人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质ppt课件

1、 22.1.4 二次函数 的图象和性质yax2bxc2axy caxy22hxaya0,a0,开口开口向上向上; ;a0,a0,a0,在对称轴在对称轴左侧左侧,y,y都随都随x x的增大而减小的增大而减小, ,在对称轴右在对称轴右侧侧,y,y都随都随 x x的的增大而增大增大而增大.;.;a0,a0,a= 0,开口向上开口向上; ;对称轴对称轴: :直线直线x=6;x=6;顶点坐标顶点坐标:(6,3).:(6,3).直接画函数 的图象 216212 xxy21直接画函数 的图象 216212 xxy描点、连线，画出函数描点、连线，画出函数 图像图像. .6,3Ox5510216212 xxy

2、36212 xy问题：问题：1.看图像说说抛看图像说说抛物线物线的增减性。的增减性。 2.怎样平移抛物怎样平移抛物线线 可以得到抛物线可以得到抛物线 ？216212 xxy216212 xxy221xy 他学会了吗？他学会了吗？ 研讨二次函数研讨二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象，关键是找到的图象，关键是找到对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c转化为转化为y=a(x-h)+ky=a(x-h)+k的方式，然后确定的方式，然后确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。抛物线的开口方向、对称轴和顶点

3、。1 用配方法求二次函数用配方法求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标 cbxaxy2acxabxa2acababxabxa22222222442abacabxa.44222abacabxa函数y=ax2+bx+c的顶点式 配方法：配方法：2 待定系数法：待定系数法：设yax2bxc可化为 ya(xh)2k而而 ya(xh)2k ax22ahxah2k 2ahb ah2kcab2可得可得 habac442k综上得综上得 yax2bxc a(x )2 ab2abac442教师提示教师提示:配方后的表达式通配方后的表达式通常称为配方式或顶常称为配方式或顶点式点式抛物线抛物

4、线yax2bxc a0a(x )2 ab2abac442因此，抛物线因此，抛物线yax2bxc 的对称轴是的对称轴是xab2abac442顶点坐标是顶点坐标是 ， ab2识记识记2yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：步骤：1利用配方法或公式法把利用配方法或公式法把化为化为的方式。的方式。2确定抛物线的开口方向、对称轴确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。右对称描点画图。函数y=ax2+bx+c的顶点式 .44222abacabxay ），（a4b-ac4a2b-2总结：求二次

5、函数最值，有两个方法总结：求二次函数最值，有两个方法(1)(1)用配方法；用配方法；(2)(2)用公式法用公式法w怎样直接作出怎样直接作出函数函数y=3x2-6x+5y=3x2-6x+5的图象的图象? ?w例例2 2 我们知道我们知道, ,作出二次函数作出二次函数y=3x2y=3x2的图象的图象, ,经过平移抛经过平移抛物线物线y=3x2y=3x2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3x2-6x+5y=3x2-6x+5的图象的图象. . w1.1.配方配方: :5632xxy35232xx提取二次项系数3511232xx配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方32132x整理:前三项化为平方

6、方式,后两项合并同类项. 2132x化简:去掉中括号 相相等，那么外形一样。等，那么外形一样。(1)a决议抛物线外形及开口方向，假设决议抛物线外形及开口方向，假设aa0开口向上；开口向上；例例3抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。开口向下。xya的绝对值越大，开口越小的绝对值越大，开口越小(2)a和和b共同决议抛物线对称轴的位置，由共同决议抛物线对称轴的位置，由于抛物线于抛物线yax2bxc的对称轴是直线的对称轴是直线2bxa 假设假设a，b异号异号对称轴在对称轴在y轴右侧。轴右侧。，故，故假设假设b0对称轴为对称轴为y轴，轴，假设假设a，b同号同号对称轴在对

7、称轴在y轴左侧，轴左侧，xyo(3)c的大小决议抛物线的大小决议抛物线yax2bxc与与y轴交点的位置。轴交点的位置。当当x0时，时，yc，抛物线抛物线yax2bxc与与y轴有且只需一个交点轴有且只需一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点；抛物线经过原点；c0与与y轴交于正半轴；轴交于正半轴； c0与与y轴交于负半轴。轴交于负半轴。xy4二次函数有最大或最小值由二次函数有最大或最小值由a决议。决议。 当当x= 时时,y有最大有最大(最小最小)值值ab2abac442y .xy .xx能否说出能否说出它们的增它们的增减性呢？减性呢？1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等

8、的两点一定关于对称轴对称。xyO2.x如 果 抛 物 线 交轴 于 两 点 ，那 么 这 两 点 一 定 关 于 对 称轴 对 称 。12123 .xxxxx2，若 设 抛 物 线 上 关 于 对 称 轴 对 称的 两 点 横 坐 标 为，则 抛 物 线+的 对 称 轴 是 直 线2yaxbxc抛物线的对称性2byaxbxcx2a抛物线是以直线 =-为对称轴的轴对称图形，有以下性质： 3开口方向：当开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。二次函数二次函数2yaxbxc的性质：的性质：1顶点坐标顶点坐标24,;24bacbaa2

