顶层设计·,前瞻,解析几何热点问题

1、本文格式为word版，下载可任意编辑顶层设计·,前瞻,解析几何热点问题 解析几何热点问题 三年真题考情 核心热点 真题印证 核心素养 直线方程、定值问题 2021，19；2021，19；2021北京，19 数学运算、规律推理 椭圆方程、定点问题 2021北京，19；2021，20；2021，20 数学运算、规律推理 直线与椭圆的位置关系 2021，19；2021，20 数学运算、规律推理 直线与抛物线的位置关系 2021，21；2021北京，18；2021，19；2021，20 数学运算、规律推理 热点聚焦突破 教材链接高考求曲线方程及直线与圆锥曲线 教材探究(引自人教a版选修21p

2、49习题a5(1)(2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点 p(2 2，0)，q(0， 5)； (2)长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 p(3，0). 试题评析 1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质. 2.对于(1)给出的两点并不是一般的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告知我们要认真观看、借助图形求解问题，(2)中条件给出 a，b 的值，但要争论焦点的位 置才能写出椭圆方程. 【教材拓展】 设抛物线 y 2 2px(p0)的焦点为 f，准线为 l，过抛物线上一点 a作 l 的垂线，垂足为 b，设 c è ç

3、30;ø÷ö72 p，0 ，af 与 bc 相交于点 e，若|cf|2|af|，且ace 的面积为 3 2，则 p 的值为_. 解析 易知抛物线的焦点 f 的坐标为 è çæø÷öp2 ，0 ， 又|cf|2|af|且|cf| ï ïïïïï72 pp23p， |ab|af| 32 p， 可得 a(p， 2p). 易知aebfec， |ae|fe| |ab|fc| 12 ， 故 s ace 13 s acf 13 3p 2p12 22p 2 3

4、2， p 2 6，p0，p 6. 答案 6 探究提高 1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点 a 的坐标， (2)依据aebfec 求出线段比，进而得到面积比并利用条件"s ace 3 2'求解. 2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的学问，能起到简化运算的作用. 【链接高考】 (2021天津卷)设椭圆 x2a 2 y 2b 2 1(ab0)的左焦点为 f，上顶点为 b.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为55. (1)求椭圆的方程； (2)设点 p 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 m 为直线 pb 与 x 轴的交

5、点，点 n 在 y 轴的负半轴上，若|on|of|(o 为原点)，且 opmn，求直线 pb 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为 c， 依题意，2b4， ca 55， 又 a 2 b 2 c 2 ，可得 a 5，b2，c1. 所以椭圆的方程为 x25 y 24 1. (2)由题意，设 p(x p ，y p )(x p 0)，m(x m ，0)， 直线 pb 的斜率为 k(k0)， 又 b(0，2)，则直线 pb 的方程为 ykx2，与椭圆方程联立îïíïì ykx2，x 25 y 24 1，整理得(45k 2 )x 2 20kx0， 可得 x

6、 p 20k45k 2 ， 代入 ykx2 得 y p 810k245k 2， 进而直线 op 的斜率为 y px p 45k 210k. 在 ykx2 中，令 y0，得 x m 2k . 由题意得 n(0，1)，所以直线 mn 的斜率为 k2 . 由 opmn，得 45k210k è çæø÷ö k21，化简得 k 2 245， 从而 k2 305(满意 (20k) 2 0). 所以直线 pb 的斜率为 2 305或 2 305. 教你如何审题圆锥曲线中的证明问题 【例题】 (2021北京卷)已知抛物线 c：x 2 2py(p0)经

7、过点(2，1). (1)求抛物线 c 的方程及其准线方程. (2)设 o 为原点，过抛物线 c 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 c 于两点 m，n，直线 y1 分别交直线 om，on 于点 a 和点 b.求证：以 ab 为直径的圆经过y 轴上的两个定点. 审题路线 自主解答 (1)解 由抛物线 c：x 2 2py 经过点(2，1)得 p2. 所以抛物线 c 的方程为 x 2 4y，其准线方程为 y1. (2)证明 抛物线 c 的焦点为 f(0，1). 设直线 l 的方程为 ykx1(k0). 由 î íìykx1，x 2 4y得 x 2 4kx40.

