高等数学课件：D9习题课

1、习题课习题课一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法一、一、 基本概念基本概念连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的关系思考与练习思考与练习1. 讨论二重极限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时, 下列算法是否正

2、确是否正确?分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, , 1,111xyxxy时例如解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的任意性,时当4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同

3、时还可看到, 本题极限实际上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明证明:而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx例例1. 已知求出 的表达式. ),(

4、yxf解解: 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf, )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1. 分析复合结构(画变量关系图)自变量个数 = 变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性例例2. 设其中 f 与F分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解解 方程两边对 x

5、 求导, 得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF例例3. .设),(zyxfu 有二阶连续偏导数, 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin

6、)(yx 1cos tyx 1yx 1三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题3. 在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法例例4.4.在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解解: 设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM则

7、切平面的法向量为,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax),(zyxFFFn 问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题 .设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点 .唯一驻点例例5 5. 在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示提示: 设切点为, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出. ),(000zyx则切平面为所指四面体围体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函数