高等数学：5-1 定积分概念与性质

1、第五章第五章 定积分定积分一、问题的提出一、问题的提出二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义第一节第一节 定积分概念与性质定积分概念与性质四、定积分的性质四、定积分的性质? A实例实例1 (1 (求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积) )一、问题的提出一、问题的提出)(xfy ),0)()( xfxfy曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线. , 所围成所围成轴与两条直线轴与两条直线bxaxx abxyoabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形

2、面积面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长长度度为为，个个小小区区间间分分成成把把区区间间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大

3、长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max , 21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为 实例实例2 2 ( (可变边际成本的总成本问题可变边际成本的总成本问题) )思路：把产量区间分割成若干小段，每小段上思路：把产量区间分割成若干小段，每小段上成本看作不变，求出各小段的成本再相加，便成本看作不变，求出各小段的成本再相加，便得到总成本增加量的近似值，最后通过对产量得到总成本增加量的近似值，最后通过对产量区间的无限细分过程求得产量增加量的精确区间的无限细分过程求得产量增加量的精确值值 (1)(1)分割分割0121nnaxxxxxb1iiixxx( )iiiCfx部分增加成

4、本值部分增加成本值某产量的边际成本某产量的边际成本(2)(2)求和求和11( )nniiiiiCCfx(3)(3)取极限取极限12max,nxxx01lim( )niiiCfx成本增加量的精确值成本增加量的精确值实例实例3 3 ( (求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程) )思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值(1)(1)分割分割212101Tt

5、ttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度(2)(2)求和求和iinitvs )(1 (3)(3)取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值 记记,max21nxxx ， 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义0121( ),nnf xa ba baxxxxxba bn设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成 个小区间，各小区间的长度依次为1 iiixxx，), 2 , 1( i， 在在各各小小区区间间上上任任取取 作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i , ba如果不论

6、对如果不论对被积函数被积函数被积表达被积表达式式积分变量积分变量为为积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和 上上的的定定积积分分，记记为为在在区区间间为为函函数数，我我们们称称这这个个极极限限确确定定的的极极限限总总趋趋于于时时，和和怎怎样样的的取取法法，只只要要当当点点上上小小区区间间怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在baxfIISxxiii,)(0,1 注意注意( (1 1) )积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)( (2 2) )定义中区间的分法和定义中区间的分法和i 的取法

7、是任意的的取法是任意的. . (3 3) )当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时， 而而与与积积分分变变量量无无关关. 称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积. . 存在定理存在定理. , )( , , )( 1 上可积上可积在在则则上连续上连续在区间在区间若函数若函数定理定理baxfbaxf. , )( , , )( 2 上可积上可积在在有限个间断点，则有限个间断点，则且只有且只有有界有界在区间在区间若函数若函数定理定理baxfbaxf, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯

8、形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 几何意义几何意义四、定积分性质四、定积分性质对定积分的对定积分的补充规定补充规定: :（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不

9、考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小证明证明 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg( (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) ). )( )( )()( 1dxxgdxxfdxxgxfbababa 性质性质证明证明 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk.)()( 2 babadxxfkdxxkf性质性质例如例如 若若, c

10、ba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则.)()()( 3 bccabadxxfdxxfdxxfbca，则，则如果如果性质性质. , 总成立总成立的相对位置如何，上式的相对位置如何，上式补充：不论补充：不论cba证明证明, 0)( xf, 0)( if ), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf).( 0)( 0)( , 5ba

11、dxxfxfbaba ，则，则上上如果在如果在性质性质.1 4abdxdxaaba 性质性质性质性质5 5的推论：的推论：证明证明),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0 )()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg即即于于是是 dxxfba )( dxxgba )(. .)()( ),()( , )1( babadxxgdxxfxgxfba则则上上若在区间若在区间证明证明, )()()(xfxfxf , )()( )(dxxfdxxfdxxfbababa ).( )()( )2(badxxfdxxfbaba ).( )()( badxxfdxxfbaba 即即

12、证明证明,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）).()()( )( 6 abMdxxfabmxfmMba 最大值及最小值，则最大值及最小值，则在上的在上的分别是函数分别是函数及及设设性质性质证明证明Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由介值定理由介值定理, ,).)()( , , )( ) ( 7 abfdxxfbabaxfba ，使得，使得上至少存在一点上至少存在一点连续，则在连续，则在上上在在若函数若函数积分中值定理积分中值定理性质性质，使使上上至至少少存存在在一一点点在在区区间间 , ba1( )( ),baff x dxba( )( )().()baf x dxfbaab即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f. )( )( , , , 的一个矩形的面积的一个矩形的面积为为边高边高梯形的面积等于同一底梯形的面积等于同一底为曲边的曲边为曲边的曲边曲线曲线为底，以为底，以使得以区间使得以区间上至少存在一点上至少存在一点在区间在区间 fxfybaba 1 ( )( )( ) , baff x dxxa bba称为函