8、设 m(x 1 ，y 1 )，n(x 2 ，y 2 )，则 x 1 x 2 4. 直线 om 的方程为 y y 1x 1 x. 令 y1，得点 a 的横坐标 x a x 1y 1 ， 同理得 b 的横坐标 x b x 2y 2 . 设点 d(0，n)，则da è çæø÷ö x 1y 1 ，1n ， db è çæø÷ö x 2y 2 ，1n ， dadb x 1 x 2y 1 y 2 (n1)2 x 1 x 2èçæø÷&#

9、246; x214 èçæø÷ö x224(n1) 2 16x 1 x 2 (n1)2 4(n1) 2 . 令dadb0，即4(n1) 2 0，得 n1 或 n3. 综上，以 ab 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，3). 探究提高 1.解决本题的关键是直径所对的圆周角为直角，要证明直线经过 y 轴上定点 d，只需满意dadb0，进而求解. 类似的还有角的关系转化为斜率之间的关系，线段的长度比转化为线段端点的坐 标之比. 2.解决此类问题，一般方法是"设而不求'，通过"设参、用参、消参'

10、;的推理及运算，借助几何直观，达到证明的目的. 【尝试训练】 (2021全国卷)设椭圆 c： x22 y2 1 的右焦点为 f，过 f 的直线 l与 c 交于 a，b 两点，点 m 的坐标为(2，0). (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 am 的方程； (2)设 o 为坐标原点，证明：omaomb. (1)解 由已知得 f(1，0)，l 的方程为 x1. 把 x1 代入椭圆方程 x22 y2 1，可得点 a 的坐标为èçæø÷ö1，22或 è çæø÷ö1，22，又 m

11、(2，0)， 所以直线 am 的方程为 y22x 2或 y22x 2. (2)证明 当 l 与 x 轴重合时，omaomb0. 当 l 与 x 轴垂直时，om 为 ab 的垂直平分线， 所以omaomb. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 )， 则 x 1 2，x 2 2，直线 ma，mb 的斜率之和为 k ma k mb y 1x 1 2 y 2x 2 2 . 由 y 1 k(x 1 1)，y 2 k(x 2 1)得 k ma k mb 2kx1 x 2 3k（x 1 x 2 ）4k（x 1 2）（x

12、 2 2）. 将 yk(x1)代入 x22 y2 1 得 (2k 2 1)x 2 4k 2 x2k 2 20. 所以，x 1 x 2 4k 22k 2 1 ，x 1 x 2 2k 2 22k 2 1 . 则 2kx 1 x 2 3k(x 1 x 2 )4k 4k3 4k12k 3 8k 3 4k2k 2 10. 从而 k ma k mb 0，故 ma，mb 的倾斜角互补. 所以omaomb. 综上，omaomb. 满分答题示范圆锥曲线中的定点、定值问题 【例题】 (12 分)(2021北京卷)已知抛物线 c：y 2 2px 经过点 p(1，2).过点 q(0，1)的直线 l 与抛物线 c 有两

13、个不同的交点 a，b，且直线 pa 交 y 轴于 m，直线 pb交 y 轴于 n. (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)设 o 为原点，qmqo，qnqo，求证： 1 1 为定值. 规范解答 (1)解 由于抛物线 y 2 2px 过点(1，2)， 所以 2p4，即 p2. 故抛物线 c 的方程为 y 2 4x.2 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 ykx1(k0). 由 î íìy2 4x，ykx1 得 k2 x 2 (2k4)x10.4 依题意 (2k4) 2 4k 2 10， 解得 k1，又由于 k0，故 k0 或 0k