9、对称轴是直线对称轴是直线2bxa 课堂小结课堂小结2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大假设假设a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，假设假设a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，4最值：最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 假设假设a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。假设假设a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。5增减性：增减性： 与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为为0，c(6)抛物线抛物线2yaxbx

10、c与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式断定：的根的判别式断定： 0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交； 0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切； 0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。再见二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质的图

11、象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0时时,向右平移向右平移;当当 0时向上平移时向上平移;当当 0, abc0, 、2a+b0, 2a+b0, 、a+b+c0,a+b+c0,a-b+c0,、4a+2b+c0,4a+2b+c0,、4a-2b+c0. 4a-2b+c0. 二次函数的几种表达式：二次函数的几种表达式：)0(2aaxy)0(2acax

12、y)0()(2ahxay)0()(2akhxay)0(2acbxaxy)0)()(21axxxxay)0(44)2(22aabacabxay、(顶点式顶点式)(普通式普通式)(交点式交点式)xyo例例7 知二次函数知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式例例8 知如图是二次函数知如图是二次函数yax2bxc的图象，的图象，判别以下各式的值是正值还是负值判别以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)2ab；(5)abc；(6)abc分析：知的是几何关系分析：知的是几何关系(图形的位置、外图形的位置、外形形)，需求求出的是数

13、量关系，所以应发，需求求出的是数量关系，所以应发扬数形结合的作用扬数形结合的作用解：解：(1)由于抛物线开口向下，所以由于抛物线开口向下，所以a0；判别判别a的符号的符号(2)由于对称轴在由于对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判别判别b的符号的符号(3)由于由于x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判别判别c的符号的符号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)由于顶点横坐标小于由于顶点横坐标小于1，即，即12ba判别判别2ab的符号的符号(6)由

14、于图象上的点的横坐标为由于图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判别判别abc的符号的符号(7)由于图象上的点的横坐标为由于图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判别判别abc的符号的符号NoImage1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给

15、出四个结论：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结论：问：给出四个结论： acabaabcb92221(0)yaxbxc ab、二次函数的图象如图所示，下列结论c04a+2b+c0,(a+c)其中正确的是（填序号，并说明理由）yox1x=1222222()()x1a+b+c0 x1a-b+c0()()00babc abcabc abcbb (a+c)时，时，即(a+c)(a+c)-211.11.二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)的几个特例：的几个特例：1 1、当、当x=1 x=1

16、时，时，2 2、当、当x=-1x=-1时，时，3 3、当、当x=2x=2时时. .4 4、当、当x=-2x=-2时，时，y= y=y=y=6、2a+b 0. xyo 1-12 02212baabab5、b-4ac 0. a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c12.函数函数y=ax2+bx+c(a0)的运用的运用例：某服装公司试销一种本钱为每件例：某服装公司试销一种本钱为每件50元的元的T恤衫，恤衫，规定试销时的销售单价不低于本钱价，又不高于每件规定试销时的销售单价不低于本钱价，又不高于每件70元，试销中销售量元，试销中销售量y件与销售单价件与销售单价x元的关元的关系可以近似的看作一次

17、函数如图系可以近似的看作一次函数如图1求求y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；2设公司获得的总利润总利润总销售额设公司获得的总利润总利润总销售额-总本总本钱为钱为P元，求元，求P与与x之间的函数关系式，并写出自变之间的函数关系式，并写出自变量量x的取值范围；根据题意判别：当的取值范围；根据题意判别：当x取何值时，取何值时，P的的值最大？最大值是多少？值最大？最大值是多少？4003006070y(件)x(元)解：1设y与x之间的函数关为 经过60，40070，300 解得： y与x之间的函数关系式为2P10 x1000 x50当x75时，P最大，最大利润为6250元ykx b604007

18、0300kbkb101000kb 10 1000yx210(75)6250 x13、知二次函数、知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是的最大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象上，并且图象经过点经过点3，-6。求。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为顶点坐标为 1 ， 2设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点图象经过点3，-6-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式

19、为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x前进前进14： 知二次函数y=x2+x-1求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。2设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。3画出函数图象的表示图。4求MAB的周长及面积。5x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 小值，这个最大小值是多少？6x为何值时，y0？1232解解:1a= 0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上 y= (x2+2x+1)-2=(x+1)2-2 对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M-1，-2121212前进前进 知二次函数y=x2+x-1求抛物线开口方向，对

20、称轴和顶点M的坐标。2设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。3画出函数图象的表示图。4求MAB的周长及面积。5x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 小值，这个最大小值是多少？6x为何值时，y0？1232解解: (2)由x=0，得y= - -抛物线与y轴的交点C0，- - 由y=0，得x2+x- =0 x1=-3 x2=1 与x轴交点A-3，0B1，032323212前进前进 知二次函数y=x2+x-1求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。2设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。3画出函数图象的表示图。4求MAB的周长及面积。5x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 小值，这个最大小值是多少？6x为何值时，y0？1232解解0 xy(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2前进前进 知二次函数y=x2+x-1求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。2设抛物线与