高等数学：第九章 8多元函数极值及应用

1、的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 第第8节节 多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值

2、；处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz (1)处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz (2)处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .证证不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对

3、于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.

4、 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：驻点驻点极值点极值点例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？但但不不是是极极值值点点.又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，解解将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必

5、必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,021021zyzzxzyx得3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法设设 f ( x ,

6、y ) 在在D上连续，上连续，D内可微且在内可微且在D内至多有有限个驻点内至多有有限个驻点,这时若这时若 f ( x , y ) 在在D内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. .故一般方法是：故一般方法是：函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上有最值在闭域上有最值可能取最值的点可能取最值的点 极值点极值点边界上的点

7、边界上的点因为因为 在实际问题中，往往根据问题的性质就可在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果这时如果函数在区域内只有一个驻点函数在区域内只有一个驻点，则可以，则可以断定该点处的函数值就是函数在断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大区域上的最大值（最小值）值（最小值）解解如图如图,先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,

8、再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yx例例 3 3 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. 解解由由, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,因为因为01lim22 yxyxyx即边界上的值为零即边界上的值

9、为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点无条件极值点.P条件极值点条件极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tz

10、yx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制无条件极值的求法无条件极值的求法: 注意：注意：代入法：代入法：可利用一元函数极值的充分条件可利用一元函数极

11、值的充分条件来推断是极大值还是极小值；来推断是极大值还是极小值；拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：得到条件极值的可能得到条件极值的可能点点 ,是极大值还是极小值，要根据问题的是极大值还是极小值，要根据问题的实际意义或其他情况另行判断。实际意义或其他情况另行判断。例例4求内接于椭球求内接于椭球 1222222 czbyax的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为一卦限的顶点的坐标为( x , y , z )则长方体的体积为则长方体的体积为V

12、=8xyz022 axyzFx 022 byxzFy 022 czxyFz 1222222 czbyax) 1(222222 czbyaxxyzF 令令 23 xyz解得解得3,3,3czbyax 22axyz 22byxz 或或两式相除两式相除222222byaxyaxbxy 同理同理2222czax 即即222222czbyax 代入解得代入解得3,3,3czbyax 三式相加得三式相加得解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 c ) 先在所有高为先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者的长方体中求体积最大者因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大因为高是固定的，故当底面积最大时体

13、积最大今上底面为内接于椭圆今上底面为内接于椭圆边平行于边平行于 x,y 轴的长方形轴的长方形当长方形的边长分别为当长方形的边长分别为2202201222 ,1222czbcza （一元函数极值问题）（一元函数极值问题）02220222202111zzczbyczax 长方形面积最大长方形面积最大得到高为得到高为 2z0 的长方体中最大体积为的长方体中最大体积为02200)1(4)(zczabzV )31(4)(2200czabzV 30cz V( z0 ) 最大最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为)3,3,3(cba解三解三作变换作变换czZbyYaxX ,

14、问题变成在问题变成在 1222 ZYX下求下求 XYZ 的最大值的最大值 易知为立方体易知为立方体31 ZYX3,3,3czbyax 解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,解四解四即求即求 222222czbyax 的最大值的最大值而此三个正数的和一定（而此三个正数的和一定（=1）当当 31222222 czbyax积最大积最大3,3,3czbyax 令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020

15、 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyya

16、xx 即即可得可得30ax 30by ，30cz 当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min .四、小结四、小结多元函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 ,

17、 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值.练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._.2 2、 函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点 , , 使使 它它 到

18、到0, 0 yx及及0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小. .三三、 求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体. .四、四、 在第一卦限内作球面在第一卦限内作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, ,求求切点的坐标切点的坐标. .一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、当当长长, ,宽宽, ,高高都都是是32a时时, ,可可得得最最大大的的体体积积. .四四、).31,31,31(练习题答案练习题答案75. 025. 0100LKQ 75. 025. 0100LKQ ) 10 , 0( ,),(AyAxyxUyx,即求在约束条件即求在约束条件 支出支出M一定时一定时M=x效用函数效用函数U=U（x,y)最大。最大。P91例例6) 10 , 0( ,),(AyAxyxUyx,即求在约束条件即求在约束条件 :效用函数效用函数U=U（x,y)一定时，一定时， 支出最小支出最小M=x),(),(),(