14、1. 又 pa，pb 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2). 从而 k3. 所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1).6 (2)证明 设 a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 ). 由(1)知 x 1 x 2 2k4k 2，x 1 x 2 1k 2 . 直线 pa 的方程为 y2 y1 2x 1 1 (x1).7 令 x0，得点 m 的纵坐标为 y m y1 2x 1 12 kx1 1x 1 12.8 同理得点 n 的纵坐标为 y n kx2 1x 2 12.9 由qmqo，qnqo得 1y m ，1y n .10 所以 1 1 11y m 11y n x

15、1 1（k1）x 1 x 2 1（k1）x 2 1k1 2x 1 x 2 （x 1 x 2 ）x 1 x 21k1 2k 2 2k4k 21k 22. 所以 1 1 2 为定值.12 高考状元满分心得 得步骤分：抓住得分点的步骤，"步步为赢'，求得满分. 如第(1)问中联立直线方程和抛物线方程 ，对直线斜率取值的争论 . 得关键分：解题过程中不行忽视关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问中求抛物线的方程 ，第(2)问中求点 m 和 n 的纵坐标 . 得计算分：解题过程中计算精确是得满分的根本保证.如第(2)中用 y m ，y n 表示 ，计算 1 1 的值. 构建模板 【规

16、范训练】 (2021北京卷)已知椭圆 c： x2a 2 y 2b 2 1(ab0)的右焦点为(1，0)，且经过点 a(0，1). (1)求椭圆 c 的方程； (2)设 o 为原点，直线 l：ykxt(t1)与椭圆 c 交于两个不同点 p，q，直线ap 与 x 轴交于点 m，直线 aq 与 x 轴交于点 n.若|om|on|2，求证：直线 l 经过定点. (1)解 由题意，得 b 2 1，c1， 所以 a 2 b 2 c 2 2. 所以椭圆 c 的方程为 x22 y2 1. (2)证明 设 p(x 1 ，y 1 )，q(x 2 ，y 2 )， 则直线 ap 的方程为 y y1 1x 1x1. 令

17、 y0，得点 m 的横坐标 x m x 1y 1 1 . 又 y 1 kx 1 t，从而|om|x m | ï ïïïïïx 1kx 1 t1. 同理，|on| ï ïïïïïx 2kx 2 t1. 由îïíïì ykxt，x 22 y2 1， 得(12k2 )x 2 4ktx2t 2 20， 则 x 1 x 2 4kt12k 2 ，x 1 x 2 2t 2 212k 2 . 所以|om|on| ï ï&#

18、239;ïïïx 1kx 1 t1ïïïïïïx 2kx 2 t1 ï ïïïïïx 1 x 2k 2 x 1 x 2 k（t1）（x 1 x 2 ）（t1） 2 ïïïïïïïï2t 2 212k 2k 2 2t 2 212k 2 k（t1） èçæø÷ö4kt12k 2（t1） 22 ï 

19、39;ïïïï 1t1t. 又|om|on|2，所以 2 ï ïïïïï 1t1t2. 解得 t0，所以直线 l 经过定点(0，0). 热点跟踪训练 1.(2021江西九校联考)已知椭圆 c： x2a 2 y 2b 2 1 过 a(2，0)，b(0，1)两点. (1)求椭圆 c 的方程及离心率； (2)设 p 为第三象限内一点且在椭圆 c 上，直线 pa 与 y 轴交于点 m，直线 pb 与x 轴交于点 n，求证：四边形 abnm 的面积为定值. (1)解 由题意知，a2，b1， 所以椭圆 c

20、的方程为 x24 y2 1. 由于 c a 2 b 2 3， 所以椭圆 c 的离心率 e ca 32. (2)证明 设 p(x 0 ，y 0 )(x 0 0，y 0 0)，则 x 2 0 4y 2 0 4. 由于 a(2，0)，b(0，1)， 所以直线 pa 的方程为 yy 0x 0 2 (x2)，令 x0，得 y m 2y 0x 0 2 ，从而|bm|1y m 12y 0x 0 2 . 直线 pb 的方程为 y y0 1x 0x1，令 y0，得 x n x 0y 0 1 ，从而|an|2x n 2x 0y 0 1 . 所以四边形 abnm 的面积 s 12|an|bm| 12 è&

