高等数学：D7_5二阶线性

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性微分方程解的结构 第五节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程定义一、二阶线性微分方程定义 第七章 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程二阶线性微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xex

2、QexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = C y1(x) 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如, ,sin,cos,122xx在

4、( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关线

5、性无关)()(21xyxy常数常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 则则)()(2211xyCxyCy数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无

6、关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ复习 目

7、录 上页 下页 返回 结束 )(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 机动

8、 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1

9、()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关, 故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初

10、始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *四、常数变易法四、常数变易法复习: 常数变易法: )()(xfyxpy对应齐次方程的通解: )(1xyCy xxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为 )(1xyy 代入原方程确定 ).(xu对二阶非齐次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: )()(2211xyCxyCy设的解为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:)(xu机动 目录 上页 下页 返回 结束

11、 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故, 的系数行列式02121yyyyW21, yy是对应齐次方程的解,21线性无关因yyP10 目录 上页 下页 返回 结束 fyWvfyWv12211,1积分得: )(),(222111xgCvxgCv代入 即得非齐次方程的通解: )()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 说明说明: 将的解设为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv

12、只有一个必须满足的条件即方程, 因此必需再附加一 个条件, 方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2.).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为 )()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.0) 1( yyxyx的通解为,21xeCxCY 的通解.解解: 将所给方程化为:1111 xyxyxxy已知齐次方程求2) 1() 1( xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程组: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得积分得xexCvxCv) 1(,2211故所求通解为) 1(221xxeCxCyx) 1(221xeCxCx, 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.42)( )2(xyyxxyx 求方程的通解.解