组同解同解, ,与与0 Ax0)( xAAT).()(ArAArT 例例7 求出一个齐次线性方程组求出一个齐次线性方程组, , 使它的基础解系使它的基础解系由下列向量组成由下列向量组成: :解解根据题意根据题意, , 有有设所求得齐次线性方程组为设所求得齐次线性方程组为, 0 Ax行向量形如行向量形如),(4321aaaaT , 01

37、 T, 02 T即即 0234043243214321aaaaaaaa,4321 1 .1234 2 矩阵矩阵A的的设这个方程组系数矩阵为设这个方程组系数矩阵为,B对对进行初等行变换进行初等行变换, ,B例例7解解得得 1510504321 32102101 12344321 B这个方程组的同解方程组为这个方程组的同解方程组为 03202432431aaaaaa其基础解系为其基础解系为,0121 ,1032 故可取矩阵故可取矩阵的行向量为的行向量为A故所求齐次线性方程组的系数矩阵故所求齐次线性方程组的系数矩阵所求齐次线性方程组为所求齐次线性方程组为),0 , 1 , 2, 1(1 T ),1

38、, 0 , 3, 2(2 T .03202421321 xxxxxx 10320121 A完完非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组可表为非齐次线性方程组可表为bAx 其对应的齐次线性方程组为其对应的齐次线性方程组为0 Ax1. 若若 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 的解的解, ,bAx 21, 则则21 为对应齐次方程组为对应齐次方程组 的解的解.0 Ax证证,21bAbA , 0)(21 A证毕证毕. .即即21 0 Ax的解的解. .为对应齐次方程组为对应齐次方程组的解的解. .bAx 2. 设设 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 的解的解, bAx

39、是方是方程组程组 则则应齐次线性方程组应齐次线性方程组0 Ax的解的解, , 是对是对非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解定理定理 设设 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 的一个解的一个解,* bAx 是对应齐次线性方程组是对应齐次线性方程组 的通解的通解,0 Ax则则* x是是 的通解的通解.bAx 证证 根据非齐次线性方程组解的性质根据非齐次线性方程组解的性质, 只需证明非只需证明非齐次线性方程组的任一解齐次线性方程组的任一解 为此取为此取0 Ax的某一解的某一解 的和的和. .1 ,*1 * 一定能表示为一定能表示为 与与由非齐次线性方程组解的性质知由非齐次线性方程组解的性质知,1 是是 的的0 Ax一个解一个解, 故故,*1 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解即非齐次线性方程组的任一解都能表示为该方程即非齐次线性方程组的任一解都能表示为该方程的一个解的一个解 与其对应齐次线性方程组某一解的和与其对应齐次线性方程组某一解的和. .* 注注: :b 的一个特解的一个特解, ,表示为表示为: :设设 是是rn ,210 Ax基础解系基础解系,* 是是AxbAx 的通解可的通解可则非齐次方程组则非齐次方程组*2211 rnrnkkkx其中其中.,21Rkkkrn 线性方程组有解的几个等价命题线性方程组有解的几个等价命题