21、#231;æø÷ö2x 0y 0 1 è çæø÷ö12y 0x 0 2x 2 0 4y 2 0 4x 0 y 0 4x 0 8y 0 42（x 0 y 0 x 0 2y 0 2）2x 0 y 0 2x 0 4y 0 4x 0 y 0 x 0 2y 0 22， 所以四边形 abnm 的面积为定值 2. 2.(2021天津卷)设椭圆 x2a 2 y 2b 2 1(ab0)的左焦点为 f，上顶点为 b，已知椭圆的离心率为53，点 a 的坐标为(b，0)，且|fb|ab|6 2. (1)求椭圆的方程；

22、 (2)设直线 l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 p，且 l 与直线 ab 交于点 q.若 |aq|pq| 5 24sinaoq(o 为原点)，求 k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 c2a 2 59 ， 又由 a 2 b 2 c 2 ，可得 2a3b. 由已知可得，|fb|a，|ab| 2b， 由|fb|ab|6 2，可得 ab6，从而 a3，b2. 所以，椭圆的方程为 x29 y 24 1. (2)设点 p 的坐标为(x 1 ，y 1 )，点 q 的坐标为(x 2 ，y 2 ). 由已知有 y 1 y 2 0， 故|pq|sinaoqy 1 y 2 . 又由于|

23、aq|y 2sinoab ，而oab4 ，故|aq| 2y 2 . 由 |aq|pq| 5 24sinaoq，可得 5y 1 9y 2 . 由方程组îïíïì ykx，x 29 y 24 1，消去 x，可得 y 1 6k9k 2 4 . 易知直线 ab 的方程为 xy20， 由方程组 î íìykx，xy20， 消去 x，可得 y2 2kk1 . 代入 5y 1 9y 2 ，可得 5(k1)3 9k 2 4， 将等式两边平方，整理得 56k 2 50k110， 解得 k 12 或 k1128 .所以，k 的值为12

24、 或1128 . 3.(2021湖南湘东六校联考)已知椭圆 c： x2a 2 y 2b 2 1(ab0)的离心率 e12 ，点a(b，0)，b，f 分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|bf|ba|2 6. (1)求椭圆 c 的方程. (2)若过定点 m(0，2)的直线 l 与椭圆 c 交于 g，h 两点(g 在 m，h 之间)，设直线l 的斜率 k0，在 x 轴上是否存在点 p(m，0)，使得以 pg，ph 为邻边的平行四 边形为菱形？假如存在，求出 m 的取值范围；假如不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由离心率 e 12 得 a2c， 由|bf|ba|2 6，得 a b 2

25、b 2 2 6， ab2 3， a 2 b 2 c 2 ， 由可得 a 2 4，b 2 3， 椭圆 c 的方程为 x24 y 23 1. (2)设直线 l 的方程为 ykx2(k0)， 由îïíïì ykx2（k0），x 24 y 23 1消 y 得(34k 2 )x 2 16kx40， 可得 0，k 12 . 设 g(x 1 ，y 1 )，h(x 2 ，y 2 )，则 x 1 x 2 16k4k 2 3 ，pgph(x 1 x 2 2m，k(x 1 x 2 )4)，gh(x 2 x 1 ，y 2 y 1 )(x 2 x 1 ，k(x 2 x

26、1 ). 菱形的对角线相互垂直，(pgph)gh0， (1k 2 )(x 1 x 2 )4k2m0，得 m2k4k 2 3 ， 即 m24k 3k，k 12 ， 36m0 è çæø÷ö当且仅当 3k 4k时，等号成立 . 存在满意条件的实数 m，m 的取值范围为 ë êéø÷ö36，0 . 4.已知椭圆 c： x2a 2 y 2b 2 1(ab0)的左、右焦点分别为 f 1 (1，0)，f 2 (1，0)，点a è çæø÷

