高等数学课件：12-3 幂级数

1、2022-1-121第三节 幂级数 第十二章第十二章 （Power Series）一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算三、幂级数的运算四、小结与思考练习四、小结与思考练习2022-1-122一、函数项级数的概念设设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间为定义在区间 I 上的上的函数项级数函数项级数 .对对0,Ix 若常数项级数若常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数若常数项级数10)(nnxu为定义在区间为定义在区间 I 上的函数上的函数, 称称

2、收敛收敛,发散发散 ,所有所有0 x称为其为其收收 0 x称为其为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散点的全体称为其发散域发散域 .2022-1-123, )(xS为级数的为级数的和函数和函数 , 并写成并写成)()(1xuxSnn若用若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前表示函数项级数前 n 项的和项的和, 即即在收敛域上在收敛域上, 函数项级数的和是函数项级数的和是 x 的函数的函数 称它称它2022-1-124它的收敛域是它

3、的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是它的发散域是或写作或写作.1x又如又如, 级数级数, )0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散级数发散 ;所以级数的收敛域仅为所以级数的收敛域仅为. 1x,)1,1(时当x有和函数有和函数 ,1时收敛当x,10时但当 x例如例如, 等比级数等比级数2022-1-125二、幂级数及其收敛性 形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa

4、2210例如例如, 幂级数幂级数1,110 xxxnn为幂级数的为幂级数的系数系数 .即是此种情形即是此种情形. .的情形的情形, 即即nnxxa)(0称称 2022-1-126ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散若幂级数若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式则对满足不等式0 xx 的一切的一切 x 幂级数都幂级数都绝对收敛绝对收敛.反之反之, 若当若当0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,则对满足不等式则对满足不等式证证: 设设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛收敛, 则必有则必有),

5、2, 1(0nMxann于是存在于是存在常数常数 M 0, 使使定理定理 1 ( Abel定理定理 )2022-1-127当当 时时, 0 xx 00nnxxM收敛收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛 .也收敛也收敛,反之反之, 若当若当0 xx 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点1x01xx0 x满足不等式满足不等式0 xx 所以若当所以若当0 xx 满足满足且使级数收敛且使级数收敛 ,面的证明可知面的证明可知, 级数在点级数在点故假设不真故假设不真. 的的 x , 原幂级数也原幂级数也发散发散 . 时幂级数发散时幂级数发

6、散 , 则对一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛, 与所设矛盾与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕证毕2022-1-128幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 0nnnxa中心的区间中心的区间. 用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R = 0 时时, 幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;R = 时时,0 R幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称

7、为收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .Rx外发散外发散; 在在(R , R ) 称为称为收敛区间收敛区间.ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散2022-1-129xaaxaxannnnnnnn111limlim0nnnxa的系数满足的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当,1x原级数收敛原级数收敛;当当,1x原级数发散原级数发散.x即即1x时时,1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 时时,即即时时,则则 1x定理定理2 若若2022-1-1210

8、2) 若若, 0则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若,则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,.0R对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为1limnnnaaR因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径.1R2022-1-1211对端点对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点对端点 x = 1, 级数为交错级数级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛收敛; 级数为级数为,11nn发散发散 .

9、 . 1, 1(故收敛域为故收敛域为 limn例例1 求幂级数求幂级数2022-1-1212nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径的收敛半径 .解解: 级数级数缺少奇次幂项缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由故直接由例例22022-1-121312) 1(n

10、nnnx求幂级数的收敛域的收敛域. 解解: 令令 ,1 xt级数变为级数变为nnntn1211limnnnaRa故nnnnn2) 1(2lim12当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,212x即即.31x例例32022-1-1214三、幂级数的运算定理定理3 设幂级数设幂级数nnnxa0nnnxb0及及的收敛半径分别为的收敛半径分别为,21RR令令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min

11、21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有则有 :nnnnnnxbxa00其中其中knnkknbac0以上结论可用部分和以上结论可用部分和的极限证明的极限证明 .2022-1-1215两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如例如, 设设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为它们的收敛半径均为,R但是但是nnnxa0其收敛半径只是其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb

12、0 x11注注:0nnx2022-1-1216nnnxa0的收敛半径的收敛半径,0R( )S xnnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna则其和函则其和函数数 在收敛域上在收敛域上连续连续,在收敛区间内可在收敛区间内可逐项求导，且逐项求导，且在收敛域在收敛域I上可上可逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 注注: 逐项积分时逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变运算前后端点处的敛散性不变.定理定理4 若幂级数若幂级数xI2022-1-121701nnnx的和函数的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数

13、的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及及收敛收敛 ,故收敛域为故收敛域为-1,1).有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1例例4 求级数求级数2022-1-1218) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:)(xS而而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及及2022-1-12192022-1-12202022-1-1221内容小结1. 求幂级数收敛域的

14、方法求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用求收敛半径时直接用比值法比值法或或根值法根值法,)0(0nnnnaxa也可通过也可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求 .2022-1-12222. 幂级数的性质幂级数的性质1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算乘法运算. 2) 幂级数的和函数在收敛域上连续幂级数的和函数在收敛域上连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐

15、项求导，在收敛域幂级数在收敛区间内可逐项求导，在收敛域 上求逐项积分上求逐项积分.2022-1-1223思考与练习1. 已知已知nnnxa00 xx 在处条件收敛处条件收敛 , 问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半径是多少 ?答答: 根据根据Abel 定理可知定理可知, 级数在级数在0 xx 收敛收敛 ,0 xx 时发散时发散 . 故收敛半径为故收敛半径为.0 xR 2022-1-12242. 在幂级数在幂级数nnnnx02) 1(2中中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数为奇数,23n 为偶数为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能不能

16、. 因为因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当当2x时级数收敛时级数收敛 ,2x时级数发散时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明可以证明比值判别法成立比值判别法成立根值判别法成立根值判别法成立2022-1-12253. 3. 求极限求极限, )(lim221nanaan其中其中. 1a解解: 令令nnanaaS221nkkak1作幂级数作幂级数,1nnxn设其和为设其和为, )(xS易知其收敛半径为易知其收敛半径为 1,则则1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1 (xxnnSlim)(1aS2) 1( aa2022-1-1226 阿贝尔(1802 1829)挪威数学家挪威数学家, 近代数学发展的先驱者近代数学发展的先驱者. 他在他在22岁时就解决了用根式解岁时就解决了用根式解5 次方程次方程的不可能性问题的不可能