27、ö1，22在椭圆 c 上. (1)求椭圆 c 的标准方程； (2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当该直线与椭圆 c 有两个不同交点 m，n 时， 能在直线 y 53 上找到一点 p，在椭圆 c 上找到一点 q，满意pmnq？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设椭圆 c 的焦距为 2c，则 c1， 由于 a è çæø÷ö1，22在椭圆 c 上，所以 2a|af 1 |af 2 |2 2，则 a 2，b 2 a 2 c 21. 故椭圆 c 的方程为 x22 y2 1. (2)椭圆 c 上不存在这样的点

28、q，理由如下： 设直线的方程为 y2xt，m(x 1 ，y 1 )，n(x 2 ，y 2 )，p è çæø÷öx 3 ， 53，q(x 4 ，y 4 )， 由îïíïì y2xt，x 22 y2 1， 消去 x 得 9y2 2tyt 2 80， 所以 y 1 y 2 2t9 ，且 4t2 36(t 2 8)0， 即3t3. 由pmnq得 è çæø÷öx 1 x 3 ，y 1 53(x 4 x 2 ，y 4 y 2 )， 所

29、以有 y 1 53 y 4 y 2 ，y 4 y 1 y 2 53 29 t53 . 又3t3，所以 73 y 4 1， 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1，1冲突. 因此椭圆 c 上不存在这样的点 q. 5.椭圆 e： x2a 2 y 2b 2 1(ab0)的左、右焦点分别为 f 1 (1，0)，f 2 (1，0)，左、右顶点分别为 a 1 ，a 2 ，p 为椭圆 e 上的动点(不与 a 1 ，a 2 重合)，且直线 pa 1 与 pa 2的斜率的乘积为 34 . (1)求椭圆 e 的方程； (2)(一题多解)过点f 2 作两条相互垂直的直线l 1 与l 2 (均不与x轴重合)分别与椭圆e相交

30、于 a，b，c，d 四点，线段 ab，cd 的中点分别为 m，n，求证：直线 mn过定点，并求出该定点的坐标. (1)解 设 p(x 0 ，y 0 )(y 0 0)，则 x20a 2 y 2 0b 2 1. 整理，得 x 2 0 a 2 a2 y 20b 2. 由题意，得y 0x 0 a y 0x 0 a 34 . 整理，得 x 2 0 a 2 43 y20 . a2 y 20b 2 43 y20 ，又 y 0 0，即 a 2 43 b2 . c1，a 2 b 2 c 2 ，a 2 4，b 2 3. 故椭圆 e 的方程为 x24 y 23 1. (2)证明 设直线 ab 的方程：yk(x1)(

31、k0)， a(x 1 ，y 1 )，b(x 2 ，y 2 ). 由 î íìyk（x1），3x 2 4y 2 12消 y 得(4k 2 3)x 2 8k 2 x4k 2 120. x 1 x 2 8k 24k 2 3 . x m x1 x 22 12 8k 24k 2 3 4k 24k 2 3 ， y m k(x m 1)3k4k 2 3 . 用 1k 替换点 m 坐标中的 k，可得 x n 43k 2 4 ，y n 3k3k 2 4 . 若直线 ab 关于 x 轴对称后得到直线 ab，直线cd关于 x 轴对称后得到直线 cd，线段 ab，cd的中点分别为 m，n，则直线 mn与直线 mn 关于 x 轴对称. 若直线 mn 经过定点，则该定点肯定是直线 mn与 mn 的交点，该交点必在 x轴上. 设该交点为 t(s，0)，则mt(sx m ，y m )，nm(x m x n ，y m y n ). 由mtnm，得 s xn y m x m y ny m y n. 代入点 m，n 的坐标并化简，得 s 47 . 经过的定点为 è &#